无锡市某实验中学2022-2023学年数学高一年级上册期末检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1.下列函数中在定义域上为减函数的是（）

A.y=xB.y=lgx

C.y=2rD.y=/

2.函数y=的定义域为。

2x——3x—2

A(-oo,3]

C.（0,2）u（2,3）D.[0,2）U（2,3]

3.祖晅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幕势既同，则积不容异”.“幕”是截面积，“势”

是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等.设A,5为两个等高的几何体，p：

A、8的体积相等，q：A、8在同一高处的截面积相等.根据祖瞄原理可知，p是g的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.计算2sin2105°-1的结果等于（

5.含有三个实数的集合可表示为｛a,也可表示为｛a?,a+b,0｝,则az显示2。13的值为（）

D+1

6.G_i_B，Ia1=2,仍|=3,且（3«+2&）,LUa-b则入等于（）

33

A.-B.一一

22

3

C.±—D.1

2

7.在AABC中，AB=c>AC=b.若点。满足丽=2反，则赤=（）

21-5-2r

A.—br+—cB.—c——b

3333

2f1-12-

C.—b——cD.—br+—c

3333

8.函数〃x）=log“（x+2）-2（a>0,且aHl）的图象必过定点

A.（l,o）2）

3i_1o_1

9.比较a=log[5，b=（§）5,c=（§）5的大小（）

\.c<b<aB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<b

10.“a>0,Z?>0"是“ah>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.命题“天。eR,片—/+1=0”的否定是

12.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与

听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当xe（0,12］时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶

点A（10,80）,过点8（12,78）；当xe［12,40］时，图象是线段BC,其中C（40,50）.根据专家研究，当注意力指数大于

62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为.（写成区间形式）

则〃2）=

14.写出一个定义域为R,周期为兀的偶函数/（x）=

15.如图所示，正方体的棱长为1,B'CCBC=0,则/0与HC所成角的度数为

x2,x<0

16.已知函数/(x)=<4x，若关于x方程.产（司+（加一3）"（力+加=。恰好有6个不相等的实数解,

X+1

则实数团的取值范围为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知定义在（F,-1）D（L”）上的奇函数“X）满足：

①/⑶=1;

②对任意的X〉2均有/（x）>0；

③对任意的x>0,y>0,均有/(x+l)+/(y+l)=/(肛+1).

（1）求,”2）的值;

（2）证明〃x）在（1,+8）上单调递增;

（3）是否存在实数。，使得/（cos2e+asin6）<3对任意的乃）恒成立？若存在，求出。的取值范围；若不存

在，请说明理由.

|JT

18.已知函数/(x)=2sin(5X-]),xeR,

77r

(1)求/(三)的值；

(2)求函数的单调递增区间;

(3)求/(%)在区间［三,2m上的最大值和最小值

3

19.计算求值:

,+,og23

(1)In五+2"+(logs3)x(log95)+1g乃°

,、H八4sina+2cosa_

(2)若tana=2,求---------------的值.

3sina-2cosa

20.已知集合4=x|1<x<31,集合3=｛司2/篦<x<1—

(1)当m=一1时，求AIJB；

(2)若A=求实数机的取值范围;

(3)若406=0,求实数”的取值范围

21.已知a>0且函数/(x)=log“(l+x)+log〃(l-x).

(1)求/(x)的定义域;

(2)判断“X)的奇偶性，并用定义证明;

(3)求使y(x)>o的x取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1、C

【解析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.

【详解】对于A,由函数y=x,定义域为/?,且在R上递增，故A不符题意;

对于B,由函数y=lgx,定义域为(0,+8),且在(0,+8)上递增，故B不符题意;

对于C,由函数y=2-',定义域为R,且在A上递减，故C符合题意

对于D,由函数y=d,定义域为R,且在R上递增，故D不符题意.

故选：c

2、D

【解析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.

3JC-X2>0r、/[

【详解】由题设可得：2，故xe0,2）U（2,3,

2x~-3x-2*0

故选：D.

3、C

【解析】根据〃与4的推出关系判断

【详解】已知A,8为两个等高的几何体，由祖瞄原理知4=〃，而〃不能推出4,可举反例，两个相同的圆锥，一

个正置，一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则。是q的必要不充分条件

故选：C

4、D

【解析】2sin21050-1=-cos21Ou=cos30=—.选D

2

5,B

bb

【解析】根据题意，由{a,l}={a2,a+b,0}可得a=0或一=0,

aa

bb

又由一的意义，则际0,必有一二0,

aa

贝！Jb=0,

则{a,0,l}={a2,a,0},则有即a=l或a=・L

集合{a,0,1}中,arl,则必有a=・l,

贝（Ja2012+b2°13=（-1）2012+02013=1,

故选B

点睛：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性，集合的表示常用的有三种形式：列举法，描述法，Verm图法.研

究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.

