新教材高考数学全程考评特训卷考点过关检测21等差数列与等比数列（1）（含解析）

考点过关检测21等差数列与等比数列(1)一、单项选择题1．[2022·福建福州四中月考]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S2＝S1＋S3，a4＝4，则a9＝()A．11B．9C．6D．42．[2022·湖北武汉模拟]在数列{an}中，a3＝2，a7eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等差数列，则a5＝()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D.eq\r(2)3．[2022·河北邢台模拟]在等差数列{an}中，a2＝1,3<a4<5，则a7的取值范围是()A．(6,11)B．(5,11)C．(6,12)D．(5,10)4．[2022·江苏如皋模拟]在等比数列{an}中，公比为eq\f(1,2)，前6项的和为eq\f(189,4)，则a6＝()A.eq\f(73,8)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8)D．245．[2022·山东泰安模拟]设Sn为等比数列{an}的前n项和，若an>0，a1＝eq\f(1,2)，Sn<2，则等比数列{an}的公比的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))6．[2022·北京海淀模拟]已知等比数列{an}的公比为q，若{an}为递增数列且a2<0，则()A．q<－1B．－1<q<0C．0<q<1D．q>17．[2022·广东汕头模拟]在正项等比数列{an}中，a2a4＝16，a4＋a5＝24，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－1B．an＝2nC．an＝3nD．an＝3n－18．[2022·山东济南模拟]若等差数列{an}的公差为d，bn＝can(c为常数且c≠0)，则下列描述正确的是()A．数列{bn}是公差为d的等差数列B．数列{bn}是公差为cd的等差数列C．数列{bn}是公比为d的等比数列D．数列{bn}是公比为c的等比数列二、多项选择题9．[2022·广东惠州模拟]记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝3，S3＝－9，则有()A．a1＝－5B．a4<0C．S6＝0D．S3<S410．已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，则下列选项正确的是()A．a3＋a7≥2B．a4＋a6≥2C．a7－2a6＋1≥0D．a3－2a4－1≥011．已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，下列判断错误的有()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))为等比数列B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(log2an))为等差数列C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋an＋1))为等比数列D．若Sn＝3n－1＋r，则r＝－eq\f(1,3)12．[2022·山东淄博实验中学月考]已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是()A．若Sn＝n2＋1，则{an}的通项公式an＝2n－1B．若Sn＝3n－1，则{an}是等比数列C．若{an}是等差数列，则S9＝9a5D．若{an}是等比数列，且a1>0，q>0，则S1·S3>Seq\o\al(2,2)三、填空题13．[2022·河北沧州模拟]已知正项等差数列{an}满足a1a2＝3，a2a3＝15，则a5＝________.14．[2022·河北唐山模拟]设{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和．若a3a4＋a5＝0，则S6＝________.15．[2022·福建厦门外国语学校月考]将数列{2n＋1}与{4n－3}的公共项从小到大排列得数列{an}，则an＝________.16．[2022·北京西城模拟]在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，则公比q＝________；若an>1，则n的最大值为________．四、解答题17．[2022·福建师大附中月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，________.从①S6＝51，②an＝an－1－3(n≥2，n∈N*)，③S5＝a3a5中任选一个条件，补充在上面的横线上，并回答下列问题．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最值．18．[2021·新高考Ⅱ卷]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求使Sn>an成立的n的最小值．考点过关检测21等差数列与等比数列(1)1．答案：D解析：设等差数列{an}的公差为d，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2S2＝S1＋S3,a4＝4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a1＋d＝a1＋3a1＋3d,a1＋3d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4,d＝0))，所以{an}是常数列，故a9＝4.2．答案：A解析：∵eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a7)＝1，且数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，∴d＝eq\f(1－\f(1,2),4)＝eq\f(1,8)，∴eq\f(1,an)＝eq\f(n＋1,8)，∴an＝eq\f(8,n＋1)，∴a5＝eq\f(8,6)＝eq\f(4,3).3．答案：A解析：设公差为d，因为a2＝1,3<a4<5，所以3<1＋2d<5，即1<d<2，从而a7＝a2＋5d＝1＋5d∈(6,11)．4．答案：B解析：S6＝a1eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6,1－\f(1,2))＝eq\f(63,32)a1＝eq\f(189,4)，故a1＝24，故a6＝a1q5＝24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(24,32)＝eq\f(3,4).5．