渐进结构优化方法

渐进结构优化方法

0双向渐进结构优化方法badue54f等人。ESO方法的核心思想是逐渐将结构中的无效或低效的材料一步步从结构中去掉,从而使结构朝最优方向进化。该方法的优点是通用性好,程序实现简单,能获得一系列黑白分布的优化拓扑。双向渐进结构优化方法(BESO法)是ESO方法的拓展,它允许添加单元到结构上。Huang等人为此,本文在前人工作的基础上,对BESO方法做了进一步的探索,以期能解决基于渐进结构优化技术的多位移约束问题。本文针对有多个位移约束和体积最小的结构拓扑优化问题,构建多个位移约束拉格朗日乘子求解的变约束渐进近似优化问题模型,引入光滑对偶算法,建立多个位移约束拉格朗日乘子近似求解算法。而后,依据拉格朗日乘子,导出单元灵敏度计算公式,给出渐进结构优化算法。最后给出两个验证算例。1结构优化模型1.1单元拓扑变量和插值函数假设第i号单元的拓扑变量为ρ式中:V体积矩阵和刚度矩阵插值函数分别采用下列指数式和分数有理式计算:式中:a1.2不可设计单元编码结构优化过程中,通常将结构单元分为两种类型:第一种是可设计单元,第二种是不可设计单元。假设不可设计单元总数用P表示,不可设计单元在全局网格下的编号用i式中:u在双向渐进结构优化(BESO)方法中,很难保证拓扑优化过程中结构不出现“孤立”单元,从而导致有限元求解终止。本文采用拓扑变量ρ2拉格朗日乘子法求解在有限元分析中,依据结构静态平衡方程Ku式中:K为结构整体刚度矩阵;u假设力F式中:u结构体积对ρ式中:V参考文献[6]和参考文献[7]对式(3)中位移约束和目标函数进行规范化处理,并构造出如下拉格朗日函数L(ρ,λ):式中:ρ假设拓扑变量从0~1连续变化,则式(7)对可设计拓扑变量的偏导数为:将式(5)、式(6)代入式(8)得:将式(9)作为当前第(k+1)迭代步单元灵敏度α由式(9)可知,求解单元灵敏度数的关键在于求解拉格朗日乘子λ3渐进结构优化迭代借鉴数学规划法,将优化问题式(3)转换成如下连续变量模型:式中:ρ将结构最大设计域选作初始结构时,在结构优化迭代初始阶段,约束点的位移值可能远远小于它们的约束值,使得由Kuhn-Tucker条件求解的拉格朗日乘子等于零。此时,若结构网格划分是均匀的,采用式(9)的传统的BESO方法,在仅有一个位移约束的情况下,选取式(5)计算得到单元灵敏度数,依据该单元灵敏度数,进行渐进结构优化迭代。然而该方法不能直接用于多个位移约束和体积最小的结构拓扑优化问题。为了解决与渐进结构优化相适应的问题,借鉴文献[8]和文献[9],引入变位移约束限,可以将模型式(11)转化为模型式(12):式中:β图1所示为本文提出的优化迭代解示意图。假设图1中Ω参考Svanberg式中:m令:利用对偶方法将式(15)规划问题转化成下列对偶规划问题。式中:式中:为保证引入的人工变量y=(y由式(19)可得:为了保证式(21)迭代收敛,引入步长因子α,式(21)可以转化为:式中:步长因子α为经验参数,本文所有算例中取α=0.1。由式(21)得:式中:s为引入人工变量的数目,与人工变量的序号参考文献[15],采用-φ(λ)的二阶近似函数且省略近似函数中的常数项,可以得到以下二次规划模型:矩阵H、W的分量分别为:式中:h式(33)为一个二次规划问题,为了利用对称二次矩阵函数的二次规划求解算法,对式(34a)和式(34b)进行了等价二阶矩阵对称性处理。最后,采用二次规划法很容易求解得出为了处理棋盘格、网格依赖性等数值不稳定问题,采用文献[5]的过滤技术对式(15)的所有实体材料单元的一阶灵敏度系数进行过滤修正,然后再代入优化模型中计算拉格朗日乘子。同样对由式(9)获得的单元灵敏度也进行过滤修正。4单元灵敏度数1在渐进优化过程中,单元的删除和增添由结构的下一迭代步的目标体积V式中:V通过本文方法得到单元灵敏度数α1)对于第k次迭代步,将所有单元灵敏度数值从大到小进行排序。