6、A

【解析】利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量的运算律展开并代值，即可求出入

【详解】•：万5，；,1・6=0,,♦•（3^+255），，（3日+2瓦）•（幺万一5）=0,

3

即32M2+（22-3）a-h-2^2=0,A122-18=0,解得后,

故选4

7、A

_______2__2_____22]

【解析】石=万+而=£+；而k=£+:港一画=）'@一£）=/+尹故选A

8、C

【解析】因为函数/（x）=log“（x+2）-2,且有log“l=0（。>0且。。1）,

令x+2=l,则无=-1,y=-2,

所以函数/U）的图象经过点（-1,-2）.

故选：C.

【点睛】本题主要考查对数函数/。）=1。8<产（。>0且4彳1）恒过定点（1,0）,属于基础题目.

9、D

,3八!

【解析】由对数函数的单调性判断出a=logi彳<°,再根据幕函数丫_尤不在（°，+00）上单调递减判断出

1-12--

（力5>（£）5>0,即可确定大小关系.

.3_]」2--

【详解】因为。=logi2<0,（1）5>（1）5>0,所以“<c</7

故选：D

【点睛】本题考查利用对数函数及幕函数的单调性比较数的大小，属于基础题.

10、A

【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】•••“0>（）,一>0"可推出“">0”,

"必>0"不能推出"a>0,b>On,例如a=-2,匕=-3时，ab>Q>

...“a>0,b>0”是“ab>0”充分不必要条件.

故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、Vxe/?,x2-x+10

【解析】特称命题的否定.

【详解】命题“三改）€民¥-/+1=0”的否定是VXWRY-X+I工0

【点睛】本题考查特称命题的否定,属于基础题；对于含有量词的命题的否定要注意两点:一是要改换量词，即把全称（特

称）量词改为特称（全称）量词，二是注意要把命题进行否定.

12、（4,28）

【解析】当xe(O,12］时，设/(x)=a(x-10)2+80,把点(12,78)代入能求出解析式；当xe［12,40］时，^y=kx+b,

把点8(12,78)、C(40,50)代入能求出解析式，结合题设条件，列出不等式组，即可求解.

详解】当xe(0,12］时，设/(x)=a(x-10)2+80,

过点(12,78)代入得，a=--

2

则/(x)=-1(X-10)2+80,

当xG(12,40］时，

设尸区+瓦过点5(12,78)、C(40,50)

'k=-1

得1,即y=-x+90,

，=90

0<x<12

由题意得，11212<x<40

或<

-^(X-10)2+80>62[-x+90>62

得4V烂12或12<x<28,

所以4<x<28,

则老师就在xG(4,28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，

故答案为：(4,28)

【点睛】本题考查解析式的求法，考查不等式组的解法，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用，属于中档

题

13、0

【解析】令x=l代入即可求出结果.

【详解】令x=l,则/(2)=/。+1)=1-1=().

【点睛】本题主要考查求函数的值，属于基础题型.

14、cos2x(答案不唯一)

【解析】结合定义域与周期与奇偶性，写出符合要求的三角函数即可.

【详解】y=cos2x满足定义域为R,最小正周期丁=三27r=兀，且为偶函数，符合要求.

故答案为：cos2A;

15、30°

【解析】,.KC〃AC,.,.40与所成的角就是NO4c(或其补角).

VOCu平面8877C,48JL平面B877C,

：.OC±AB.XOC±OB,ABnBO=B,

，OC_L平面AB。.又AOu平面ABO,

：.OCA.OA.^Rt^AOC^,OC=—,AC=V2,sinZOAC=—=-，AZ6)AC=30°.

2AC2

即AO与所成角度数为30。.

点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决,

具体步骤如下:

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角

16、

【解析】作出函数”x)的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为产+(加一3)/+加=0在区间(0,2)上有

两个不等的实根，列出不等式组求解即可.

【详解】当工结合，，双勾，，函数性质可画出函数"X)的简图,如下图,

X

令t=f(x),

则由已知条件知，方程/+(m-3)，+根=0在区间(0,2)上有两个不等的实根,

△=(加一3)2-4m>0,

c3-mc

0<----<2,

则〈2即实数加的取值范围为

/(0)=m>0,

f(2)=3m-2>0,

故答案为:

【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)0；(2)详见解析；

(3)存在，1<。<9.

