中考数学专题复习“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆) 学案

中考数学专题复习“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)学案近年来，中考数学中出现了“PA+k·PB”型的最值问题，其中当k取1时，可以转化为“PA+PB”之和最短问题，使用常见的“饮马问题”模型来处理。但当k取任意不为1的正数时，问题就变得更加困难，需要转换思路。胡不归问题是指动点P在直线上运动，求PA+k·PB的最小值或最大值的问题。这种问题无法使用常规的轴对称思想来解决，需要采用其他方法。阿氏圆问题是指动点P在圆周上运动，求PA+k·PB的最小值或最大值的问题。解决这种问题需要利用阿氏圆的性质。三角形三边关系是解决线段最值问题的基础思想之一。在平面内，两点之间线段最短，垂线段最短，可以通过将军饮马问题、费马点、将军饮马特例、平行线间垂线段最短、直角三角形斜边大于直角边、圆外一点与圆上点距离最值垂径定理等来体现。阿氏圆问题和胡不归问题是解决“PA+k·PB”型的最值问题的两种分类。在处理这种问题时，需要采用特殊的方法，而不是常规的轴对称思想。从前，有一个小伙子在外地读书。当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于着急的不行，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说引起了人们的思索：小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。已知：AC上方为砂地，速度为V2，AC上则为平地，速度为V1。路线1为走AB，路线2为走AD后再走DB。求解：D在何处所花时间最短？解决方法：路线1时间为tAB1=V2。路线2时间为tADDB2=V1+V2。关键点：将V1转化为V2作∠CAE=∠α，使得sinα=V2/V1。过点B作BE⊥AE交AC于点D，则D为所求点。此时，ADDE=αV=DE/sinα=DE×V2/V1。则路线2时间变为tBE2=V2×DE×V2/V1。模型归纳：当V2等于1个单位每秒，V1等于0.1个单位每秒时，PA+k·PB型的最值问题为t=11kAD+DB。模型说理：A、B为定点，P为射线BM上一点，求PA+k·PB的最小值及确定P点的位置。关键是转化k·PB的大小，构造∠NBM，使sin∠NBM=k，过P作PQ⊥BN与点Q，此时PQ=PB·sin∠NBM=k·PB。求PA+k·PB的最小值转化为求PA+PQ的最小值，则过A作AQ⊥BN与点Q交BM于点P，此时AQ即为最小值，P为所求点。解题步骤：1.将所求线段写成PA+k·PB的形式（0<k<1）。2.在PB一侧，PA异侧，构造一个角度α，使sinα=k。3.过A做构造的角的另一边的垂线，则垂线段即为所求最小值。4.计算即可。例1：如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，求解AM+BM的最小值。详解：如图，作AN⊥于BC垂足为N，因为四边形ABCD是菱形且∠ABC=60°，所以∠DBC=30°，即sinDBC1/2，因此1/BM=MN，所以AM+1/BM=AM+MN，即AM+BM的最小值为AN=2√3。变式思考：(1)改为求2AM+BM的最小值？解：2√3+2。(2)改为求AM+2BM的最小值？解：2。例2：如图所示，点A为直线l外一定点，点B,C为直线l上两点，且AB=2，∠ABC=15°，点P为直线l上的动点，请确定点P的位置，使AP+1/BP最小，并求出这个最小值。解：如图，作AN⊥于BC垂足为N，在Rt△ABN中，AN=AB·sin∠ABC=2·sin15°，因此AP+1/BP的最小值为2sin15°。变式思考：改为求2AP+2BP的最小值？解：4sin15°。例3：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为_____解：如图，作AE⊥于BD垂足为E，因为AP+BP+CP=AE+BE+CE，所以AP+BP+CP的最小值为2√2。例4：如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边上有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居名点B，A，B的直线距离是13千米.居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经5/2小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶）解：如图，设消防车从公路上某点O进入草地，则在公路上行驶的时间为t1，行驶的路程为80t1，在草地上行驶的时间为t2，行驶的路程为40t2，因为消防车在出发后最快经5/2小时可到达居民点B，所以80t1+40t2=13，且t1+t2=5/2，解得t1=1，t2=3/2，因此消防车在出发后最快经5/2小时可到达居民点B。例5：如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,4)，B(-1,0)，在y轴上有一动点G，求BG+1/3AG的最小值.