【解析】2023年浙教版数学九年级上册3.4 圆心角 同步测试（培优版）

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2023年浙教版数学九年级上册3.4圆心角同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023九上·东阳期末）如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）

A．3B．C．4D．

2．（2022九上·利辛月考）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（）

A．5B．6.5C．7.5D．8

3．（2022九上·桐庐期中）如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（）

A．30°B．60°C．90°D．120°

4．（2022九上·西湖期中）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）

A．10B．13C．15D．16

5．（2022九上·舟山月考）如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（）

A．B．C．D．

6．（2022九上·定海月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（）

A．B．

C．D．到、的距离相等

7．（2022九上·武义期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（）

A．B．C．D．

8．（2023九上·招远期末）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（）

①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE

A．①④B．②③C．②③④D．①②③④

9．（2023九上·朝阳期末）如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④.其中正确的个数是（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

10．（2023九上·瑞安期末）如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A,O,C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE,BE，则的最大值是（）

A．4B．5C．6D．

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2023·荔湾模拟）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为．

12．（2022·鞍山模拟）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，，则的直径长为．

13．（2022九上·宁波期中）如图，中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于点D.当是等腰三角形时，的度数为.

14．（2023九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为．

15．（2023九上·大石桥期中）如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是（填序号）．

16．（2023九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为m.

三、解答题（共7题，共66分）

17．（2023九上·无棣期中）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．

18．（2023九上·路北期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．

（1）求证：∠ADC＝∠BDO；

（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．

19．（2023九下·厦门开学考）在扇形中，，点B在上，且，点E在半径上，以，为邻边作平行四边形，当点C，B，F共线时，

（1）求的度数；

（2）求证：.

20．（2023九上·柯桥期中）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形内接于，对角线，且

（1）求证：.

（2）若的半径为8，弧的度数为120°，求四边形的面积.

21．（2023九上·诸暨月考）如图，⊙O的直径AB=20，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”，利用圆的对称性可知：“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等.

（1）若∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，求∠APD的大小；

（2）若直径AB的“回旋角”为90°，且△PCD的周长为，求AP的长.

22．（2023九上·哈尔滨期中）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；

（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB，过点D作DN∥AC交⊙O于点N，若tan∠ADB=，AB=3，求DN的长.

23．（2022九上·舟山期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．

阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．

小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：

证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，∴MA＝MC，…

（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；

（2）如图3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，则AE的长度为；

（3）如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB=8，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，

∵∠BOC＋∠EOD＝180°，

而∠BOC＋∠BOF＝180°，

∴∠DOE＝∠BOF，

∴弧DE＝弧BF，

∴DE＝BF＝6，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH，

而CO＝OF，

∴OH为△CBF的中位线，

∴OH＝BF＝3．

故答案为：A.

【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．

2．【答案】A

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】连接，如图，设的半径为r，

∵，

∴，，

∵点C是弧BE的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，

∵，

∴，解得，

即的半径为5．

故答案为：A．

【分析】连接，设的半径为r，由弧的中点可得，从而得，根据弧、弦、圆心角的关系可得CD=BE=8，由垂径定理得，=4，在中，利用勾股定理可求出半径.

3．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：∵，

∴，

在Rt△BEO中，由勾股定理得：，

∴，

∴AB是OD的垂直平分线，

∴，

∴△OBD是等边三角形，

∴，

∴的度数为60°，

故答案为：B.

【分析】根据垂径定理得出BE的长，从而利用勾股定理算出OE的长，然后判断出AB是OD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及同圆的半径相等得OB=OD=BD，故△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系即可得出答案.

4．【答案】C

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接OF．

∵DE⊥AB，

∴DE＝EF，＝，

∵点D是弧AC的中点，

∴＝，

∴＝，

∴AC＝DF＝12，

∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，

在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，

解得x＝，

∴AB＝2x＝15.

故答案为：C.

【分析】连接OF，由垂径定理可得DE＝EF，＝，由中点的概念可得＝，则＝，根据弦、弧的关系可得AC=DF=12，则EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，由勾股定理可得x，进而可得AB.

