2022-2023学年广东省云浮市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年广东省云浮市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.1i=(

)A.−1 B.−i C.1 2.若正方形ABCD的边长为2，则|A.42 B.22 C.3.高一年级有男生480人，女生520人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，则张华从男生中抽取的样本量为(

)A.23 B.24 C.25 D.264.一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是(

)A.四棱台 B.四棱柱 C.四棱锥 D.五棱锥5.如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，A′E=2EB′，BF=A.10 B.5 C.12 D.116.柜子中有3双不同颜色的手套，红色、黑色、白色各1双.若从中随机地取出2只，则取出的手套是一只左手套一只右手套，但不是一双手套的概率为(

)A.15 B.25 C.357.2012年至2021年全国及广东固定资产投资年增速情况如图所示，则(

)

A.2012年至2021年全国固定资产投资先减后增

B.2012年至2021年广东固定资产投资年增速的40%分位数为11.1%

C.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数大

D.2012年至2021年全国固定资产投资年增速的方差比2012年至8.罗定文塔，位于广东省云浮市罗定市城区.宝塔平面上呈八角形，各层塔檐微微翘起，状如绽开的花瓣.顶层的莲花座铁柱、塔刹九霄盘、宝珠等铸件总重逾七吨，为广东古塔之最.如图，为了测量罗定文塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=69°，∠CDB=37°，CD=37.6m，在点C测得罗定文塔顶端AA.23.5m

B.47m

C.24.5m二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.若(1+i)A.z的实部为1

B.z的虚部为−4

C.|z|=10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，锐角A.△ABC的面积为315 B.co11.如图，这是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，其中n(Ω)=120，n(A)=A.P(AB)=112

B.P(A⋃B)12.已知矩形ABCD，AB=1，BC=3A.三棱锥D−ABC的外接球的体积不变

B.三棱锥D−ABC的体积的最大值为13

C.当三棱锥D−AB三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从1～9这9个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字为4的概率为______．14.已知向量a，b满足|a|=5，|b|=2，且a在b上的投影向量为2b，则a，b15.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为π2的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为______．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D2中，AB=2，E，M，N，P，Q分别为AB，C1D

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知点A(1,1)，B(−1,0)，C(0,118.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，P，Q分别为A1B，CC1的中点．

(1)证明：19.(本小题12.0分)

村BA全称是“美丽乡村”篮球联赛，近几个月以来，广东各地村居篮球联赛众多.村BA以篮球为纽带，掀起乡村体育热潮，大力促进全民健身和乡村振兴的发展.某村BA球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示．

(20.(本小题12.0分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且3a−2bsinA=0，B为锐角．

(121.(本小题12.0分)

某高校的入学面试中有A，B，C三道题目，规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是12，13，14．

(1)求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；22.(本小题12.0分)

如图，在四面体ABCD中，AB=AD，BC=CD，E为BD的中点，F为AC上一点．

(1)求证：平面ACE⊥

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则，利用复数的运算法则即可得出，属于基础题．

【解答】

解：1i=−i−i2.【答案】B

【解析】解：因为正方形ABCD的边长为2，

所以|AD|=|AB|=2，且AD3.【答案】B

【解析】解：由题意，高一年级有男生480人，女生520人，可得高一年级共有480+520=1000人，

可得分层随机抽样的方法抽取了总样本量为50的样本，

则张华从男生中抽取的样本量为501000×480=24人．4.【答案】C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；

对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；

对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；

对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意．

故选：C．

根据题意，由棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可．

本题考查棱台、棱锥、棱柱的结构特征，注意常见几何体的面、棱、顶点的数目，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】解：不妨设A′B′=3，BB′=2，∵A′E=2EB′，∴A′E=2，EB′=1，

又BF=FB′，∴BF=FB′=16.【答案】B

【解析】解：由题意，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只手套，

从中随机地取出2只，包含(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)，(a1,c2)，(a2,b1)，(a2,b2)，(7.【答案】D

【解析】解：对于选项A，由折线统计图可知2012年至2021年全国固定资产投资年增速先减后增，

但是均为正数，故全国固定资产投资均增加，故A错误；

对于选项B，2012年至2021年广东固定资产投资年增速从小到大排列为6.3%、7.2%、10.0%、

10.7%、11.1%、13.5%、14.6%、15.8%、15.9%、18.2%，

因为10×40%=4，所以第40%分位数为第4、5位两数的平均数，即为10.7%+11.1%2=10.9%，故B错误；

对于选项C，由统计图可知只有2012年全国固定资产投资年增速比广东固定资产投资年增速大，

其余年份广东固定资产投资年增速均大于全国固定资产投资年增速，

所以2012年至2021年全国固定资产投资年增速的平均数比2012年至2021年广东固定资产投资年增速的平均数小，故C错误；

8.【答案】B

【解析】解：因为cos37°=0.8，所以sin37°=1−cos237°=0.6，

又sin74°≈sin75°=sin(45°+30°)

