张量初步及应力应变基本方程

岩土塑性力学参考文献：龚晓南：土塑性力学徐秉业：塑性理论引论陆明万等：弹性理论基础孙炳楠等：工程弹塑性力学郑颖人等：岩土塑性力学原理教师：徐平下载：第一章张量初步及应力、应变基本方程1.1张量初步1.2一点的应力状态1.3最大(最小)剪应力1.4应力张量的分解1.5八面体应力、等效应力1.6应力圆和洛德(Lode)参数1.7应力空间1.8应力路径1.9应变张量的分解1.10应变空间与应变π平面1.11各种剪切应变间的关系1.12应力和应变的基本方程力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量，常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r()和力F()等。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应力状态可以用应力张量σ()表示，它具有二重方向性，是二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。1.1张量初步矢量可以在参考直角坐标系下分解，以位移矢量u为例，它可以表示成位移分量ux、uy、uz与基矢ex、ey、ez的乘积之和的形式：(1-1)x1=xuu2(uy)u3(uz)u1(ux)e2(j)e1(i)e3(k)x2=yx3=zo图1.1位移矢量的分解指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示，这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如，采用ui可以表示u1、u2和u3三个数值，这种名字加指标的记法称为指标符号。指标符号的正确用法：(1)三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。指标符号可缩写成xi，其中x1=x，x2=y，x3=z。引入爱因斯坦求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。

用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：a·b=b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。(2)矢量a和b的分量可分别记为ai和bi，它们的点积为：(1-2)(3)对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：采用乎张量灶，则芳物理推方程聋可表怨示：晨(1坛-3全)i和j为自由魄指标，表担示轮慰流取辅该指康标范忆围内清的任煮何值坐，关孩系式瘦将始宰终成年立，柿式中σij和εij分别乏表示伤9个培应力宝和应量变分许量：k为哑徐标，δij为Kr括on岗ec推he燥r符号毛：δij=1敌(i=j)，δij=0叹(i≠j)，混根据寇场论女，δij可以弊表示赴两个兆基矢饥的点扣积：δij=ei·ej注意半：aibj表示眯9个机数，协而aibi则只足是一御个数峰。自由它指标得和哑台标举难例：的应孙用与攀计算简示例游如下冬：(1浙)(2兆)(3糠)(4血)(5蛋)(6灰)(4周)铺指标龟符号跟同样览适用往于微利分关利系。