5．【答案】C

【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】∵，

∴∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，

∴∠BOE=3∠COB=3×36°=108°，

∵OA=OE，

∴∠A=∠OEA，

∴∠BOE=∠A+∠OEA=108°，

∴∠OEA=54°.

故答案为：C.

【分析】利用在同圆和等圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，从而可求出∠BOE的度数；再利用等边对等角可证得∠A=∠OEA；然后利用三角形的外角的性质可求出∠OEA的度数.

6．【答案】A

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：A、∵BC是直径，

∴OB=OC=OA=OD，故A符合题意；

B、在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（SSS），

∴∠AOB=∠COD，故B不符合题意；

C、∵∠AOB=∠COD，

∴，故C不符合题意；

D、∵，

∴AB=CD，

∴点O到AB，CD的距离相等，故D不符合题意；、

故答案为：A.

【分析】利用同一个圆的半径相等，结合已知条件，可对A作出判断；利用SSS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AOB=∠COD，可对B作出判断；利用在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弦相等，相等的弦的弦心距相等，可对C、D作出判断.

7．【答案】D

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：在⊙O中，

∵

∴，

故A、C选项正确，不符合题意；

∵，OA=OD，OB=OC

∴

∴

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴

∴OE=OF

故B选项正确，不符合题意.

故答案为：D

【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解.

8．【答案】B

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，

∴CE=DE，，，

∴∠BOC=2∠A=40°，，

即，故③符合题意；

∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，

∴∠C=50°，故②符合题意；

∵∠C≠∠BOC，

∴CE≠OE，故①不符合题意；

作OP∥CD，交AD于P，

∵AB⊥CD，

∴AE＜AD，∠AOP=90°，

∴OA＜PA，OE＜PD，

∴PA+PD＞OA+OE

∵OE＜OA，

∴AD＞2OE，故④不符合题意；

故答案为：B．

【分析】由AB⊥CD可得①错误；

由∠BAD＝25°及等弧所对的圆周角相等可得∠C＝40°，故②正确；

由垂径定理及相等的弦所对的弧相等可得③正确；

由AE＜AD及OE＜OA可判断AD＞2OE故④错误。

9．【答案】A

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，

∴BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，

∴∠BAB′＝∠CAC′；

∵弧BB′与弧CC′所对的圆心角相等，而所在圆的半径不相等，

∴弧BB′与弧CC′不相等.

∴正确的有①②③.

故答案为：A.

【分析】①②由旋转的性质“旋转前后两个图形的对应角相等，对应边相等”可得BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，③由①的结论可得∠BAB′＝∠CAC′；④根据弧相等的定义“能够完全重合的弧是相等的弧”可知弧BB′与弧CC′不相等.

10．【答案】C

【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系

【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候CE2+BE2有最大值

∴EC⊥x轴，

∵AO⊥x轴

∴AO=EC=1

则BE2=BC2+CE2=5

CE2+BE2=1+5=6

故答案选C。

【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候CE2+BE2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。

11．【答案】4

【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接，如图所示：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

而，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴为直角三角形，

设，则，

在中，，，

∵，

∴，

解得：，

即的长为4．

故答案为：4．

【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。

12．【答案】15

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，因为点D是弧的中点，

所以；

因为为的直径，

，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，

解得．

故答案为：15．

【分析】先求出，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，再求出即可。

13．【答案】67.5°或72°

【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接OC，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

当时，，

则，

解得：，

∴；

当时，，

则，

解得：，

∴，

DA=DB的情况不存在，

综上所述，当是等腰三角形时，的度数为67.5°或72°，

故答案为：67.5°或72°.

【分析】连接OC，由同圆中相等的弦所对的弧相等得，由垂径定理OC⊥AB，由等腰三角形的性质得∠CAB=∠CBA，∠DCO=∠BCO，∠OBC=∠BCO，由三角形外角性质得∠ADB=3∠OBC，然后分BA=BD、AB=AD、DA=DB，三种情况根据三角形的内角和定理建立方程，求解即可.