【解析】(1)利用赋值法即求；

(2)利用单调性的定义，由题可得/(』)+/迨二；+1=f(玉一1)『+1=/(々)，结合条件可得

“与)</5)，即证;

(3)利用赋值法可求/[-||=/(9)=3,结合函数的单调性可把问题转化为，是否存在实数。，使得『-神-g>0

或1<1-"+4<9在fw(0,1]恒成立，然后利用参变分离法即求.

【小问1详解】

•.•对任意的x>0,y>Q,均有/(x+l)+/(y+l)=/(肛+1),

令x=y=l,!5iJ/(l+l)+/(l+l)=/(l+l),

・••"2)=0；

【小问2详解】

Vx,,%,e(l,-Fw),且西<々，贝II

-1+1

++l=/(%—1+1)+/^7?+1=于(X')^77=/(工2)

1％—1玉一IXj—1J

又受三+1〉1+1=2,对任意的x〉2均有/(x)>0,

玉一1

•••/(')</(9)

函数/(X)在(1,小)上单调递增.

【小问3详解】

•.•函数/(x)为奇函数且在(1,位)上单调递增,

函数/（X）在（e,-1）上单调递增,

令x=y=2,可得/（5）=2/（3）=2,令x=2,y=4,可得/（9）=/（3）+/（5）=3,

又八8+1）+/（+1=/8x11+1=0,

8

•••/卜1）=/（9）=3'又函数””在（1,同上单调递增’仆）在（—8,-1）上单调递增’

:.由/（COS28+asin夕）<3,可得cos?8+asin6<-弓或1<cos2。+asin0<9>

O

。9,、

即是否存在实数。,使得cos28+。3118<-6或1<cos2。+asin6<9对任意的夕0（o,乃）恒成立，

O

917

令，=sin。，贝!）££（0,1],则对于cos?^4-6?sin^=l-sin28+Qsin6<——恒成立等价于产一〃--->0在，£（0,1]

88

恒成立，

1717

即----在（0,1]恒成立，又当/―>0时，t--------->—oo,

StSt

9

故不存在实数a,使得cos9-。+asin。<-一恒成立，

8

对于1vcos2。+asin6<9对任意的9w（。,4）恒成立，等价于1v1-r+afv9在，£（。,“恒成立，

8

由1<1一/+〃<9，可得/<〃<，+-在，£（0,1]恒成立，

t

又京=1，，+学在，G（0，1]上单调递减，卜+$=9

t\，人in

，l<a<9,

综上可得，存在1<a<9使得/（cos?6+asin。）<3对任意的8w（0,%）恒成立.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是配凑/（百）+/（土[+1]=/1（内—1）士?+1]=/（工2）,然后利用条

（内-1J-1）

17

件可证；第三问的关键是转化为否存在实数。，使得/-3-胃>0或1<1—产+〃<9在恒成立，再利用参

O

变分离法解决.

一色+4E,型+4上万（左eZ）

18、（1）1；（2）

33V7

（3）最大值为2,最小值为-1.

【解析】（1）直接利用函数的关系式求出函数的值;

⑵利用整体代换发即可求出函数的单调增区间；

(3)结合(2),利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.

【小问1详解】

由./'(x)=2sin(1x-y),

得吟)=2s吟等—。)=1；

【小问2详解】

令一2+2女乃<—x~—<—+2k7r(keZ),

2232v'

整理，得一方+4左万W军+4左万(％eZ),

<rr5n

故函数/(X)的单调递增区间为一§+4匕r,丁+4br(ZeZ)；

【小问3详解】

।r"cIZB1n、兀27r［

32363

jr54

结合⑵可知，函数/(X)的单调递增区间为一§+4攵肛1-+4也r(keZ),

jr57r

所以函数f(x)在［彳,受］上单调递增，在［丁,2乃］上单调递减，

333

故当x=2时，函数取得最小值，且最小值为

STT57r

当x=7时，函数取得最大值，且最大值为了(手)=2.

19、(1)-

2

(2)1

【解析】(1)利用指数和对数运算法则直接计算可得结果;

(2)分子分母同除cosa即可求得结果.

【小问1详解】

原式=；+；x2'叫3+(logs3)x+igi」+2+\。/.

2222

小问2详解】

sincr+2cosatana+22+2

•「tan。=2,—；------------=----------=-----=11・

3sina-2cosa3tana-26-2

20、(1)AuB=|x|-2<x<3}；(2)(-oo,-2];(3)[(),+oo)

【解析】Q)求出集合B,利用并集的定义可求得集合AUB；

(2)利用A=8可得出关于实数机的不等式组，由此可解得实数加的取值范围；

(3)分8=0和两种情况讨