胸例如图，三郊维空碎间中佳线元千长ds和其巩分量dxi之间劲的关水系：速(ds)2=外(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2可以搏写成易：柴(ds)2=dxidxi。再扑如多典变量报函数f(x1,x2,x3)的洪全微李分可物写成坝。对于罚不计宝体力占的平拳衡微李分方敢程，钩则可剖表示剖成：原(房诚1-屡4)更进许一步葱可表庸示为乳：森，即这里胃下标蜂“捉,j”表贤示对xj求偏言导。则几浸何方异程可位表示形成：更进被一步临得可励表示帝成：在几星何方什程中碎，为忍了表浪示方字便，季在这么里及穴以后巾的讨植论中均，统绪统采扔用ux、uy和uz来分驳别表酬示u、v和w。对于括体积诱应变e：则检可表效示成柜：崖(1朗-6就)(1谜-5助)(5慈)耳哑标忽只能朋成对姑地出袭现，冷若要跟对在膏同项跳内出遍现两勺次以权上的锦指标艘遍历贵求和谱，必职须：综上冈所述披，能狠过哑骗标可陆把许在多项院缩成寸一项绩，通第过自蝴由指脚标又腰可把悠许多抢方程坐缩成镰一个丛方程夜。一逗般来授讲，缘瑞在一议个用情指标桐符号皇写出局的方追程中论，若循有k个自奇由指垒标，牺它们蹈的取魂值范炸围都枯是1帽~n，则态更有nk个分画量方股程；药在方庭程的省某项蹄中若您现时朱出现m对取袖范围雾为1听~n的哑阀指标饼，则约此项膝表示拘了互嫁相叠汽加的nm项。(6蚀)随一般桃来讲均，由aibi=aici并不畏能推程导得宣出bi=ci。1.符2一点贵的应杂力状张态图1苗.2所一伏点的泄应力助状态yxz图1县.3颜倾车斜面盲上的坟应力xyzNτzyτzxσzσxτxzτxyσyτyxτyzo应力融张量除：或：倾斜花面上私沿x溜方向次的力喘为yxznτzxσxτyxpxγβα同理权，可筒以得会到张棕量方纷程：如果生作用家在这停个倾斜伴面上记只有射正应帜力，金而没伙有(1条-8脾)(1彩-7汇)剪应置力，院则倾斜灿面上笨的总哀应力餐就是主应完力，倾斜悼面的冤方向新就是主应哈力方桥向，用σ表示琴，它栏在各罩坐标匪轴上辜的投宾影为与：式(洗1-踩9)甚有零沾解的铁条件利是：锹(1缘瑞-1吓0)将枕代吨入槽，可净得：(1桃-9衬)(1螺-1秘1)(1针-1练2)方程焰称润为应鲜力状码态的惩特征方方程辞，它裹有三妻个实凉根，幅并规麻定杜，当问坐标梅方向童改变惑时，姻应力诞分量酸将改魄变，伤但主感应力铲的数既值不霞变，恐故I1、I2和I3又称义为应力纯张量啄不变勺量，I1、I2和I3通常按又分报别叫溪做应慨力张井量第眼一不桃变量理、第渴二不枣变量须和第撑三不睛变量炮，另胆外还励可以爹证明征三个蚊主应禾力方汁向是芒相互就垂直会的。吉根据快方程矛，I1、I2和I3又可茄以写兽成：(1抄-1套3)1.回4谷主微应力速分布渔图例题独：已匆知已知凝一点退的应肺力状犬态为啊以下膀一组巧应力招分量宾所确药定：σx=3谱，σy=0贵，σz=0玻，τxy=1点，τyz=2袜，τzx=1令，应力估单位但为MP音a。试热求该网点的疾主应麦力值决。1.吹3最大记(最年小)纹剪应渴力根据以，沈以及旬关系语式射可曲得倾营斜面早上的遮剪切蓄应力弊：zyxnσ3σ1σ2pxγβα要使顶取粗得极骄值，极则须艘：猎和(1钩-1落4)于是晌有：同理罪：(1靠-1秃4a旷)(1希-1订4b覆)n1n2n3±1000000±1±1000000(1抖-1婶4)表1柴.1草最动大(钥最小踪蝶)剪书应力充及方捆向主剪铃应力图1楼.5推主汽剪应茅力的变方向最大窃和最胖小的郑剪应躲力，肯在数翻值上姿等于喊最大饰主应准力与玻最小档主应运力之尚差的糊一半恭，作埋用在绵通过态中间江主应防力并蛾且“宪平分汪最大伍主应算力与楼最小异主应钢力夹更角”膊的平犬面上剧。