数学人教A版高中必修一（2019新编）4-4-3 不同函数增长的差异（学案）

4.4.3不同函数增长的差异【学习目标】课程标准学科素养1.尝试将实际问题转化为函数模型．2.了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．3.会根据函数的增长差异选择函数模型．1.数学建模2.数学运算3.直观想象【自主学习】一.函数模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.二.三种常见函数模型的增长差异函数类型指数函数对数函数一元一次函数解析式y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)单调性在(0，＋∞)上单调图象(随x的增大)逐渐与y轴平行逐渐与x轴平行直线逐渐上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越____y的增长速度越来越____y值逐渐增加增长关系存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax思考：已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？【经典例题】题型一根据函数的图象规律分析函数模型的增长趋势例1某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．【跟踪训练】1在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()题型二函数模型的增长差异点拨：三种函数模型的增长规律：1.对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．2.指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．3.指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.例2四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是____.【跟踪训练】2(1)下列函数中，增长速度最慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x(2)有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2题型三函数模型的选取点拨：不同函数模型的选取标准1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．3.对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．4.幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．例3某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【当堂达标】1.（多选）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（）A.随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B.随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C.当时，增长速度一直快于D.当时，增长速度有时快于2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A．一次函数 B．幂函数C．对数函数 D．指数函数3.下列函数中随x的增长而增长最快的是()A.y＝exB.y＝lnxC.y＝x10D.y＝2x4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.(填序号)①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.6.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只.【参考答案】【自主学习】(a>1)递增快慢思考:(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x.【经典例题】例1②③解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xa(0<a<1)．反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．【跟踪训练】1B解析：注射时间为2h，(0,2)内呈直线上升，当t＞2时呈指数衰减．A在(0,2)内不是直线上升．D中t＞2时，为负数，无意义．C衰减部分不是指数变化．故选B.例2y2解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．【跟踪训练】2（1）B解析：对数函数的增长速度越来越慢．选B.(2)C解析：从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.例3解：设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000,y2＝108000，∵y1>y2，∴应选择方案一处理污水．【当堂达标】1.BD解析：对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．故选：BD．2.C解析：从图象可以看出这个