数值微分教学课件市公开课金奖市赛课一等奖课件

3.5数值微分3.5.3数值微分外推算法3.5.2三次样条求导3.5.1插值型求导公式第1页第1页3.5数值微分学习目的：掌握几种数值微分计算公式。第2页第2页数值微分就是用离散办法即使近似地求出函数在某点导数值.按照Taylor展开原理可得其中h为一增量。上面几种公式是很实用，下面我们再讨论一些惯用办法。3.5数值微分第3页第3页3.5.1插值型求导公式设f（x）是定义在[a，b]上函数，并给定区间[a，b]上函数，并给定区间[a，b]上n+1个节点出函数值这样,我们能够建立函数n次插值多项式多项式求导是容易,称(3.5.1)为插值型求导公式。第4页第4页应当指出，即使和值相差不多，导数近似值与导数值仍然也许相差很大。因而在使用求导公式（3.5.1）时，应注意误差分析。依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）余项为式中在上述余项公式中，由于是x未知函数，我们无法对右端第二项作出进一步阐明。因此，对于随意给出点x，求导公式余项是很难预计。第5页第5页然而，假如我们限定求节点上导数值，那么有余项公式

（3.5.2）下面我们考察节点处导数值。为简化讨论，假定所给节点是等距，h是步长。1.两点公式当n=1时，由（3.5.2）得带余项两点公式（3.5.3）（3.5.4）第6页第6页2.三点公式

当n=2时，由（3.5.2）带余项三点公式（3.5.5）（3.5.6）（3.5.7）3.五点公式当n=4时，由（3.5.2）不难导出带余项五点求导公式。这里给出其中惯用五点公式（3.5.8）第7页第7页例3.9

设，对h=0.01，计算近似值。

解由（3.5.5）式有由（3.5.6）有由（3.5.7）式有由（3.5.8）式有准确值。计算结果显然与它们余项相一致，由（3.5.8）式计算所得结果最准确。第8页第8页然而，对于用插值法建立数值求导公式通常导数值准确度比用插值公式求得函数值准确度差，高阶导数值精度比低阶导数值精度差。因此，不宜用次办法建立高阶数值求导公式。用插值多项式作为近似函数，还能够建立高阶数值微分公式第9页第9页3.5.2三次样条求导

我们知道，三次样条函数S(x)作为f（x）近似函数，不但彼此函数值很靠近，导数值也很靠近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然。设在区间[a，b]上，给定一个划分及相应函数值再给定适当边界条件，按三次样条函数算法，建立关于节点上一阶导数或二节导数

样条方程组。求得或从而得到三次样条插值函数S(x)表示式。这样，可得数值微分公式第10页第10页与前面插值型数值微分公式不同，样条数值微分公式（3.5.9）能够用来计算插值范围内任何一点（不但是节点）上导数值。误差预计由（2.3.21）给出。对节点上导数值，若求得是则由S(x)表示式有若求得是则由S(x)表示式有第11页第11页3.5.3数值微分外推算法

由此看见，仅有两位有效数字。利用Richardson外推法能够提升计算精度。先看一个简朴例子。求在x=0.004出一阶导数值。采用中点微分公式（3.5.6），即取h=0.0016，那么得而对于中心差商，记由Taylor级数展开有第12页第12页利用Richardson外推公式，取则有外推公式（3.5.9）终止原则是是预先给定误差小量。例3.10设设h分别取0.1,0.05,0.025时求出x=0.5出一阶导数中心差商,进行外推,并与准确值进行比较。解先分别取h=0.1,0.05,0.025,求出节点x=0.5处中心差商值，见表3-6，再按（3.5.9）式进行外推，外推两次，结果列于表3-6中。从表3-6可见，h=0.025时中心差商值只有3位有效数字，外推一次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字。第13页第13页表3-6

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