第22章二次函数暑期自主学习同步达标测试题（含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册

第第页第22章二次函数暑期自主学习同步达标测试题（含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册2023-2024学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》

暑期自主学习同步达标测试题（附答案）

一、单选题（满分32分）

1．关于二次函数的性质，下列描述错误的是（）

A．开口向下B．与轴交于轴下方

C．与轴有两个交点D．时随的增大而减小

2．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是（）

A．B．

C．D．

3．二次函数的最小值是（）

A．3B．－3C．1D．－1

4．已知抛物线经过点和点，则该抛物线的对称轴为（）

A．y轴B．直线C．直线D．直线

5．已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（）

A．13B．5C．11D．14

6．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（）

A．B．C．D．

7．如图，抛物线的对称轴是，下列结论：①；②；③；④方程有解，正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

8．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（）

A．10B．12C．13D．15

二、填空题（满分40分）

9．已知函数是关于x的二次函数，且顶点在y轴上，那么m的值为．

10．若函数的图像与轴有交点，则的取值范围是．

11．已知直线经过抛物线的顶点，且当时，．则：

（1）直线与抛物线都经过同一个定点，这个定点的坐标是．

（2）当时，的取值范围是．

12．平距离x（m）之间的关系是，则此运动员将铅球推出的距离是．

13．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，，则a的值是．

14．抛物线与轴交于，两点，与轴交于，且此抛物线的顶点坐标为，则此抛物线的表达式为．

15．已知二次函数的图象与x轴恰有一个交点，且过点和点，则．

16．如图是二次函数图象一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．其中正确的是．

三、解答题（满分48分）

17．已知抛物线：，其中为常数，且，将抛物线关于原点对称的抛物线记为．

(1)抛物线的解析式为______；

(2)抛物线与轴的交点坐标为______；

当图象的最低点到轴距离为3时，求的值；

(3)抛物线、抛物线合起来得到的图象记为，当时，若点在图象上，求的值．

18．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

19．小强在数学课上遇到这样一个问题：

某校文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A,喷水口A距地面2m,喷出水流的轨迹是抛物线.水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m,水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m.求水流最高点与地面的距离.

小强通过建立平角坐标系求出抛物线的表达式，结合二次函数的最值知识解决了上面问题.他的建系方法如下：以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示.请你在小强建立平面直角坐标系的基础上解决上面问题.

20．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量不低于25套，每套产品的售价不低于90万元，每月利润（万元）．已知这种设备的月产量（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．

(1)求月产量的范围；

(2)如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？

(3)求每月利润的范围．

21．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，点的坐标是

(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；

(4)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：A．∵二次函数，，

∴开口向下，故选项正确，不符合题意；

B．当时，，即二次函数与y轴交点为，与轴交于轴上方，故选项错误，符合题意；

C．当时，，即，

∵，

∴二次函数与轴有两个交点，故选项正确，不符合题意；

D．∵，

∴开口向下，对称轴为直线，

∴当时随的增大而减小

故选项正确，不符合题意．

故选：B．

2．解：将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是

故选：C．

3．解：由表达式可知函数顶点为，

∴二次函数最小值为．

故选：C

4．解：∵抛物线经过点和点，

∴抛物线对称轴为直线，

故选B．

5．解：

整理得：

故当时，y有最小值b为2；

当时，y有最大值a为11；

故；

故选：A．

6．解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，即，两者符号不相同，故该选项不符合题意；

B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，即，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；

C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，即，两者符号不相同，故该选项不符合题意；

D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，即，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意；

