数学人教A版高中必修一（2019新编）4-1-1 n次方根与分数指数幂（作业）

4.1.1n次方根与分数指数幂（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（

）A． B．

C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.【详解】由题意可得，A错误；时，，B错误；，C错误；，D正确，故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）设，为方程的两个根，则（

）A．8 B．-8 C．1 D．3【答案】A【分析】利用根与系数的关系，结合指数幂的运算，可得答案.【详解】由于，为方程的两个根,利用根与系数的关系，得，所以,故选:A3．（2022·江苏·高一）若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答.【详解】因，则有，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D4．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如果关于的不等式的解集是，那么等于（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果.【详解】∵不等式的解集是，∴是方程的两个实根，∴，∴，∴.故选：B.5．（2022·全国·高一课时练习（理））若，，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.【详解】依题意，，，则，所以的值为1.故选：A二、多选题6．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）若，则下列说法中正确的是（

）A．当为奇数时，的次方根为B．当为奇数时，的次方根为C．当为偶数时，的次方根为D．当为偶数时，的次方根为【答案】BD【分析】根据，讨论为奇数和为偶数两种情况，求出的次方根，即可判断得出结果.【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为；当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.所以B，D说法是正确的.故选：BD.7．（2022·福建省永泰县第一中学高一开学考试）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B．y=t+1 C． D．【答案】BD【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.函数的定义域是.的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.故选：BD．三、填空题8．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）比较大小：___________.（填：>､<､=）【答案】<【分析】将已知两式化简即，比较分母大小，即可求得答案.【详解】由题意可得，因为，故，即，故答案为：<9．（2022·全国·高一专题练习）如果，，那么的值是______.【答案】【分析】根据平方差公式即可求解.【详解】由知：为非负数，∵，∴故答案为：10．（2022·全国·高一专题练习）计算：的结果是__________________．【答案】2【分析】根据根式的运算法则即可求解.【详解】

故答案为：2．11．（2022·全国·高一专题练习）________.【答案】【分析】利用分母有理化化简即得解.【详解】解：原式=.故答案为：.12．（2022·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．【答案】21【分析】根据已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非负数的性质求解.【详解】解：由题意得：，则，∴x＋y＝19，∴＋＝0，则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案为：21．13．（2022·全国·高一专题练习）二次根式成立的条件是_________【答案】【分析】利用得到，从而得到.【详解】二次根式，所以.故答案为：14．（2022·全国·高一专题练习）化简的结果为________【答案】##【分析】直接将表示成，结合平方差公式即可得结果.【详解】.故答案为：.15．（2022·全国·高一课时练习）求值_______．【答案】4【分析】直接利用根式的运算性质化简【详解】.故答案为：416．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习），则实数a的取值范围_________

