四川省南充市南部县东坝镇中学高三数学文下学期摸底试题含解析

四川省南充市南部县东坝镇中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据几何概型长度型直接求解即可.【详解】根据几何概型可知，所求概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.2.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的体积是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列参考答案：B4.已知向量、的夹角为120°，，，则在方向上的投影为（

）A. B. C.4 D.－4参考答案：D【分析】由题意，先求，再求在方向上的投影为：，代值求出结果即可．【详解】∵已知向量、的夹角为，，，∴在方向上的投影为：故选：D．【点睛】本题考查向量的投影的求法，考查向量数量积公式的应用，属于基础题．5.函数的图象大致是（

）参考答案：C略6.集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={-4，0，1，2，16}，则a的值为（）A．1 B．2 C．-4 D．4参考答案：C略7.若｜a｜＝1，｜b｜＝2，c＝a＋b，且c⊥α，则a与b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°参考答案：C8.已知复数满足,则对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D9.已知函数,若,则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知集合A={1,2,3},集合B={x|x2－5x+4＜0},则集合A∩B的子集的个数为(

)A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，则arg()3的值是______．参考答案：π解：cos∠OZ1Z3==－．即∠OZ1Z3==120°，∴arg()=或．∴arg()3=π．12.△ABC的三个内角为A，B，C，若，则2cosB+sin2C的最大值为．参考答案：【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；HW：三角函数的最值．【分析】由已知利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得2cosB+sin2C=﹣2（cosB﹣）2+，进而利用余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C的最大值．【解答】解：∵，∴2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣（A+B）]=2cosB+sin2[π﹣（+B）]=2cosB+sin（﹣2B）=2cosB﹣cos2B=2cosB﹣（2cos2B﹣1）=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2（cosB﹣）2+，∵B∈（0，），cosB∈（﹣，1），∴当cosB=时，2cosB+sin2C取得最大为．故答案为：．13.当函数取得最大值时，___________.

参考答案：

函数为，当时，，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.14.在菱形ABCD中，，，E为CD的中点，则

．参考答案：－4因为菱形中，，为的中点，因为，所以．

15.设函数f（x）=x2－5x+4（l≤x≤8），若从区间[1，8]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为

．参考答案：略16.定义是向量和的“向量积”，它的长度，其中为向量和的夹角，若，，则

.参考答案：17.设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上的任意一点的切线l1，总存在过曲线g（x）=mx﹣3sinx上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，则m的取值范围为

．参考答案：[﹣2，3]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得f（x）的导数，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x2，y2）可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，分别求y=m﹣3cosx2的值域A，y=值域B，由题意可得B?A，可得a的不等式，可得a的范围．【解答】解：f（x）=﹣ex﹣x的导数为f′（x）=﹣ex﹣1，设（x1，y1）为f（x）上的任一点，则过（x1，y1）处的切线l1的斜率为k1=﹣ex1﹣1，g（x）=mx﹣3sinx的导数为g′（x）=m﹣3cosx，过g（x）图象上一点（x2，y2）处的切线l2的斜率为k2=m﹣3cosx2．由l1⊥l2，可得（﹣ex1﹣1）?（m﹣3cosx2）=﹣1，即m﹣3cosx2=，任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立．则有y=m﹣3cosx2的值域为A=[m﹣3，m+3]．y=的值域为B=（0，1），有B?A，即（0，1）?[m﹣3，m+3]．即，解得﹣2≤a≤3．故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P（1）求证：PM2=PA．PC（2）若MN=2，OA=OM，求劣弧的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接ON，则ON⊥PN，由半径相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切线的性质和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，进而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割线定理即可证明；（2）由相交弦定理得⊙O的半径，再求劣弧的长．【解答】（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=90°﹣∠OBN，∠PNM=90°﹣∠ONB，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．根据切割线定理，有PN2=PA?PC，∴PM2=PA?PC．…（2）解：设，则在直角△OBM中，BM=2x又，由相交弦定理得故⊙O的半径，∴BN弧长…19.（15分）（2015?天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M?[1，4]，求实数a的范围．参考答案：考点：集合关系中的参数取值问题．

专题：计算题．分析：M?[1，4]有两种情况：其一是M=?，此时△＜0；其二是M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．解答：解：M?[1，4]有两种情况：其一是M=?，此时△＜0；其二是M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围．设f（x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=??[1，4]．…（3分）（2）当△=0时，a=﹣1或2．当a=﹣1时，M={﹣1}?[1，4]，故舍去．当a=2时，M={2}?[1，4]．…（6分）（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．设方程f（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M=[x1，x2]，由M?[1，4]可得1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，且f（x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）∴，解得2＜a≤．…（10分）综上可得，M?[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]．…（12分）点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20.知椭圆的离心率为，且经过点

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率满足（定值），求直线的斜率。参考答案：解：（1）

2分

又

解得

3分

椭圆C的方程是

…………4分

（2）若直线斜率不存在，显然不合题意

………………5分

设直线方程为

取立方程组得

……7分

……8分

21.（本小题满分12分）交通指数是指交通拥堵指数简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分别有五个级别：畅通：基本畅通：轻度拥堵：中度拥堵：严重拥堵.在晚高峰时段,依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示：（1）在这个路段中,轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？（2）从这个路段中随机抽出个路段,用表示抽取的中度拥堵的路段的个数,求的分布列及数学期望.参考答案：（1）9,（2）试题分析：（1）频率分布直方图中小长方形面积表示对应区间的概率，因此轻度拥堵的路段频率为，个数（频数）为，同理可得中度拥堵的路段个数是.（2）先确定随机变量取法，再利用组合数分别求各自概率，列表可得分布列，最后利用公式求数学期望考点：频率分布直方图，概率分布及数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常