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文档简介
控制系统的数学模例题精解第1页,课件共39页,创作于2023年2月例题精解例2.1弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。解:(1)设输入为,输出为,弹簧与阻尼器并联平行移动。(2)列写原始方程式。由于无质量,按受力平衡方程,各受力点任何时刻均满足ΣF=0,则对于A点有
yry0其中,Fƒ阻尼摩擦力;FK1,FK2为弹性恢复力。(3)写中间变量关系式ƒ图2.1机械位移系统K1K2Ayry0·第2页,课件共39页,创作于2023年2月(4)消中间变量得(5)化标准型式中,为时间常数,单位(秒);为传递系数,无量纲。第3页,课件共39页,创作于2023年2月例2.2已知单摆系统的运动如图2.2所示。(1)写出运动方程式;(2)求取线性化方程。解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角θ,摆球质量为m。
(2)由牛顿定律写原始方程式中,l为摆长;lθ运动弧长;h为空气阻力。(3)写中间变量关系式式中,α为空气阻力系数;ldθdt为运动线速度。mgθlh图2.2单摆运动l第4页,课件共39页,创作于2023年2月(4)消中间变量得运动方程式此方程为二阶非线性齐次方程。(5)线性化。在θ=0附近,非线性函数sinθ≈θ,故代入上式可得线性化方程为第5页,课件共39页,创作于2023年2月例2.3已知机械旋转系统如图2.3所示,试列出系统运动方程。ωfJMƒ图2.3机械旋转系统解:(1)设输入量为作用力矩Mƒ,输出为旋转角速度ω。(2)列写运动方程式式中,fω为阻尼力矩,其大小与转速成正比。(3)整理成标准形为此为一阶线性微分方程,若输出变量改为θ,则由于ω=dθdt,代入方程得二阶线性微分方程式第6页,课件共39页,创作于2023年2月例2.4设有一个倒立摆安装在马达传动车上,如图2.4所示。倒立摆不是稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。
解:(1)设输入作用力为u,输出为摆角θ。(2)写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为,于是
画出系统隔离体受力图如图2.5所示。第7页,课件共39页,创作于2023年2月ou图2.5隔离体受力图yMxllθAmgVVHHlcosθo图2.4倒立摆系统yuxθmgllPMA第8页,课件共39页,创作于2023年2月式中,J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿x轴方向运动方程为摆杆重心A沿y轴方向运动方程为即(2.1)(2.2)即摆杆围绕中心A点转动方程为第9页,课件共39页,创作于2023年2月小车沿x轴方向运动方程式为(2.3)(2.4)方程(2.1)~(2.4)为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和cosθ项,所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当θ很小时,可对方程组线性化,由例2.2可知sinθ≈θ,同理可得到cosθ≈1。则方程式(2.1)~(2.4)可用线性化方程表示为第10页,课件共39页,创作于2023年2月用的算子符号将以上方程组写成代数形式,消掉中间变量V、H、x得将微分算子还原后得此为二阶线性化偏量微分方程。第11页,课件共39页,创作于2023年2月例2.5RC无源网络电路图如图2.6所示,试采用复数阻抗法画出系统结构图,并求传递函数Uc2(s)/Ur(s)。uruc2R1R2i1i2C1C2图2.6RC无源网络解:在线性电路的计算中,引入了复阻抗的概念,则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即如果二端元件是电阻R、电容C或电感L,则复阻抗Z(s)分别是R、1/Cs或Ls。(1)用复阻抗写电路方程式:第12页,课件共39页,创作于2023年2月(2)将以上4式用方框图表示,并相互连接即得RC网络结构图,见图2.7(a)、(b)。(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7(c)、(d)、(e)。(4)用梅逊公式直接由图2.7(b)写出传递函数Uc2(s)/Ur(s)。独立回路有三个:第13页,课件共39页,创作于2023年2月回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上可写出特征式为第14页,课件共39页,创作于2023年2月前向通路只有一条由于P1与所有回路L1,L2,L3都有公共支路,属于相互有接触,则余子式为代入梅逊公式得传递函数第15页,课件共39页,创作于2023年2月图2.7(a)+-+-+-第16页,课件共39页,创作于2023年2月+-+-+-图2.7(c)+-+-+-图2.7(b)第17页,课件共39页,创作于2023年2月+-图2.7(d)图2.7(e)第18页,课件共39页,创作于2023年2月例2.6有源网络如图2.8所示,试用复阻抗法求网络传递函数,并根据求得的结果,直接用于图2.9所示PI调节器,写出传递函数。