14．【答案】．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】

设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．

根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF=AC=3，

∵∠CAD=∠BAD，∴，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，

在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，

∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，

∵DO=5，∴DE=4，∴AD=．

故答案为．

【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.

15．【答案】②③

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】∵在中，AB是直径，点D是上一点，点C是的中点，

故①错误；

连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD，故②正确；

∵弦CE⊥AB于点F，

∴A为的中点,即

又∵C为的中点，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP.

∵AB为的直径，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

故答案为：②③.

【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证GP=GD；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90°，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.

16．【答案】（2+2）

【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，

如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°，

∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，

∴OD＝2，PQ＝5，

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时

h＝，

如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，

易知，OQ≤OB，

而h＝OP+OQ＝2+OQ，

∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，

由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝，

h的最大值为OP+OB，即2+.

故答案为：（2+）.

【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，

当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.

17．【答案】（1）证明：连接OC，

∵，

∴∠AOC＝∠BOC，

又CD⊥OA，CE⊥OB，

∴CD＝CE

（2）解：∵∠AOB＝120°，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，

∵∠CDO＝90°，

∴∠OCD＝30°，

∴OD＝OC＝1，

∴CD＝＝，

∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，

同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，

∴四边形DOEC的面积＝+＝．

【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆心角定理得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质，即可得出CD＝CE；

（2）先求出∠OCD＝30°，得出OD＝OC＝1，利用勾股定理得出CD的长，从而得出△OCD和△OCE的面积，利用四边形DOEC的面积=△OCD的面积+△OCE的面积，即可得出答案.

18．【答案】（1）证明：连接OC，

∵OD＝OC，E是CD的中点，

∴OE⊥CD，

∴，

∴∠ADC＝∠ABD，

∵OD＝OB，

∴∠BDO＝∠ABD，

∴∠ADC＝∠BDO；

（2）解：

设⊙O半径为r，

∴OC＝OD＝OA＝r，

∵AE＝2，

∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，

∵CD＝4，E点是CD的中点，

∴DE＝CD＝2．

由（1）知，OE⊥CD，

∴∠OED＝90°，

∴在RtOED中，OE2+DE2＝OD2，

即：（r﹣2）2+（2）2＝r2，

解得：r＝3，

∴OO半径为3．

【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）先求出，再求出∠ADC＝∠ABD，最后求解即可；

（2）先求出OE＝OA﹣AE＝r﹣2，再利用勾股定理计算求解即可。

19．【答案】（1）解：，

，

，

，

，

，

点C，B，F共线，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

（2）证明：连接，

，

是等边三角形，

，，

四边形是平行四边形，，

，

，

，

，

，

.

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而求出∠BOC=20°，∠AOB=50°，由OB=OC可得∠OBC=∠OCB=80°，利用邻补角的定义可求出∠OBF=180°-∠OBC=100°，由平行四边形的性质可得EF∥OA，∠EOA=∠EFA=40°，利用平行线的性质可得∠BEF=∠EOA=40°，根据三角形内角和求出∠BFE=40°，利用∠CFA=∠BFE+∠AFE即可求解；

（2）连接AC，易求△OAC是等边三角形，可得AC=OC，∠OAC=60°，由平行四边形的性质可得∠OAF=180°-∠EOA=140°，从而求出∠CAF=80°，即得，利用等角对等边可得，继而得出结论.

20．【答案】（1）证明：，∴，

则，；

（2）解：连接、，作于，

弧的度数为120°，

，，

∴OH=BO=4,

∵BO2=BH2+OH2，OB=8

∴，

，

则四边形的面积.

【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）由同圆中，等弦所对的弧相等得，由弧的运算可得，进而根据等弧所对的弦相等可得；

（2）连接OB、OD，作于，由弧BD的度数为120°可得∠BOH=∠BOD=60°，可得∠OBH=30°，由30°所对直角边等于斜边的一半可得OH=BO=4，由勾股定理可得BH的长，再由垂径定理可得BD的长，再根据题上定义可得“该四边形的面积等于对角线乘积的一半”可得结果.

21．【答案】（1）解：∵∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，由题意得：∠APD=∠BPC=（180°-100）÷2=40°.

