数学人教A版高中必修一（2019新编）2-1 第2课时 等式性质与不等式性质（学案）

2.1等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质【学习目标】课程目标学科素养1.掌握不等式的有关性质．2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明或解决范围问题．（重点、难点）1、逻辑推理2、数学运算【自主学习】一．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).二．不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b

a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c

b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒

_______a>b，c<0⇒

_______c的符号5同向可加性a>b，c>d⇒

___________同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒

________同向7可乘方性a>b>0⇒an

bn(n∈N，n≥2)同正思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＝b是eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)成立的充要条件．()(2)a>b⇒ac2>bc2．()(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.()(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．()(5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.()2．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．ad>bc B．ac>bdC．a＋c>b＋d D．a－c>b－d【经典例题】题型一利用不等式的性质证明简单的不等式点拨：利用不等式的性质证明不等式注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.例1已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【跟踪训练】1证明不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．题型二利用不等式的性质求取值范围点拨：利用不等式的性质求取值范围的策略

1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.

2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.

注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围.

例2已知30＜x＜42,16＜y＜24，分别求下列范围.(1)x＋y;(2)x－3y;(3)eq\f(x,x－3y)．【跟踪训练】2已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．【当堂达标】1.(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下面四个不等式成立的有（）

A.|a|>|b| B.a<bC.a＋b<ab D.a3>b32.若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<13.若8<x<10，2<y<4，则eq\f(x,y)的取值范围为________.4.对于实数a，b，c，给出下列命题：①若a>b，则ac2>bc2；②若a<b<0，则a2>ab>b2；③若a>b，则a2>b2；④若a<b<0，则eq\f(a,b)>eq\f(b,a).其中正确命题的序号是________．5.已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.6.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，eq\f(a,b)的取值范围.【课堂小结】1.知识点：

(1)等式的性质.

(2)不等式的性质及其应用.

2.方法归纳：作商比较法、乘方比较法.

3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.

【参考答案】【自主学习】<>ac>bcac>bca＋c>b＋da＋c>b＋d>思考1：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.思考2：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.【小试牛刀】1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2.C解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.【经典例题】例1证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，即a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【跟踪训练】1解：(1)，,(2)，,又，.例2解：(1)因为30＜x＜42,16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.(2)因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6.(3)因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－eq\f(1,6)＜eq\f(1,x－3y)＜－eq\f(1,42)，所以0＜eq\f(1,42)＜－eq\f(1,x－3y)＜eq\f(1,6)，所以eq\f(30,42)＜－eq\f(x,x－3y)＜eq\f(42,6)，故－eq\f(42,6)＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(30,42)，得－7＜eq\f(x,x－3y)＜－eq\f(5,7).【跟踪训练】2设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝eq\f(x＋y,2)，b＝eq\f(x－y,2)，∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y.又eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)x≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)y≤eq\f(15,2)，∴－2≤eq\f(1,2)x＋eq\f(5,2)y≤10.即－2≤3a－2b≤10.【当堂达标】1.CD解析：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确.2.A解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.3.2<eq\f(x,y)<5解析：∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).又∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.4.②④解析：对于①∵c2≥0，∴只有c≠0时才成立，①不正确；对于②，a<b<0⇒a2>ab；a<b<0⇒ab>b2，∴②正确；对于③，若0>a>b，则a2<b2，如－1>－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2.又∵ab>0，∴eq\f(1,ab)>0，∴a2·eq\f(1,ab)>b2·eq\f(1,ab)，∴eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，④正确．5.证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，即