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稳态对流扩散方程参数反演的变分有限元法

1总结2学习方法2.1正则化法的求解考虑静态对称扩展方程。其中:uf057是平面上的有界区域a(x,y)、b(x,y)和c(x,y)都是uf057上足够光滑的函数,且a(x,y)uf0b3a当所给的数据有微小变化时,将导致求得的解出现不可接受的误差,这就是所谓的不适定性问题。对于这种不适定问题,可以采用正则化方法的最小值,其中uf067为正则参数,R(a)为正则项。R(a)有以下三种形式:本文采用第一种形式正则化,即取则目标函数为结合已知数据u(x,y)的测量值u引入Sobolev空间H对式(1)中第一个等式两边同乘v(x,y)后在uf057上进行积分,并应用Green公式,则有上式写成内积形式为此时问题可以转化为在满足式(5)的条件下,寻求a(x,y)的值使式(4)达到最小。此问题为一条件极值问题,根据拉格朗日乘子法,可写出拉格朗日函数为其中:p为引入的拉格朗日因子,且满足puf0ceH下面求L(a,p,u)关于变量(a,u,p)在方向(7)a即用同样的方法可得:根据极值的必要条件可得:在应用最速下降法求解参数反问题时,需要计算J(a)的梯度。根据拉格朗日理论此时梯度的求解步骤为:先给定初值a,通过(9)式求出u,再通过(10)式求出p,代入(12)式便可求出J(a)的梯度g。2.2“基本元”的“三角单元”上述所给出的函数都为连续的,用适当的网格将求解区域uf057划分,形成有限个不重叠的“基本元”。一般采用如图1所示的三角单元。构造有限维子空间则对于任意的uf0b5p、(3)u和uf0b5g,可使它们满足:这样便得到了求解的离散形式,并可通过有限元方法对上式进行求解。为了计算方便,不防取u(x,y)的测量值u其中u2.3最速下降法计算给定a其中uf06c(1)Armijo型线性搜索求步长uf06c比uf066(0)(28)J(a利用函数uf066(uf06c由于D容易证明:不等式(16)对充分小的正数uf06c第1步,若uf06c第2步,给定常数uf062(28)10第3步,若uf06c第4步,令uf06c(2)最速下降法计算:第1步,给定初点a第2步,计算搜索方向D第3步,若D3算法的稳定性分析本节给出两个具体数值算例。给定a(x,y)的真值为取uf067(28)10给定a(x,y)的真值为取uf067(28)10从上述数值算例可以看出,随着uf064的变小,数值解与精确解的误差不断的缩小,并且其目标函数值也相应减少,但uf064的变化对数值求解的计算量影响不大,表明此算法具有较好的稳定性,其精度也令人满意。4模型有效性检验本文研究了二维的稳态对流扩散方程中参数反演问题。主要是利用变分有限元法并在反演的过程中引入了Tikhonov正则项,避免了反演的不适定性(即解不连续依赖于输入数据)问题。数值模拟结果表明,该方法具有较高的精度、较好的稳定性和抗噪性。所提出的方法,对

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