(1袍-1册5)1.辨4狱应力驳张量到的分幻玉解图1顶.6恭应甚力张捞量的字分解(1笼-1现6)◆岩土嫩材料考在球帝应力颂张量祖作用匆下，酿一般探也会魂出现塑鹿性体非变，柱从而穴出现择奇异魄屈服哨面。球应力张量体变：只是弹性变形畸变：首先产生弹性畸变，当应力达到一定的极值时，将产生塑性的畸变。偏斜应力张量这里靠，等，我搏们定胁义剃为球应险力张毁量，又糊称球形应力秤张量，简花称为球张搁量，球粉形应丘力张干量表陶示各遣向均暮匀受力状据态，气有时煎也称静水棉压力逃状态，苹又柿常写军作陈。而则称嗽为偏斜劫应力绿张量，简深称为应力她偏量。将朋原应千力状梨态减去静东水压棚力即归可得健到应姨力偏笛量状防态。球张亮量引热起物告体的淹体积改割变，财而应胡力偏峰量则字引起疗物体饶的形膜状改颂变。1.截4.翻1谜主偏崇应力(1盖-1遇7)1.剥4.接2弱应力格偏量鸭不变旗量(1仅-1托8)(1用-1网3)1.羽5八面叶体应各力、党等效率应力132等斜撒面正八怜面体图1南.7乌应枝力张屿量的禽分解1.挽5.涂1喂八面杆体应杂力(1衬-1声9a救)(1灿-1堤9b涝)(1锣-1宽9c肥)(1索-1旋9d熔)1.策5.借2挤八面猛体剪娇应力游的方咸位角1八面花体剪央应力武的方损位可吉以通奏过它祝的方株位朴来确终定。诞设应渔力主忠轴1妖、2蹲、3摘在正驶八面桌体上零的投没影O'A、落O'B、掩O'C，则嗽便脑是八虽面体刮剪应慰力与O'C的反搁方向O'D之间点的夹踩角。23OABCO'D图1档.8宅八摔面体碌剪应躲力方余位角O3CO'γ同理梢：从；由于(1南-2勉0)O'，故于是窗，由驻式(返1-瞎20哈)可史得：即：(1滤-2盟1)一点赌的应间力状肆态可复以用赴主应燥力堆来表揪示，抗也可种以用纲另外跟三个洽量来宿表示网，即陕八面末体正犹应力居，妖八面库体剪限应力以及川八面疗体剪爬应力倘的方萌位角纽奉。（1朋-2扶2）1.潜5.冒3俩应力扯强度(1振)应力枕强度又称等效念应力或广义道剪应乒力，用献表盟示。材料哈处于爬单向程拉伸主应力超状态雕时，举，秃；常规骨三轴丸试验共，武，某；纯箩剪作以用时奸，(2凉)纯剪夕应力又称剪应合力强库度，用忧表此示。（1忽-2带3）纯剪冠时：1.芒5.没4塘应力袍的求害解1.播6谊应力刊圆和睁洛德亏(L今od肆e)附参数通过披某点呈各个讽微分跟面上络的法召向应扮力批和份剪应追力奖都末可以桂由应摇力摩健尔圆锁相应缺点的投坐标笑来表壳示。斩设该课点坐辈标轴陕方向轧与主拍应力饶方向婆一致联，微抚分面究法线栗方向木余弦魂为陷，赌于是宵有：1.鹿6.独1填应力扫圆（1意-2总4）于是诸有：因为砖，而财且这给些等呀式的络左边导部分奥皆为狭正，种所以解应该呆有：（1打-2虫5）经过隶化简瓶后得赠：（1甚-2答6）图1苹.9笼应像力摩终尔圆1.乳6.址2肾应力差椭球图1总.1惕0泛应力谷椭球取坐屈标轴霞方向据与主裳应力仿方向锦一致客，微兽分面泽法线败方向评余弦棚为息，晶于是范,进纯一步哑有：（1建-2裁7）1.勇6.炎3蔽Lo妙de堵(问罗德教)系渔数和渴Lo皱de横角oAo1o2o3CB（1烛-2论8）图1驳.1佛1免应力浊摩尔盒圆如果遥一点季的主笋应力嘉之间临的比值值有挣了改按变，为则应压力摩卵尔圆结的三湿个直框径之损间的吹比例掩也随贱之改承变。讨这种伪情况卖相当绣于应纤力偏痕张量浊的形凳式有紫了改遥变。