（2）解：延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，∵∠APD=∠BPC=（180°-90°）÷2=45°，∵∠APD=∠BPF，∴∠FPB=∠BPC，则由圆的对称性知，PC=PF，∴FD=PC+PD，由题中定义可知，∠DPC=∠DOC=90°，∴DC=OC=10，∴FD=PD+PC=16+10-10=16，∵DH=FD=8，∵OH=，∴PO==6，∴AP=OA-OP=10-6.当A、B对调时，即P在OB之间时，AP=OA+OP=10+6.

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据回旋角的定义，即∠APD=∠BPC，结合平角的定义列式即可求出∠APD；

（2）延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，当P在OA之间时，由圆的对称性知，PC=PF，由题中定义可知∠DPC=∠DOC=90°，利用勾股定理求出DC的长.结合△PCD的周长，则由PF=PD-PC求出PF，于是由垂径定理求出DH，在Rt△ODH中，运用勾股定理列式求出OH，则PO的长度可求，从而由PA=OA-OP求得PA的长；当P在OB之间时，AP=OA+OP，从而也求得AP的长.

22．【答案】（1）解：因为弦AC⊥弦BD，DE⊥BC于点E，所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，

所以∠ACB＝∠BDE，

又因为∠ACB=∠ADB，

所以∠BDE=∠ADB，

所以BD平分∠ADF

（2）解：连接OB，OA，则△AOC，△BOC是等腰三角形，所以∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，

又因为OC平分∠ACB，

所以∠OCB==∠OCA，

所以∠OBC=∠OAC，

在△AOC和△BOC中，

，

所以△AOC≌△BOC，

所以AC=BC

（3）解：因为∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=，所以tan∠ACB=，

所以，可设BH=3x，CH=4x，

由勾股定理得：BC=5x，

则AC=5x，所以AH=x，

因为AB=，根据勾股定理得：，

所以得：，，解得：x=3，

所以BC=15，

设等腰△ACB底边AB上的高为h，由勾股定理可得：，

根据相似三角形性质可得：，

即，解得BN=，

根据勾股定理可得：DN==.

【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据题意易知，∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°，可得∠ACB＝∠BDE，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACB=∠ADB，等量代换可得∠BDE=∠ADB，可证BD平分∠ADF。

（2）连接OB，OA，易证△AOC，△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可知∠OCB=∠OBC，∠OAC=∠OCA，等量代换可得∠OBC=∠OAC，最后根据AAS判定△AOC≌△BOC，由全等三角形的性质可得AC=BC。

（3）由∠ACB=∠ADB，tan∠ADB=，可得tan∠ACB=，可设BH=3x，CH=4x，在Rt△AHB中利用勾股定理求得AH，BC，再根据勾股定理求得等腰△ACB底边AB上的高，根据相似三角形求得BN，再由勾股定理求得DN即可。

23．【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．

∵M是的中点，

∴MA=MC．

又∵BA=GC，∠A=∠C，

∴△MBA≌△MGC（SAS），

∴MB=MG，

又∵MD⊥BC，

∴BD=GD，

∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）3

（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，

由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AF=AD，

∵AE⊥BD，

∴FE=DE，则CD+DE=BE，

∵∠ABD=45°，

∴BE=AB=4，

则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．

故答案为：8+8．

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，

∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，

∴△DCF≌△DBA（SAS），

∴DF=AD，

又∵DE⊥AC，

∴AE=EF，

∵CF=AB=4，AC=10，

∴AE=3；

【分析】（1）在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG，利用弧的中点和弧、弦、圆心角之间的关系定理，可证得MA=MC，利用SAS证明△MBA≌△MGC，利用全等三角形的性质可得到MB=MG，利用等腰三角形的性质可证得BD=GD，由此可证得DC=AB+BD.

（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，利用SAS证明△DCF≌△DBA，利用全等三角形的性质可证得DF=AD，利用等腰三角形的性质可证得AE=EF，即可求出AE的长.