故选：D．

7．解：根据题意，则，，

∵，

∴，

∴，故①错误；

由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；

∵，

令时，，

∴，故③正确；

在中，

当时，等式成立，即方程有解

故④正确；

∴正确的结论有：②③④，共3个；

故选：B．

8．解：∵抛物线的对称轴为直线

∵抛物线经过两点

∴，

即，

∴，

∵抛物线与轴有交点，

∴，

即，

即，即，

∴，，

∴，

∴，

故选：B．

9．解：由题意可知，

解得，

故m的值为，

故答案为：．

10．解：当时，函数是一次函数，与x轴有交点，

解得：；

当时，令，与x轴有交点，满足，

解得：且；

综上所述，与x轴有交点时，；

故答案为：．

11．解：（1）∵，

∴直线经过点，

∵，

∴抛物线经过点，

即与都经过同一个点；

故答案为：

（2）∵，

∴抛物线的顶点为，

∵直线经过抛物线的顶点，

∴直线与抛物线的交点为，，

∵当时，，

∴，．

画出大致图象如下：

∴当时．的取值范围是．

故答案为：

12．解：铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，

所以令时，即，

即，

，

解得，

∴根据题意得：；

故答案为：．

13．解：过点C作轴于点D，

∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，，

∴，

∵，

∴，

设点A的坐标为，则，

∴，

∴抛物线解析式为，

∵点为抛物线的顶点，

∴抛物线解析式为，

∴，

即，

解得：．

故答案为：

14．解：此抛物线的顶点坐标为，

设抛物线的表达式为，

又抛物线与轴交于，

，

解得：，

此抛物线的表达式为，

故答案为：．

15．解：∵二次函数的图象与x轴恰有一个交点，

∴，即，

∵二次函数的图象过点和点，

∴，

解得：，

∴，

∴二次函数的解析式为，

当时，，

∴．

故答案为：

16．解：抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴为直线，

，

抛物线与轴的交点在轴上方，

，

，所以①正确；

抛物线经过点，

时，，

，所以③错误；

对称轴为，且经过点，

抛物线与轴的另一个交点为，

∴当时，方程的两个根为2或，

由根与系数的关系可得，

，

，所以②错误；

点离对称轴要比点离对称轴要远，且，

，所以④正确．

抛物线的对称轴为直线，

当时，有最大值，

（其中，

（其中，

，

，

，所以⑤正确；

故答案为①④⑤．

17．（1）解：抛物线：，

顶点坐标为：，

抛物线关于原点对称的抛物线记为，

抛物线的顶点坐标为，且开口方向与抛物线相反，

抛物线的解析式为：，

故答案为：；

（2）解：①当时，

，

，

解得：，，

，

抛物线与轴的交点坐标为：，

故答案为：；

②由题意得，

图象的最低点到轴距离为3，

抛物线开口向上，且，

，

；

（3）解：把代入，

得：，

把代入，

得：，

若点在图象上，

即时，，

解得：（舍去），

若点在图象上，

即时，，

解得：，

综上所述，的值为或．

18．（1）解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为米，

∴，

∴当时，y有最大值是1200，

此时，宽为（米）

答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米．

（2）解：设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为平方米，

由题意可得

解得：，

即牡丹最多种植700平方米，

（株），

答：最多可以购买1400株牡丹．

19．解：由已知可知，A(0,2),C(3,0),抛物线对称轴为直线

设抛物线表达式为

可列方程，解得

∴抛物线的表达式为

当时，y有最大值为

∴水流到地面的最高距离为m.

20．（1）解：设函数关系式为，把坐标，代入，

得，解得：，

∴函数关系式，

由题意得，解得，

∴月产量的范围为：；

（2）解：∵每月利润为1750万元，

∴，即，

∴．

∵，

∴．

答：想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为25套；

（3）解：设利润为万元，由题意得，

，

∵，，

∴当时，有最大值为1950（万元），

当时，（万元），

当时，（万元），

答：每月利润的范围为．

21．（1）解：抛物线的对称轴为直线，

，

，

直线，当时，，

当时，，

解得，

，

抛物线经过点，

，

解得：，

抛物线的解析式为：；

（2）解：如图1，设直线交于点，连接，

直线，

当时，，

，

直线垂直平分，

，

，

，

当点与点重合时，，此时的值最小，

，此时的值最小，

当的值最小时，点的坐标是，

故答案为：；

（3）解：如图2，作轴于点，交于点，

点的横坐标为，

，

，

，

，

当时，，此时，

三角形