解:图2.8中Zi和Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗,A点为虚地,即UA≈0,运算放大器输入阻抗很大,可略去输入电流,于是I1=I2则有故传递函数为对于由运算放大器构成的调节器,上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图2.9所示PI调节器,有第19页,课件共39页,创作于2023年2月故+ZfZii1i2uiuc图2.8有源网络uc+uiR1R2C图2.9PI调节器第20页,课件共39页,创作于2023年2月例2.7求下列微分方程的时域解x(t)。已知χ(0)=0,χ(0)=3。.解:对方程两端取拉氏变换为代入初始条件得到解出X(s)为第21页,课件共39页,创作于2023年2月反变换得时域解为例2.8已知系统结构图如图2.10所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。
解:(1)首先将含有G2的前向通路上的分支前移,移到下面的回环之外。如图2.11(a)所示。(2)将反馈环和并联部分用代数法则化简,得图2.11(b)。(3)最后将两个方框串联想乘得图2.11(c)。第22页,课件共39页,创作于2023年2月G1G2H++++C(s)R(s)图2.10系统结构图G1H–+++G2G1R(s)C(s)(a)第23页,课件共39页,创作于2023年2月G11+G1H1+G2G1R(s)C(s)(b)G1+G21+G1HR(s)C(s)(c)图2.11系统结构图的简化例2.9已知系统结构图如图2.12所示,试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。G1G2++++R(s)C(s)图2.12系统结构图第24页,课件共39页,创作于2023年2月解:(1)将两条前馈通路分开,改画成图2.13(a)的形式。(2)将小前馈并联支路相加,得图2.13(b)。(3)先用串联公式,再用并联公式将支路化简为图2.13(c)。++++G1G2(a)++G2G1+1R(s)R(s)C(s)C(s)G1G2+G2+1R(s)C(s)(b)(c)图2.13系统结构图化简第25页,课件共39页,创作于2023年2月例2.10已知机械系统如图2.14(a)所示,电气系统如图2.14(b)所示,试画出系统结构图,并求出传递函数,证明它们是相似系统。χiy0χF1FF2ƒ1ƒ2k1k2(a)••••••••R1R2ii1i2eie0(b)C1C2图2.14系统结构图(a)机械系统(b)电气系统解:(1)列写图2.14(a)所示机械系统的运动方程,遵循以下原则:并联元件的合力等于两元件上的力相加,平行移动,位移相同。串联元件各元件受力相同,总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为:第26页,课件共39页,创作于2023年2月取拉氏变换,并整理成因果关系有:画结构图如图2.15。第27页,课件共39页,创作于2023年2月++++–+ƒs11ƒs2k11k2χiχ0χ0FY图2.15机械系统结构图求传递函数为:第28页,课件共39页,创作于2023年2月(2)列写图2.14(b)所示电气系统的运动方程,按电路理论,所遵循的定律与机械系统相似,即并联元件总电流等于两元件电流之和,电压相等。串联元件电流相等,总电压等于各元件分电压之和。可见,电压与位移互为相似量,电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出:第29页,课件共39页,创作于2023年2月整理成因果关系:第30页,课件共39页,创作于2023年2月画结构图如图2.16所示。–+++++Cs1R21R2C
s21EiE0IE0EC2图2.16电气系统结构图求传递函数为第31页,课件共39页,创作于2023年2月对上述两个系统的传递函数,结构图进行比较后可以看出,两个系统是相似的。机—电系统之间相似量的对应关系见下表。机械系统电气系统χieiχ0e0yeC2FiF1i1F2i2k11/R11/k2R2ƒ1ƒ2C1C2第32页,课件共39页,创作于2023年2月例2.11RC网络如图2.17所示,其中u1为网络输入量,u2为网络输出量。(1)画出网络结构图;(2)求传递函数U2(s)/U1(s)。
解:(1)用复阻抗写出原始方程组。输入回路输出回路中间回路(2)整理成因果关系式。第33页,课件共39页,创作于2023年2月由输入回路得由中间回路得由输出回路得即可画出结构图如图2.18所示。u1u2i2i1C1C2R1R2图2.17RC网络第34页,课件共39页,创作于2023年2月–+++++R2u1u2I1I2C
s1RCs+121R11Cs21图2.18网络结构图(3)用梅逊公式求出第35页,课件共39页,创作于2023年2月第36页,课件共39页,创作于2023年2月例2.12已知系统的信号流图
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