（3）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，利用SAS证明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性质可得到AF=AD，利用等腰三角形的性质可证得FE=DE，可推出CD+DE=BE；从而可求出BE的长，然后证明△BDC的周长=2BE+BC，代入计算求出△BDC的周长.

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2023年浙教版数学九年级上册3.4圆心角同步测试（培优版）

一、选择题（每题3分，共30分）

1．（2023九上·东阳期末）如图，半径为5的圆O中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BOC、∠EOD，已知DE＝6，∠BOC+∠EOD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）

A．3B．C．4D．

【答案】A

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，如图，

∵∠BOC＋∠EOD＝180°，

而∠BOC＋∠BOF＝180°，

∴∠DOE＝∠BOF，

∴弧DE＝弧BF，

∴DE＝BF＝6，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH，

而CO＝OF，

∴OH为△CBF的中位线，

∴OH＝BF＝3．

故答案为：A.

【分析】作OH⊥BC于H，延长CO交圆O于点F，连接BF，先用等角的补角相等得∠DOE＝∠BOF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE＝BF＝6，由OH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得OH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到OH的长．

2．（2022九上·利辛月考）如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若，则的半径长是（）

A．5B．6.5C．7.5D．8

【答案】A

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】连接，如图，设的半径为r，

∵，

∴，，

∵点C是弧BE的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

在中，

∵，

∴，解得，

即的半径为5．

故答案为：A．

【分析】连接，设的半径为r，由弧的中点可得，从而得，根据弧、弦、圆心角的关系可得CD=BE=8，由垂径定理得，=4，在中，利用勾股定理可求出半径.

3．（2022九上·桐庐期中）如图，在中，直径垂直弦于点E，连接，已知的半径为2，，则的度数为（）

A．30°B．60°C．90°D．120°

【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：∵，

∴，

在Rt△BEO中，由勾股定理得：，

∴，

∴AB是OD的垂直平分线，

∴，

∴△OBD是等边三角形，

∴，

∴的度数为60°，

故答案为：B.

【分析】根据垂径定理得出BE的长，从而利用勾股定理算出OE的长，然后判断出AB是OD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及同圆的半径相等得OB=OD=BD，故△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系即可得出答案.

4．（2022九上·西湖期中）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）

A．10B．13C．15D．16

【答案】C

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，连接OF．

∵DE⊥AB，

∴DE＝EF，＝，

∵点D是弧AC的中点，

∴＝，

∴＝，

∴AC＝DF＝12，

∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，

在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，

解得x＝，

∴AB＝2x＝15.

故答案为：C.

【分析】连接OF，由垂径定理可得DE＝EF，＝，由中点的概念可得＝，则＝，根据弦、弧的关系可得AC=DF=12，则EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，由勾股定理可得x，进而可得AB.

5．（2022九上·舟山月考）如图，是的直径，弧、弧与弧相等，，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】∵，

∴∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，

∴∠BOE=3∠COB=3×36°=108°，

∵OA=OE，

∴∠A=∠OEA，

∴∠BOE=∠A+∠OEA=108°，

∴∠OEA=54°.

故答案为：C.

【分析】利用在同圆和等圆中相等的弧所对的圆心角相等，可证得∠EOD=∠DOC=∠COB=36°，从而可求出∠BOE的度数；再利用等边对等角可证得∠A=∠OEA；然后利用三角形的外角的性质可求出∠OEA的度数.

6．（2022九上·定海月考）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（）

A．B．

C．D．到、的距离相等

【答案】A

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定（SSS）

【解析】【解答】解：A、∵BC是直径，

∴OB=OC=OA=OD，故A符合题意；

B、在△AOB和△COD中，

∴△AOB≌△COD（SSS），

∴∠AOB=∠COD，故B不符合题意；

C、∵∠AOB=∠COD，

∴，故C不符合题意；

D、∵，

∴AB=CD，

∴点O到AB，CD的距离相等，故D不符合题意；、

故答案为：A.

【分析】利用同一个圆的半径相等，结合已知条件，可对A作出判断；利用SSS证明△AOB≌△COD，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠AOB=∠COD，可对B作出判断；利用在同圆和等圆中相等的圆心角所对的弦相等，相等的弦的弦心距相等，可对C、D作出判断.