=sin45°cos9.【答案】AC【解析】解：因为(1+i)z−=5−3i，所以z−=5−3i1+i=(5−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=5−5i−3i+10.【答案】BC【解析】解：在△ABC中，因为a=3，b=4，且sinC=154，

由三角形的面积公式，可得S△ABC=12absinC=12×3×4×154=3152，所以11.【答案】AB【解析】解：因为n(Ω)=120，n(A)=40，n(B)=30，n(A∩B)=10，

所以P(A)=n(A)n(Ω)=13，P(B)=n(B)n(Ω)=14，P(12.【答案】AC【解析】解：对于A，设AC的中点为O，则由Rt△ABC、Rt△ADC知，

OA=OB=OC=OD，所以O为三棱锥D−ABC外接球的球心，其半径为12AC=1，

所以三棱锥D−ABC外接球的体积为43π，故A正确；

对于B，设三棱锥D−ABC底面ABC上的高为h，则VD−ABC=13S△ABC⋅h，

当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥D−ABC的高最大，

此时三棱锥D−ABC的体积VD−ABC=13×12×1×3×32=14，故B错误；

对于C，三棱锥D−ABC的体积的最大时，平面ADC⊥平面ABC，

过点D作DM⊥AC交AC于点M，过点M作MN//AB，交BC于点N，连接DN，

由平面ADC⊥平面ABC，平面ADC⋂平面ABC=AC，DM⊂平面ADC，

所以DM⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DM⊥BC，

又MN//AB，A13.【答案】29【解析】解：因为12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，

从1～14.【答案】45

8【解析】解：∵|a|=5，|b|=2，且a在b上的投影向量为2b，

∴a⋅b|b|⋅b|b|=2b，即15.【答案】12π【解析】解：根据题意，该圆锥的母线长为l=4，设圆锥底面圆半径为R，高为h，如图所示，

由2πR=4×π2得，R=1，所以h=l2−R2=15．

圆锥PO内切球的半径等于△PAB内切圆的半径，

设△PAB的内切圆圆心为16.【答案】17【解析】解：延长EP，与DC的延长线交于点T，ABCD是正方形，

因为AC⊥BD，EP//AC，QP//BD，

所以EP⊥QP，

所以EP⊥PN，

又PN⋂PQ=P，PN⊂平面MNPQ，PQ⊂平面MNPQ，

所以EP⊥平面MNPQ，

所以TP⊥平面MNPQ，EP=PT，

所以E关于面MNPQ的对称点T，

所以A117.【答案】解：(1)因为A(1,1)，B(−1,0)，C(0,1)，

所以AB=(−1,0)−(1,1)=(−2【解析】(1)设D(x,y)，表示出AB、18.【答案】解：(1)证明：取AB的中点D，连接PD、CD，因为P，Q分别为A1B，CC1的中点，

所以PD//AA1且PD=12AA1，

又三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱，所以CQ//AA1，CQ=12AA1，

所以PD//CQ且PD=CQ，

所以PDCQ为平行四边形，所以PQ//CD，

又因为PQ⊄平面ABC，CD【解析】(1)取AB的中点D，连接PD、CD，即可证明PDCQ为平行四边形，从而得到PQ//CD，即可得证；

19.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得(m+0.03+2m+0.01)×10=1，解得m=0.02．

(2)由频率分布直方图可得平均数为(0.02×60+0.03×70+0.04【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可；

(2)根据平均数公式计算可得；

(3)20.【答案】解：(1)∵3a−2bsinA=0，

由正弦定理得3sinA=2sinBsinA，

又sinA≠0，

即sinB=32，又B为锐角，所以B=π3．

(2)由余弦定理可得cosB=a2+c2【解析】(1)利用正弦定理将边化角，即可求出sinB，从而得解；

(2)利用余弦定理求出a、21.【答案】解：(1)设事件D为李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试．

由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为13，

所以P(D)=13×12=16．

(2)设事件E为李明第一环节通过面试，

则P(E)=13×12+13×13+13×14=1336．

设事件F为李明面试失败，李明答题情况如下：

A题错B题错C题错，【解析】(1)利用积事件的概率公式求解即可．

(2)22.【答案】(1)证明：在四面体ABCD中