高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义

高一求求函数值域的7类题型和15种方法讲义求一次函数和二次函数的值域是高中数学中的重要内容。下面介绍七类题型和十五种方法。题型一：一次函数y=ax+b(a≠0)的值域（最值）1.当一次函数的定义域为实数集时，其值域也为实数集。2.当一次函数在闭区间[m,n]上取得最值时，只需求出f(m)和f(n)，并比较它们的大小。若区间为半开区间或开区间，则需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的值域（最值）1.当二次函数的定义域为实数集时，其值域为：y≥(a>0)或y≤(a<0)(4ac-b²)/4a2.当二次函数在闭区间[m,n]上取得最值时，需先判定其对称轴x=-b/2a与区间[m,n]的位置关系。若对称轴在区间内，则最大值为f(m)和f(n)中较大者，最小值为对称轴处的函数值；否则，只需比较f(m)和f(n)的大小即可决定函数的最大（小）值。特别注意，若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值。题型三：一次分式函数的值域1.反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。2.形如y=(ax+b)/(cx+d)的一次分式函数的值域：(1)若定义域为{x|x≠-d/c}，则值域为：{y|y≠-a/c}(c≠0)或{y|y≠b/a}(c=0)(2)若定义域为闭区间[m,n]，则可将原函数变形为x=(d-by)/(a-cy)，利用x在[m,n]上有界的特点，求出函数的值域。题型四：基本初等函数的复合函数的值域1.对于复合函数f(g(x))，先求出g(x)的值域，再根据f(x)的单调性和奇偶性来确定f(g(x))的值域。2.对于基本初等函数的复合函数，可以利用函数的图像和性质来求出其值域。题型五：绝对值函数的值域1.|x|的值域为[0,+∞)。2.|ax+b|的值域为：(1)a≠0时，[|b/a|,+∞)。(2)a=0时，若b≥0，则值域为[b,+∞)；若b<0，则值域为(-∞,b]。题型六：分段函数的值域1.对于分段函数，先求出每个分段函数的值域，再根据定义域的情况来确定整个函数的值域。2.特别注意，当分段函数的分段点处存在间断点时，需结合左右极限来确定函数的值域。题型七：三角函数的值域1.sinx和cosx的值域为[-1,1]。2.tanx和cotx的值域为R。3.secx和cscx的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞)。总之，求函数的值域需要根据函数的性质和定义域来进行分析，结合图像和数学方法来求解。题型四：二次分式函数y=dx2+ex+c的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题：①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x是否存在；③分子、分母必须是既约分式。例6：y=2x+1/(x2+x-6)；值域为（-∞，-3）∪（-4，-1/2）∪[2，+∞)。例7：y=3x/(2x-1)；值域为（-∞，0）∪(0，+∞)。例8：y=33/(2x+4)；值域为(-∞，-4/3]∪[0，+∞)。例9：求函数y=2-x/x+2x+1的值域解：由原函数变形、整理可得：y(x2+2x+1)-x(2-y)=2求原函数在区间(-1,+∞)上的值域，即求使上述方程在(-1,+∞)有实数解时y的取值范围当x=-1时，解得：y=0也就是说，0是原函数值域中的一个值…①当x≠-1时，上述方程要在区间(-1,+∞)上有解，即要满足x2+2x+1>0解得：y≤2或y≥0综合①得：原函数的值域为：[0,2]。题型五：形如y=ax+b±cx+d的值域这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例10：求函数y=2x+4/(1-x)在x∈[-8,1]时的值域将y转化为二次函数的形式：y=2(1-x)+4/(1-x)化简得：y=-2x2+4x+2该函数的值域为[-4,6]。题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例11：y=x-1+x+2[3,+∞)该函数的值域为[4,+∞)。题型七：复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例13：y=2/(x+1)√(5-x)该函数的定义域为[-1,5)，由内层函数2/(x+1)和√(5-x)的值域逐层递推得到该函数的值域为(0,∞)。函数值域求解的十五种方法1.直接法（俗名分析观察法）：通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数y=(x-1)-1，x∈{-1,1,2}，求函数的值域。解：将x的取值代入函数中得到y的取值，即y={-1/2,0,3}，因此函数的值域为{-1/2,0,3}。练习：求函数y=x+1的值域。[1,+∞)2.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a[f(x)]+bf(x)+c(a≠0)类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数y=-2x-x2+3的值域。解：将y转化为关于x的二次函数，即y=-(x+1)2+4，由此得到函数的最大值为4，最小值为-3，因此函数的值域为[-3,4]。例2：求函数y=(x2+2x+4)/(x+1)的值域。解：将y转化为关于x的二次函数，即y=x+2-3/(x+1)，由此得到函数的最大值为2，最小值为-3，因此函数的值域为[-3,2]。3.最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。例1：求函数y=3-2x-x2当定义域为[-3,1]的值域。解：将函数y转化为关于x的二次函数，即y=-(x+1)2+4，由此得到函数的最大值为4，最小值为2，因此函数的值域为[2,4]。练习：求函数y=2，x∈[-2,2]的值域。4.反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围。对于形如y=cx+d(a≠0)的函数，也可以使用反函数法。练习：求函数y=x/(x+4)，x∈[-4,∞)的值域。5.分段函数法：对于分段函数，可以分别求出每一段的值域，然后将它们合并起来即可得到整个函数的值域。练习：求函数y={x+2，x≤-1；2x，-1<x≤2；4，x>2}的值域。