7．（2022九上·武义期末）如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：在⊙O中，

∵

∴，

故A、C选项正确，不符合题意；

∵，OA=OD，OB=OC

∴

∴

∵OE⊥AB，OF⊥CD，

∴

∴OE=OF

故B选项正确，不符合题意.

故答案为：D

【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理"在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、弦这三组量中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等"并结合题意即可判断求解.

8．（2023九上·招远期末）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（）

①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE

A．①④B．②③C．②③④D．①②③④

【答案】B

【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，

∴CE=DE，，，

∴∠BOC=2∠A=40°，，

即，故③符合题意；

∵∠OEC=90°，∠BOC=40°，

∴∠C=50°，故②符合题意；

∵∠C≠∠BOC，

∴CE≠OE，故①不符合题意；

作OP∥CD，交AD于P，

∵AB⊥CD，

∴AE＜AD，∠AOP=90°，

∴OA＜PA，OE＜PD，

∴PA+PD＞OA+OE

∵OE＜OA，

∴AD＞2OE，故④不符合题意；

故答案为：B．

【分析】由AB⊥CD可得①错误；

由∠BAD＝25°及等弧所对的圆周角相等可得∠C＝40°，故②正确；

由垂径定理及相等的弦所对的弧相等可得③正确；

由AE＜AD及OE＜OA可判断AD＞2OE故④错误。

9．（2023九上·朝阳期末）如图，△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，在下列等式中：①BC＝B′C′；②∠BAB′＝∠CAC′；（3）∠ABC＝∠A′B′C′；④.其中正确的个数是（）

A．3个B．2个C．1个D．0个

【答案】A

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向转动一个角度后成为△A′B′C′，

∴BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，

∴∠BAB′＝∠CAC′；

∵弧BB′与弧CC′所对的圆心角相等，而所在圆的半径不相等，

∴弧BB′与弧CC′不相等.

∴正确的有①②③.

故答案为：A.

【分析】①②由旋转的性质“旋转前后两个图形的对应角相等，对应边相等”可得BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠A′B′C′，③由①的结论可得∠BAB′＝∠CAC′；④根据弧相等的定义“能够完全重合的弧是相等的弧”可知弧BB′与弧CC′不相等.

10．（2023九上·瑞安期末）如图，点A,B,C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1，过A,O,C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE,BE，则的最大值是（）

A．4B．5C．6D．

【答案】C

【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系；点与圆的位置关系

【解析】【解答】当BE为三角形BCE的斜边的时候CE2+BE2有最大值

∴EC⊥x轴，

∵AO⊥x轴

∴AO=EC=1

则BE2=BC2+CE2=5

CE2+BE2=1+5=6

故答案选C。

【分析】题目属于分析动点最大值的问题，E在圆上运动，分析什么时候CE2+BE2有最大值，根据平方的关系联想勾股定理，如果有一边为斜边，即有最大值。

二、填空题（每空4分，共24分）

11．（2023·荔湾模拟）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为．

【答案】4

【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接，如图所示：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

而，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴为直角三角形，

设，则，

在中，，，

∵，

∴，

解得：，

即的长为4．

故答案为：4．

【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。

12．（2022·鞍山模拟）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，，则的直径长为．

【答案】15

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图，因为点D是弧的中点，

所以；

因为为的直径，

，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，

解得．

故答案为：15．

【分析】先求出，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，再求出即可。

13．（2022九上·宁波期中）如图，中，，圆O是的外接圆，的延长线交边于点D.当是等腰三角形时，的度数为.

【答案】67.5°或72°

【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：连接OC，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

当时，，

则，

解得：，

∴；

当时，，

则，

解得：，

∴，

DA=DB的情况不存在，

综上所述，当是等腰三角形时，的度数为67.5°或72°，

故答案为：67.5°或72°.

【分析】连接OC，由同圆中相等的弦所对的弧相等得，由垂径定理OC⊥AB，由等腰三角形的性质得∠CAB=∠CBA，∠DCO=∠BCO，∠OBC=∠BCO，由三角形外角性质得∠ADB=3∠OBC，然后分BA=BD、AB=AD、DA=DB，三种情况根据三角形的内角和定理建立方程，求解即可.