答案：A解析：设等比数列{an}的公比为q，因为an>0，a1＝eq\f(1,2)，Sn<2，所以0<q<1，Sn＝eq\f(\f(1,2)1－qn,1－q)<2⇒eq\f(1－qn－4＋4q,1－q)<0⇒eq\f(－qn－3＋4q,1－q)<0，因为0<q<1，所以有－3＋4q<0⇒－3＋4q<qn，因为0<q<1，所以0<qn<1，因此要想－3＋4q<qn对于n∈N*恒成立，只需－3＋4q≤0⇒q≤eq\f(3,4)，而0<q<1，所以0<q≤eq\f(3,4).6．答案：C解析：因为等比数列{an}为递增数列且a2<0，所以a1<a2<0，则q＝eq\f(a2,a1)∈(0,1)，即0<q<1.7．答案：A解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，对任意的n∈N*，an>0，q>0，由等比中项的性质可得aeq\o\al(2,3)＝a2·a4＝16，解得a3＝4，所以，a4＋a5＝a3(q＋q2)＝4(q＋q2)＝24，整理可得q2＋q－6＝0，∵q>0，解得q＝2，因此，an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.8．答案：B解析：由题意可知bn＋1－bn＝can＋1－can＝c(an＋1－an)＝cd，∴{bn}是以cd为公差的等差数列，故B正确，A错误；当{an}不是常数列时，比如an＝n，c＝1时，明显{bn}不是等比数列，故CD错误．9．答案：ACD解析：由S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝－9，得a2＝－3，设等差数列{an}的公差为d，则有a5＝a2＋3d，所以d＝eq\f(a5－a2,3)＝eq\f(3－－3,3)＝2，所以an＝a2＋(n－2)d＝－3＋(n－2)×2＝2n－7，所以a1＝2－7＝－5，a4＝8－7＝1>0，S6＝6×(－5)＋eq\f(6×5,2)×2＝0，由S4－S3＝a4＝1>0，得S4>S3.10．答案：AC解析：因为等比数列{an}的公比为q，且a5＝1所以a3＝eq\f(1,q2)，a4＝eq\f(1,q)，a6＝q，a7＝q2，因为a3＋a7＝eq\f(1,q2)＋q2≥2，故A正确；因为a4＋a6＝eq\f(1,q)＋q，当q<0时式子为负数，故B错误；因为a7－2a6＋1＝q2－2q＋1＝(q－1)2≥0，故C正确；因为a3－2a4－1＝eq\f(1,q2)－eq\f(2,q)－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－1))2－2，存在q使得a3－2a4－1<0，故D错误．11．答案：BC解析：令bn＝eq\f(1,an)，则eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an,an＋1)＝eq\f(1,q)(n∈N＋)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，选项A正确；若an<0，则log2an无意义，所以选项B错误；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时{an＋an＋1}不是等比数列，所以选项C错误；若Sn＝3n－1＋r，则a1＝S1＝1＋r，a2＝S2－S1＝3＋r－(1＋r)＝2，a3＝S3－S2＝9＋r－(3＋r)＝6，由{an}是等比数列，得aeq\o\al(2,2)＝a1a3，即4＝6(1＋r)，解得r＝－eq\f(1,3)，所以选项D正确．12．答案：BCn＝1时，S1＝2，a1＝1，S1≠a1，故错误；B．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2·3n－1，当n＝1时，a1＝S1＝2，符合n≥2的情况，所以an＝2·3n－1，所以{an}是首项为2，公比为3的等比数列，故正确；C．因为{an}是等差数列，所以S9＝eq\f(a1＋a9×9,2)＝eq\f(2a5×9,2)＝9a5，故正确；D．当a1＝q＝1时，S1·S3＝1×3＝3，Seq\o\al(2,2)＝22＝4，所以S1·S3>Seq\o\al(2,2)显然不成立，故错误．13．答案：9解析：设等差数列{an}的公差为d，而{an}是正项数列，则a1>0，因eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a2＝3,a2a3＝15))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a1＋d＝3,a1＋da1＋2d＝15))，整理得d＝2a1，而a1(a1＋d)＝3，解得a1＝1，d＝2，则有a5＝1＋(5－1)·2＝9，所以a5＝9.14．答案：eq\f(21,16)解析：设等比数列{an}的公比为q，则a1q2·a1q3＋a1q4＝0，将a1＝2代入得2q＋1＝0，得q＝－eq\f(1,2)，所以S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,64))),1＋\f(1,2))＝eq\f(21,16).15．答案：4n＋1解析：因为数列{2n＋1}是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列{4n－3}是以1为首项，以4为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以5为首项，以4为公差的等差数列，所以{an}的通项公式为an＝5＋(n－1)4＝4n＋1.16．答案：－eq\f(1,2)3解析：因为a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，所以q＝eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝eq\f(－5,10)＝－eq\f(1,2)，所以a1＋a3＝a1＋q2a1＝10，即a1＝8，所以an＝a1qn－1＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1；所以当n为偶数时，an<0，当n为奇数时，an＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝24－n>0要使an>1，所以4－n>0且n为奇数，即n<4且n为奇数，所以n＝1或n＝3.n的最大值为3.17．解析：方案一选条件①.(1)设等差数列{an}的公差为d.由题设知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝7,6a1＋\f(6×5,2)d＝51))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1,d＝3))，∴an＝1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)，知数列{an}是递增数列，且a1>0，∴Sn的最小值为S1＝1，无最大值．方案二选条件②.(1)设等差数列{a