若V2)为了控制在单次迭代步单元增添的数目,预先设定一个最大体积添加率AR3)将空单元灵敏度数值从大到小排序,且添加单元数目等于AR收敛准则如下,满足下列条件之一即可停止迭代。式中:V5渐进参数优化基于“软杀”策略的渐进结构优化迭代步骤如下。第1步:对初始设计域采用有限元网格离散,设置边界条件、载荷及单元特性。第2步:定义位移约束下的渐进优化相关参数,如定义结构进化率ER、最大体积添加率AR第3步:进行实载荷和虚载荷下的结构有限元分析,获得当前迭代步约束点的|u第4步:求解式(15),计算拉格朗日乘子,由式(9)得出单元灵敏度数,并过滤灵敏度数。第5步:由式(10)得出改进的所有单元灵敏度数。第6步:由式(35)计算下一迭代步的目标体积V第7步:确定单元灵敏度数阀值α第8步:重复第3~第7步,直到迭代满足收敛条件。6计算6.1拉格朗日乘子及参数图2所示为一端固支一端滚支的Michell型结构设计模型和载荷情况示意图,其中H=0.5m,结构厚度为2mm。结构底端的点A、点B和点C上分别作用有垂直载荷F=1000N。假设点A、点B和点C铅垂方向的位移约束值均为0.12mm。初始结构划分成(80×40)个平面应力单元;弹性模量E=210GPa,泊松比为0.3,材料密度ρ本算例中,位移约束限系数β=0.01,位移松弛系数α表1所示为图3优化历程中的结构特性数据,整个优化过程用了81个迭代步。图4和图5分别为优化过程中约束点位移和体积的变化曲线。由于对称性,图4中只能看到两条曲线。从图4、图5中可以发现:位移和体积的优化过程比较平稳,最终都达到了稳定的状态。最优结构位移约束点A、B、C的位移值分别为0.1148、0.1188和0.1148mm,均接近位移约束值0.12mm,满足约束要求,且本文方法获得了一系列黑白分布的优化拓扑(见图3)。图6所示为采用本文方法获得的拉格朗日乘子变化曲线,图6表明每一迭代步至少有一个拉格朗日乘子非零。图7所示为采用两种不同方法得到的一端固支一端滚支的Michell型的最优拓扑构型。本文方法获得的拓扑结构的剩余体积比为22.44%,小于文献[16]得到的剩余体积比35%,且拓扑构型也一致。结果表明,本文方法可解决多位移约束下结构体积最小的结构拓扑优化问题。6.2两组载荷优化过程图8所示为左端固定的短悬臂梁结构示意图,该结构长为120mm,宽为60mm,厚度为6mm;右端上、下边界角点作用有两集中载荷P=2000N;初始结构划分成(60×30)个平面应力单元;多载荷工况约束下,定义上、下角点铅垂方向的位移约束值均为0.14mm。工况1:载荷P作用在上角点A。工况2:载荷P作用在下角点B。假设弹性模量E=210GPa,泊松比为0.3,材料密度ρ图9所示为采用本文方法获得的短悬臂梁结构拓扑优化历程及构型,图9f是满足位移约束要求的最佳拓扑构型。表2所示为图9优化历程中的结构特性数据,整个优化过程用了98个迭代步。图10、图11分别为对应工况1和工况2下结构优化约束点位移变化曲线。从图10、图11中可以看到,位移优化过程比较平稳,最终都达到了稳定的状态。最优结构位移约束点A和B在工况1下的位移值分别为-0.1400和-0.1176mm,在工况2下的位移值分别为0.1176和0.1400mm,均接近位移约束值0.14mm,满足约束要求。图12所示为短悬臂梁结构优化过程中体积变化曲线,优化过程在第98迭代步后达到稳定状态。图13给出了采用本文方法获得短悬臂梁结构的最优拓扑构型和文献[17]基于ICM方法获得短悬臂梁结构的最优拓扑构型。很显然,本文方法获得的最优结构的中间连接部分更结实和美观,并且结构剩余体积比为40.44%,小于文献[17]得到的体积比42.72%。7次优化问题模型1)为了与渐进结构优化方法特征一致和求解多个拉格朗日乘子,本文引入变位移约束限,构建了求解多约束拉格朗日乘子的近