14．（2023九上·哈尔滨月考）如图，已知AB是半圆的直径，且AB=10，弦AC=6，将半圆沿过点A的直线折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为．

【答案】．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】

设圆的圆心是O，连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．

根据题意知，∵OF⊥AC，∴AF=AC=3，

∵∠CAD=∠BAD，∴，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，

在△AOF和△OED中，∵∠OFA=∠OED，∠FAO=∠EDO，AO=DO，

∴△AOF≌△OED（AAS），∴OE=AF=3，

∵DO=5，∴DE=4，∴AD=．

故答案为．

【分析】通过作辅助线，结合三角形全等的性质与判定，利用勾股定理求出线段的长度即可.

15．（2023九上·大石桥期中）如图，AB是半圆O的直径，D是弧AB上一点，C是弧AD的中点，过点C作AB的垂线，交AB于E，与过点D的切线交于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是（填序号）．

【答案】②③

【知识点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】∵在中，AB是直径，点D是上一点，点C是的中点，

故①错误；

连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD，故②正确；

∵弦CE⊥AB于点F，

∴A为的中点,即

又∵C为的中点，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP.

∵AB为的直径，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

故答案为：②③.

【分析】①由等弧所对圆周角相等可得两角相等，但弧BD与弧CD不一定相等，故①错误；②连接OD，结合切线的定义及GE⊥AB即可利用等角的余角相等证得∠GPD=∠GDP，再利用等角对等边即可得证GP=GD；③证P为Rt△ACQ的外心即证点P到三角形三个顶点的距离相等，又因为∠ACB是直径AB所对的圆周角，故∠ACB=90°，即三角形ACQ为直角三角形，故只需证点P为其斜边AQ的中点即可.

16．（2023九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为m.

【答案】（2+2）

【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，

如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°，

∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，

∴OD＝2，PQ＝5，

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时

h＝，

如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，

易知，OQ≤OB，

而h＝OP+OQ＝2+OQ，

∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，

由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝，

h的最大值为OP+OB，即2+.

故答案为：（2+）.

【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，

当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.

三、解答题（共7题，共66分）

17．（2023九上·无棣期中）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．

【答案】（1）证明：连接OC，

∵，

∴∠AOC＝∠BOC，

又CD⊥OA，CE⊥OB，

∴CD＝CE

（2）解：∵∠AOB＝120°，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，

∵∠CDO＝90°，

∴∠OCD＝30°，

∴OD＝OC＝1，

∴CD＝＝，

∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，

同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，

∴四边形DOEC的面积＝+＝．

【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆心角定理得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质，即可得出CD＝CE；

（2）先求出∠OCD＝30°，得出OD＝OC＝1，利用勾股定理得出CD的长，从而得出△OCD和△OCE的面积，利用四边形DOEC的面积=△OCD的面积+△OCE的面积，即可得出答案.

18．（2023九上·路北期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，且E是CD的中点．

（1）求证：∠ADC＝∠BDO；

（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明：连接OC，

∵OD＝OC，E是CD的中点，

∴OE⊥CD，

∴，

∴∠ADC＝∠ABD，

∵OD＝OB，

∴∠BDO＝∠ABD，

∴∠ADC＝∠BDO；

（2）解：

设⊙O半径为r，

∴OC＝OD＝OA＝r，

∵AE＝2，

∴OE＝OA﹣AE＝r﹣2，

∵CD＝4，E点是CD的中点，

∴DE＝CD＝2．

由（1）知，OE⊥CD，

∴∠OED＝90°，

∴在RtOED中，OE2+DE2＝OD2，

即：（r﹣2）2+（2）2＝r2，

解得：r＝3，

∴OO半径为3．

【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）先求出，再求出∠ADC＝∠ABD，最后求解即可；

（2）先求出OE＝OA﹣AE＝r﹣2，再利用勾股定理计算求解即可。

19．（2023九下·厦门开学考）在扇形中，，点B在上，且，点E在半径上，以，为邻边作平行四边形，当点C，B，F共线时，

（1）求的度数；

（2）求证：.

