弹性力学课件一二

第四章平面问题的极坐标解答4—1极坐标中的平衡微分方程4—2极坐标中的几何方程和物理方程4—3极坐标中的应力函数与相容方程4—4应力分量的坐标变换式4—5轴对称应力和相应的位移4—6圆环或圆筒受均布压力4—9半平面体在边界上受集中力4—8圆孔的孔边、应力集中4—10半平面体在边界上受分布力4—1极坐标中的平衡微分方程求解平面问题时，对于圆形、楔形、扁形等物体，用极坐标求解比用直角坐标方便得多，平面内任一点的位置，用径向坐标r及环向坐标

来表示如何建立极坐标中的平衡微分方程？从物体（薄板或长柱体）中取出一微单元PABC，如图所示，其厚度为1

drPABCxyoKrK

应力的正负号规定与直角坐标中一致建立平衡方程：整理简化后得：（1）建立平衡方程：整理简化后得：（2）极坐标下平面问题的平衡微分方程：基本未知应力分量：

r、

、r=r4—2极坐标中的几何方程和物理方程一、几何方程在极坐标中，

r代表径向应变，

代表环向应变，r代表剪应变，ur代表径向位移，u

代表环向位移要确定几何方程，过P点取图示隔离体PAB，如图所示其总变形可由两种变形相叠加：PABxyo

drP`B`A`（1）假定只有径向位移，无环向位移径向恒正应丸变：环向贵正应坏变：PABxyo

dP’B’A’rPA的转谣角：PB的转亡角：剪应变：xAPByo

dr（2货）假屋定只稍有环雨向位露移，丛无径允向位杜移A”P”B”径向正应变：环向正应变：PA的转角：PB的转角：剪应变：当径妥向和理环向驾都有君位移倡时，堵总应麦变为嚷：这就哪是极追坐标直中的海几何积方程二、碍物理策方程由于萝极坐唇标和成直角次坐标暖都是态正交毙坐标恐，所笋以极堡坐标过中物返理方颤程与汇直角盾坐标盯中的羡物理阻方程皇具有碌相同窄的形雹式：腾（平您面应福力情横况）平面软应变盒情况棵下的碰物理赖方程础：4—肢3皂极坐拳标中准的应简力函峡数和求相容扣方程可利用坐标变换，将直角坐标下的相容方程变换成极坐标下的相容方程极坐标与直角坐标的关系：xyo（x，y）xyr

由此得：是x、苹y的函杏数，磨也是r、诵

的函掩数，轧所以重复合上述原运算绍：同理松：将上订式相甚加得据：直角纤坐标世下的正相容段方程岛为：所以窜，极矿直角凳坐标砖下的筹相容亭方程走为：是罢极坐幅标下吼的应蓄力函批数，访是r、允

的函烤数根据应力函数求应力分量：xyo（x，y）xyr

将x轴转存到与r重合监，可址得极坐冠标下垃得应队力分木量（惠忽略字体力屿）：归纳切：求解极坐标下的平面问题时，只须要由相容方程求解应力函数，然后按公式：求应力分量即可应力马分量咬必须竞满足匆位移划单值袜条件性，在浩边界轨上满救足应历力边赤界条障件极坐甲标下阵的应肢力边煮界条匆件：4—姻4蚀应力晕分量笑的坐圾标变摊换式直角虚坐标峰下的成应力元分量

x、y、

xy和极还坐标润下的骆应力诉分量

r、

、r可以橡通过随坐标搅变换义相互即求得酸，这子种表颠示两肃个坐树标系误中应乳力分奸量的剖关系逝式，女称为摊坐标筹变换北式已知

x、y、

xy，如何华求r、

、r？从物饮体取猛小三碎角板A，如图伤所示值，其蔽厚度兆为1ab沿y方向体，ac沿x方向盼，bc沿

方向族，长歉度为ds，各边太应力摸分量答如图反所示

x

xy

y

yx

r

r

Axyoacb

ab=ds锄·c灶os

ac条=ds梢·s铅in

建立平衡方程：同理，由平衡方程：为求

，另取微单元B，各面上的应力分量如图所示，板厚为1

xBxyo

y

yx

xy

r由平衡方程：应力短分量市由直氧角坐求标向怕极坐邮标的伶坐标互坐标倦变换沫式：反之册，应突力分攻量由砌极坐影标向捷直角桥坐标罗的坐厘标坐阵标变隐换式涌：同学鲁们可送以自蒸行推我导4—则5贝轴对高称应招力和努相应源的位钟移一、周轴对沈称问后题的祝应力热分量应力仗状态扛对称箱于过z轴的气任意尘平面果，也碧就是榴绕z轴是妹对称撒的，俗所以讨，应毒力分垦量也观是轴终对称沉的，壳也即兄，应献力分承量只沾是r的函映数，季不随而治变化用逆喜解法策：设枯应力永函数雄为=础

遣（r）相应圆的应蚁力分害量为摘：将应给力函赞数代瞧入相捧容方萄程得堵：四阶常系数齐次微分方程此方程得通解为：其中，A、B、C、D是待定常数相应的应力分量由此哪可以瓶看出挨，应断力分泛量只宋是r得函馅数，界不随而变泳化，漆且只河有正忽应力纸，无酿剪应朗力二、丙轴对霉称问收题的产应变藏和位驶移1、肺应变快分量由此析可见毒，应孕变分盖量也验只是r的函犯数，掏与无蚂关，钩即应分变绕z轴对迟称2、插位移停分量积分季得：由此序求得礼：将ur、u

代入下式由此得：整理后得：此式艇左边兽是r的函槐数，叹右边义是的甲函数飘，要古使左厅边与散右边子保持伞相等偏，只稠可能腥等于仇同一厚常数F，即（1）（2）由（1）式求得：由（2）式求得：将以值上各番式代躬入位役移分看量得餐表达矿式，扔可得蚂轴对层称应洞力状片态下朽的位阶移分洽量：上式浓中H、撕F、抓I、护K是待溜