戴为了暴描述匹应力县偏张兰量的勿形式羽，可菠以应虏用L喝od聚e(序19厕25吃)提婆出的名系数塑，通秤常称顶为L军od吉e参听数。即图续中的O2C与O2B之比食。（1肌-2辰9）Lo葬de微参数对界于征-1拦和1慰之布间，倾即纯拉淡时，纯剪愧时，纯压伤时，O'（1俯-3抢0）图1揭.1隙2注意做，四均为重负值义，常规腐三轴藏压缩染试验奥时，常规熔三轴姻伸长播(拉友伸)取试验雪时，在岩解土塑松性理糖论中悬，常奇以牵或(污)来合表示喷应力绞状态度。常规遍三轴吵压缩得(父)抛常毅规三拘轴拉擦伸(辰)在岩籍土相溪关的征课程伞中，筐往往谅以压合为正陪。(1除-3商2)(1绵-3栋1)主应砍力空斥间与平馒面等顷鉴线平板面应力侵点等倾绕线：在杜主应枣力空闷间，硬通过始原点散与三茄条坐杏标轴灵成相阵同夹刺角的猫直线列，又喜称主葬对角戏线。1.砌7缺应力静空间π平面：与愉等倾促线垂更直的晚平面程，其帝方程皂为(1贴-3猎3)子午庆面：在提主应咬力空呜间，尖包括叼等倾怎线的蜂平面疲。一个喘应力去状态匪可以错用应习力空写间中路的一熄个点溜表示培，或下用该骂点与啦坐标糟原点这形成痛的矢斗量来劝表示苏，该特点叫应力顺点，该要矢量故叫应力棵矢量。图1佳.1掉3晌应力标空间OP在应洲力空级间等馋倾线悼上的典投影闯为OQ，则

平面番上剪俯应力绑：(1家-3畜4)

平面运上主知应力汉：(1敲-3漆5)由于助

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平面劫上的低投影菠一致纲，如创图1众.1魔4所贫示。O'P'与x轴的次夹角面就是溉Lo嚼de显角。(1泼-3薯6a做)(1据-3穷6b热)(1劳-3渡6c办)(1胶-3阶6d莫)(1菠-3等6e遥)由于真，所弹以，绸，变即前面略已经检提到惜，物慌体中戴一点肿的应腿力状魄态可多以用捉应力赴空间蹲中的贡一点比(应匠力点抚)来摆表示耳，一姑点应准力状爷态的甩变化蓝可以怖用应甘力点胖在应搜力空鸟间的颤运动把轨迹戏来描灿述，犹应力苦点的点运动档轨迹长称为应力抹路径。在搬有效摧主应晓力空摸间中渔，可辅得到有效厌应力要路径，简替称E枯SP死(扩Ef彼fe载ct穴iv削e改St鹅re沃ss累P黑at览h)帜，在沾主应诊力空著间可壮得到总应抢力路耀径，简登称T腾SP私(跪To合ta甲l叔St用re朗ss誓P刺at牌h)适。1.忌8码应力办路径图1柱.1湾6凳有效房诚应力墙路径各正抄应力槐与I1平均控应力八面冷体正私应力π平面刷上的埋正应廉力分巩量应力株张量哄第一不负变量表1蛛.2佳各正晕应力奇与应奔力张槽量第拳一不认变量I1之间宪的关系系各剪歪应力终与J2广义训剪应葡力八面樱体剪报应力π平面翅上的宋剪应签力分他量应力孝偏量雄第二不踢变量表1确.3浮各剪摔应力碰与应首力偏术量第特二不箭变量J2之间鬼的关叔系纯剪中应力不同帅加荷盘方式钳的应比力路僵径等压网固结K0固结三轴趴压缩糊剪切三轴姜伸长递剪切图1绒.1居7三密轴仪窄上的帖应力哑条件图1践.1芦8闲各向趴等压葛力固锋结排扒水三倦轴试衔验在p-段q平面理上的殊应力老路径po拉伸压缩压缩垦破坏解线拉伸毒破坏学线各向浅等压饼力固羞结轴向榴压缩A径向蚂压缩轴向豪拉伸各向勒等压押力固慰结：纤。存(1猜)轴台向压声缩试尖验中惑，径臣向应执力保场持不词变，且轴向拍应力挺增加南；(躺2)膀轴向诵拉伸巴试验灶中，消径向偶应力宫保持早不变恨，轴兼向应播力减威小；亦(3熊)径向向压