【答案】（1）解：，

，

，

，

，

，

点C，B，F共线，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

（2）证明：连接，

，

是等边三角形，

，，

四边形是平行四边形，，

，

，

，

，

，

.

【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆心角的关系可得，从而求出∠BOC=20°，∠AOB=50°，由OB=OC可得∠OBC=∠OCB=80°，利用邻补角的定义可求出∠OBF=180°-∠OBC=100°，由平行四边形的性质可得EF∥OA，∠EOA=∠EFA=40°，利用平行线的性质可得∠BEF=∠EOA=40°，根据三角形内角和求出∠BFE=40°，利用∠CFA=∠BFE+∠AFE即可求解；

（2）连接AC，易求△OAC是等边三角形，可得AC=OC，∠OAC=60°，由平行四边形的性质可得∠OAF=180°-∠EOA=140°，从而求出∠CAF=80°，即得，利用等角对等边可得，继而得出结论.

20．（2023九上·柯桥期中）研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图，已知四边形内接于，对角线，且

（1）求证：.

（2）若的半径为8，弧的度数为120°，求四边形的面积.

【答案】（1）证明：，∴，

则，；

（2）解：连接、，作于，

弧的度数为120°，

，，

∴OH=BO=4,

∵BO2=BH2+OH2，OB=8

∴，

，

则四边形的面积.

【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）由同圆中，等弦所对的弧相等得，由弧的运算可得，进而根据等弧所对的弦相等可得；

（2）连接OB、OD，作于，由弧BD的度数为120°可得∠BOH=∠BOD=60°，可得∠OBH=30°，由30°所对直角边等于斜边的一半可得OH=BO=4，由勾股定理可得BH的长，再由垂径定理可得BD的长，再根据题上定义可得“该四边形的面积等于对角线乘积的一半”可得结果.

21．（2023九上·诸暨月考）如图，⊙O的直径AB=20，P是AB上（不与点A，B重合）的任一点，点C，D为⊙O上的两点，若∠APD=∠BPC，则称∠DPC为直径AB的“回旋角”，利用圆的对称性可知：“回旋角”∠DPC的度数与弧CD的度数相等.

（1）若∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，求∠APD的大小；

（2）若直径AB的“回旋角”为90°，且△PCD的周长为，求AP的长.

【答案】（1）解：∵∠DPC为直径AB的“回旋角”，且∠DPC=100°，由题意得：∠APD=∠BPC=（180°-100）÷2=40°.

（2）解：延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，∵∠APD=∠BPC=（180°-90°）÷2=45°，∵∠APD=∠BPF，∴∠FPB=∠BPC，则由圆的对称性知，PC=PF，∴FD=PC+PD，由题中定义可知，∠DPC=∠DOC=90°，∴DC=OC=10，∴FD=PD+PC=16+10-10=16，∵DH=FD=8，∵OH=，∴PO==6，∴AP=OA-OP=10-6.当A、B对调时，即P在OB之间时，AP=OA+OP=10+6.

【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系

【解析】【分析】（1）根据回旋角的定义，即∠APD=∠BPC，结合平角的定义列式即可求出∠APD；

（2）延长DP交圆于F点，连接CF，过O作OH⊥FD，当P在OA之间时，由圆的对称性知，PC=PF，由题中定义可知∠DPC=∠DOC=90°，利用勾股定理求出DC的长.结合△PCD的周长，则由PF=PD-PC求出PF，于是由垂径定理求出DH，在Rt△ODH中，运用勾股定理列式求出OH，则PO的长度可求，从而由PA=OA-OP求得PA的长；当P在OB之间时，AP=OA+OP，从而也求得AP的长.

22．（2023九上·哈尔滨期中）已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD，垂足为H，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E，DE交AC于点F.

（1）如图1，求证：BD平分∠ADF；

（2）如图2，连接OC，若OC平分∠ACB，求证：AC=BC；

（3）如图3，在（2）的条件下