6.对称法：利用函数的对称性，以及对称轴上的函数值，求出函数的值域。练习：求函数y=x2-4x+5的值域。7.导数法：对于单峰函数，可以通过导数法求出函数的极值点及其对应的函数值，进而得到函数的值域。练习：求函数y=x3-3x2+3x+1的值域。8.中间值定理法：利用函数连续的性质，通过中间值定理求出函数的值域。练习：求函数y=x3-2x2-3x+1的值域。9.奇偶性法：对于具有奇偶性的函数，可以根据函数的奇偶性质，求出函数的值域。练习：求函数y=x3-2x的值域。10.周期性法：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性质，求出函数的值域。练习：求函数y=sin2x的值域。11.对数函数法：对于对数函数，可以利用对数函数的单调性质，求出函数的值域。练习：求函数y=log2(x+4)的值域。12.指数函数法：对于指数函数，可以利用指数函数的单调性质，求出函数的值域。练习：求函数y=2x-1的值域。13.积分法：对于连续函数，可以利用积分法求出函数的值域。练习：求函数y=x2-2x+3的值域。14.线性规划法：对于一些特殊的函数，可以利用线性规划法求出函数的值域。练习：求函数y=2x1+3x2的值域，其中x1,x2满足条件x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1。15.数学归纳法：对于一些递归定义的函数，可以利用数学归纳法求出函数的值域。练习：求斐波那契数列的值域。Ax+b的值域可以通过函数和它的反函数的定义域和值域关系来求得。首先需要求出反函数的定义域，然后通过反函数的定义域得到原函数的值域。例如，对于函数y=1/(x+2)，求其值域。由y=1/(x+2)解得x=(1/y)-2。因为x的定义域为R-{2}，即实数集去掉2，所以y的值域为(-∞,-1/2)并(1/2,∞)。另外，对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的函数，如果在其自然定义域内，值域为(b/a,c/d)。如果是条件定义域，可以采用部分分式法将原函数化为简单的形式，然后用复合函数法来求值域。还可以运用换元法，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。例如，对于函数y=2x+1-2x/(1-x^2)，可以令t=1-2x，然后求出t的值域，进而得到y的值域为(-∞,-1]。最后，判别式法可以把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域。方程有实根，即Δ≥0，从而可以求得函数的值域。需要注意的是，对于二次函数，要对二次项系数进行讨论。此方法主要适用于定义在实数集上的分式函数，对于定义在某个区间上的函数，需要另行讨论。例1：求函数y=x^2-x+3/(x-x+1)的值域。解：将函数变形为(y-1)x-(y-1)x+3=(y-1)(x^2-x+3)/(x-x+1)。当y=1时，此方程无解；当y≠1时，由于x∈R，因此Δ=(y-1)-4(y-1)(y-3)≥0，解得1≤y≤2/3。又因为y≠1，所以1<y≤2/3。因此，函数y=x^2-x+3/(x-x+1)的值域为{y|1<y≤2/3}。函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，可以利用函数的单调性求出函数的值域。例2：求函数y=x-1-2x的值域。解：当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-1-2x随x的增大而增大，因此函数y=x-1-2x在定义域(-∞,+∞)上是增函数。因此，y≤lim(x→-∞){x-1-2x}=-∞。因此，函数y=x-1-2x的值域为(-∞,]。例3：求函数y=x+(1/2)/(x-1/2)在区间x∈(1/2,+∞)上的值域。解：任取x1,x2∈(1/2,+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)((x1+1/2)/(x1-1/2)-(x2+1/2)/(x2-1/2))=-(x1-x2)/(2x1x2-1/2(x1+x2))<0。因此，函数y=x+(1/2)/(x-1/2)在区间x∈(1/2,+∞)上是单调递减函数。因此，y≥lim(x→+∞){x+(1/2)/(x-1/2)}=+∞。因此，函数y=x+(1/2)/(x-1/2)在区间x∈(1/2,+∞)上的值域为[1/2,+∞)。函数有界性法：利用某些函数的有界性可以求得原函数的值域。例4：求函数y=(x^2-1)/(x+1)的值域。解：将函数变形为y=x-1-2/(x+1)，则当x→-∞时，y→-∞；当x→+∞时，y→+∞；当x=-1时，y没有定义。因此，函数y=(x^2-1)/(x+1)的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)。数学中，求函数值域的方法有很多种。以下介绍几种常用的方法。1.数型结合法如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域。例如，对于函数$y=|x+1|+|x-2|$，我们可以画出它的图象，从而得出函数的值域为$\{y|y\geq3\}$。2.复合函数法对于函数$y=f(u),u=g(x)$，我们可以先求出$u=g(x)$的值域，充当$y=f(u)$的定义域，从而求出$y=f(u)$的值域。例如，对于函数$y=\frac{3x}{3x+1}$，我们可以设$3x+1=t>0$，则$y=\frac{t-1}{t}$，从而得出函数的值域为$(0,1]$。3.非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例如，对于函数$y=16-x^2$，我们可以将其化为$y=(4+x)(4-x)$的形式，从而得出函数的值域为$(-\infty,16]$。4.平方开方法对于一些特殊的函数，我们可以通过平方开方法来求其值域。例如，对于函数$y=x^2+2x+5$，我们可以将其化为$y+1=(x+1)^2+4$的形式，从而得出函数的值域为$[4,+\infty)$。本文将介绍“平方开方法”适用的函数特征、运算步骤和四个实例。首先，若函数f(x)（x∈D）能采用“平方开方法”，则通常具有以下三个特征：（1）f(x)的值总是非负；（2）f(x)具有两个函数加和的形式；（3）f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，其中新函数g(x)（x∈D）的值域容易求得。其次，若函数f(x)具备上述三个特征，则可以先平方再开方得到f(x)=c+g(x)（x∈D