2021-2022学年天津市南开区高三(上)期末数学试卷(附详解)

第第#页，共17页【解析】(I)设出椭圆c的半焦距，根据离心率及三角形面积列出方程组求解即得.(U)(i)设直线“2的方程，与椭圆C的方程联立，求出弦PQ长，由此能求出|PQ|的取值范围．(H)求出PQ中点M的坐标，借助向量垂直列式计算，能求出直线PQ的斜率.本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(I)设等比数列｛陷｝的公比为q，而等差数列｛bn｝的第2项，第5项，第8项成等差数列，则2(a1+a3)=a2+a4，即2(a1+a/2)=a/+a/3，解得g=2，又因为珀=2,所以a九=alqn1=2九，显然有b2=a2=4,b8=a4=16,则等差数列｛bn｝公差d=囂笄=2，所以久=b2+(n2)d=2n，所以数列｛an｝和｛/｝的通项公式分别是a九=2九，bn=2n.(u)(i)由(1)得，s九=(件+笑+%—唧(a1+a2+a3—an)=(4+42+43+…+4九)(2+22+23+…+2九)TOC\o"1-5"\h\z=4(14H)2(12n)=2(2n1)(2n+11).14123(ii)由(i)得，“M"+2=3(介2"+1)=3(n+1n+2)，Sn(2n1)(2n+11)2n12n+11所以[(/「)+㈠匚)+(」—)+•••+(心3)]i=1Sj212212212312312412n12n+11=3(2-^±^)<6.2n+11【解析】(I)设出等比数列｛a」的公比，根据已知条件列出方程求出此公比及等差数列｛/｝的公差，再列式即可作答.(D)(i)由⑴的结论结合分组求和方法即可计算/(ii)利用(1)和(i)的结论，借助裂项相消法求出力爲心2即可作答.Sj本题考查等差数列、等比数列、分组求和、裂项相消法求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.

20.【答案】解：(I)a=3时，f(x)=2lnx—3x(x>0),ff(x)=2—3,X令f(x)>0,解得：0<%<2,令厂(%)<0,解得：x八33故f(x)在(0,?递增，在(?+8)递减；(II)f(x)<ax2+(a—2)x—2恒成立，即2lnx—ax2+(2—2a)x+2<0恒成立,令g(x)=2lnx—ax2+(2—2a)x+2(x>0),g'(x)=2—2ax+(2—2a)=—2ax2+(2—2a)x+2,a<0时，•••尤>0,•••9‘(尤)>0，g(x)在(0,+8)递增，'：9(1)=—a+2—2a+2=—3a+4>0,•••关于％的不等式f(x)<ax2+(a—2)x—2不能恒成立，a>0时，“(Q=-2aA1)(“+1)，令“(%)=0,得%=!,TOC\o"1-5"\h\z%a•••XG(0,1)时，gr(x)>0,XG(2,+8)时,gr(x)<0,aa故函数g(x)在(0,1)递增，在(2,+8)递减，aa故函数9(%)的最大值是9(丄)=2加丄+1=1—2加a<0，aaaa令h(a)=1—2饥a，则h(a)在(0,+8)递减，ah(1)=1>0,h(2)=1—2饥2<1—2ZnVe<0,22•••a>2时,MO<0，故整数a的最小值是2；(皿)假设存在一条直线与函数/'(%)的图象有两个不同的切点7；(叫,儿)，^2(%2，y2),不妨0<%i<%2，则片处切线“的方程为：y—ya；)=厂(叫)(％—叫)，T2处切线12的方程为：y-£(%2)=厂(%2)(%一％2)，••//为同直线.f/(%1)=f/(%2)1，2为同直线，…ya；)—叫厂(叫［二门乙)—勺厂(亏)，%；=2整理得2/nx；—；%；=2/nx„—；%2，1122消去込得，2叱+消去込得，2叱+O令上=予由0<®<%2与皆2=2，得fG(0,1)，记p(t)=2Znt+1—t，贝9pz(t)=2—丄—1=—(I)2<0,ttt2t2•••p(t)为(0,1)上的单调减函数，贝贝卩(上)>p(1)=0,从而①式不可能成立，•••假设不成立，从而不存在一条直线与函数y=f(%)+丄X2的图象有两个不同的切点.2【解析】(I)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(U)问题转化为2lnx—ax2+(2—2a)x+2<0恒成立，令g(x)=2lnx—ax2+(2—2a)%+2(%>0),求出函数的导数，通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出a的最小值即可；(皿)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点Tl(xl，yl)，T2(x2>y2)，不妨O2-%210<叫<%2，分别求出T］处切线“的方程，f2处切线12的方程，得到2加