【答案】【分析】由二次根式的化简求解【详解】由题设得，，所以所以，．故答案为：17．（2022·辽宁锦州·高一期末）______．【答案】8【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂求解作答.【详解】.故答案为：818．（2022·江苏·高一）已知，则________.【答案】【分析】通过平方，得两式的转化关系，，从而得，再由，开方即可求得.【详解】因为，所以，又因为，所以故答案为：.19．（2022·河南洛阳·高一期末）计算：______．【答案】【分析】根据幂的运算法则，根式的定义计算．【详解】．故答案为：．四、解答题20．（2022·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)0【分析】根据根式的运算即可求解（1）（2）.（1）；（2）=021．（2022·全国·高一课时练习）计算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】本题应用，为奇数，进行整理计算．（1）（2）22．（2022·江苏·高一）计算：．【答案】.【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.【详解】原式=.23．（2022·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；（2）计算：．【答案】（1）23；（2）.【分析】（1）由两边同时平方可得答案.（2）利用分数指数幂的运算性质结合根式的运算性质可得答案.【详解】（1）（2）原式24．（2022·全国·高一）化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和幂的运算性质即可求解；（2）利用根式与分数指数幂的转化及幂的运算性质即可求解.(1)(2)【能力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据二次根式的性质得出，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.【详解】，即，，.故选：A.2．（2022·江苏·高一）已知实数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的运算求解.【详解】设，，，，，..又，，，.故选：D3．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求.【详解】解：由，可得，即．实数的取值范围是．故选：．4．（2022·全国·高一课时练习）化简(其中，)的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.【详解】因，，所以.故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项.【详解】因为在R上递减，且，所以.又因为在R上递增，且，所以.所以.故选：D.【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题.6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值是A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意知，，由于，故，则原式.故选B.【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.7．（2022·全国·高一课时练习）若，则等式成立的条件是A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可.【详解】，，．由，得.故选C.【点睛】本题主要考查根式的定义与运算法则，属于基础题.8．（2022·全国·高一）设函数，则满足的x的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.二、填空题9．（2022·全国·高一专题练习）化简：________．【答案】【分析】分析式子可以发现，若在结尾乘以一个，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以即可﹒【详解】原式故答案为：﹒10．（2022·全国·高一专题练习）若，则的立方根为_______.【答案】2【分析】首先根据函数有意义可求出的值，把的值代入即可求出的值，从而可求出答案.【详解】由，得，所以，所以，所以的立方根为.故答案为：.11．（2022·全国·高一专题练习）关于圆周率，祖冲之的贡献有二：①；②用作为约率，作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：，舍去0.0625135，得到逼近的一个有理数为，类似地，把化为连分数形式：（m，n，k为正整数，r为0到1之间的无理数），舍去r得到逼近的一个有理数为__________.【答案】.【分析】利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可.【详解】舍去得到逼近的一个有理数为.故答案为：【点睛】本题考查了类比推理，解题的关键是理解题中的定义，属于基础题.12．（2022·全国·高一专题练习）已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．【答案】【分析】先利用有理指数幂的运算法则化简，再代值．【详解】m=2，n=3，则原式==m•n-3=2×3-3=，故答案为．【点睛】本题考查了有理指数幂及根式．属基础题．三、解答题13．（2022·全国·高一专题练习）阅读材料，解决问题：化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．令，，令，得；∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，；当时，原式；当时，原式=5；当时，原式．(1)求和的零点值；(2)化简：．(3)求方程：的整数解．【答案】(1)，(2)答案见解析(3)，，，，，，【分析】（1）令，，求出的值即可．（2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．（3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．（1）解：可令和，解得和，∴，分别为和的零点值．（2）解：当时，，原式当时，，原式当时，，，原式（3）解：当时，∴，∴方程左边；当时，∴，∴方程左边；当时，∴，，∴方程左边，∴，∴整数解为：，，，，，，．14．（2022·全国·高一课时练习）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;（2）将化为，化简并结合，可求得答案.【详解】（1），则．（2），且,．15．（2022·江苏·高一单元测试）求下列各式的值；(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】分析：（1）利用进行化简，求得答案；（2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案.（1）=．（2）原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.16．（2022·全国·高一课时练习）（1）计算：；（2）已知，求．【答案】（1）3；（2）.【分析】（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；（2）先判断出，然后将平方后结合条件求得答案.【详解】（1）原式，．（2）由于，所以，，所以．17．（2022·江苏·高一）计算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.(1)原式.(2)原式.(3)因，两边平方得，所以.18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且），其中a，b均为实数.(1)若函数的图象经过点，，求函数的解析式；(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）将已知点代入函数即可求出；（2）讨论和根据函数单调性列出方程即可求解.（1）因为函数的图象经过点，，∴，∴∴函数.（2）如果函数的定义域和值域都是，若，则函数为增函数，∴，无解.若，则函数为减函数，∴，解得，∴.19．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，，且，用，表示；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先分母有理化，再利用完全平方公式得到的值，进而求解出结果.（2）通过除以法则，变为乘法，看出分子是立方差公式的逆用，进而约分，化为最简，再代入求值【详解】（1），因为，所以，所以．原式．（2）原式=．20．（2022·全国·高一专题练习）设表示不超过的最大整数，如，，.化简：（结果用表示，其中是大于0的整数）.【答案】【分析】利用设表示不超过的最大整数，依次化简个根式，然后利用裂项相消法即可得结论.【详解】由题意，表示不超过的最大整数，设为正整数，则，于是，，原式.【点睛】本题主要考查对定义的理解以及用裂项相消对数列求和