解：如图，设G的坐标为(0,y)，则BG+1/3AG=√(1+y^2)+1/3√y^2+16，因此BG+1/3AG的最小值为4。例6：如图，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC边上的高为AO，点D为射线AO上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=9/2时，运动时间最短为3秒.解：如图，设DP=x，则AP=9/2-x，因为AD-DC=BC=2，所以CD=2-x，因此运动时间为t=AD/3+CD=3+(2-x)/1=5-x，因此运动时间最短为3秒，此时x=2。例7：如图，在菱形ABCD中，AB=6，且∠ABC=150°，点P是对角线AC上的一个动点，则PA+PB+PD的最小值为6。解：如图，作AN⊥于BC垂足为N，因为∠ABC=150°，所以∠DBC=30°，因此1/BM=MN，所以PA+PB+PD=AN+BN+DN=6。剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落，然后再小幅度的改写每段话。阿氏圆简介：阿氏圆，又称阿波罗尼斯圆，是一个以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，因此得名阿氏圆(k=m:n)。证明：设点A(a，0)，B(0,0)，P(x,y)，则PA的长度为√((x-a)^2+y^2)，PB的长度为√(x^2+y^2)。因为PA/PB=k且不等于1，所以有√((x-a)^2+y^2)/√(x^2+y^2)=k。将其平方得到(x-a)^2+k^2y^2=k^2x^2+k^2y^2，整理后可得到x=(k^2a)/(k^2-1)，y=(ka)/(k^2-1)。因此，点P的坐标可以表示为((k^2a)/(k^2-1),(ka)/(k^2-1))。因此，阿氏圆的轨迹为以线段AB的两个分点为直径的圆。例8：在平面四边形ABCD中，AB=BC=1，AD=CD=2，∠DAB=∠DCB=90°，点P为AD中点，M，N分别在线段BD，BC上，则PM+2MN的最小值为多少？首先，我们可以通过画图来确定点M和点N的坐标。然后，根据阿氏圆的性质，我们可以得到点P的坐标为(1,1)。接下来，我们可以使用距离公式计算PM和MN的长度，然后求和得到PM+2MN的值。最后，我们可以通过求导数来确定这个式子的最小值，得到最终答案。例9：在平面直角坐标系中，二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点A(-1,0)，B(0,-3)，C(2,0)，其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1/2PB+PD的最小值为多少？首先，我们可以通过已知点求出二次函数的系数，然后求出对称轴的方程。接下来，我们可以确定点D的坐标为(0,1)，然后使用距离公式计算出PD和PB的长度。最后，我们可以根据最小值原理来求出1/2PB+PD的最小值，得到最终答案。例10：已知抛物线y=(8/3)(x+2)(x-4)与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-3x+43与抛物线的另一个交点为D(-5,33/3)。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标为(-2,23)时，点M在整个运动过程中用时最少。首先，我们可以通过已知点求出抛物线的方程和点B的坐标。然后，我们可以使用求根公式来求出抛物线和直线的交点的坐标。接下来，我们可以使用距离公式计算出AF和FD的长度。然后，我们可以使用时间公式计算出点M到点F和点F到点D的时间。最后，我们可以将两个时间相加得到总时间，并通过求导数来确定F的坐标，使得总时间最小。例11：抛物线y=x^2-2x-3与x轴交于A,B两点，过点B的直线交抛物线于点E，且tan∠EBA=4/3。有一只蚂蚁从A(3,0)出发，先以1单位/秒的速度爬到线段BE的点D处，再以1.25单位/秒的速度沿着DE爬到E处觅食。蚂蚁从A到E的最短时间是多少秒？首先，我们可以通过已知点求出抛物线的方程和点B的坐标。然后，我们可以使用tan的定义来求出直线BE的斜率。接下来，我们可以使用点斜式来确定直线BE的方程。然后，我们可以使用距离公式计算出AD、BD、BE、DE的长度。接下来，我们可以使用时间公式计算出点A到点D和点D到点E的时间。最后，我们可以将两个时间相加得到总时间，并通过求导数来确定D的坐标，使得总时间最小。$x-a)^2+y^2=kx^2+y^2/2$化简得：$2x-a=kx^2/(1-k)$∴点P的轨迹是以$(a/2,0)$为圆心，半径为$a/(2\sqrt{1-k^2})$的圆。重要结论：$AM/AN=AP/AN=AP/AM=k$$OP/OA=OP/OB=AP/BP=k$（母子型相似）模型考法：考虑阿波罗尼斯圆模型时，已知阿波罗尼斯圆P和一个定点A（大前提：$OA_1=k$），要求找到AP，则需要找出B点，使得$BP$为所求。但是如何找到B点呢？法一：根据阿波罗尼斯圆的定义构造母子相似。法二：根据相似三角形的性质，连接$AC$即为所求。解题步骤：1.连接动点至圆心O，连接$OP$、$OB$。2.计算出所连接的这两条线段$OP$、$OB$的长度。3.计算这两条线段长度的比。4.在$OB$上取点C，使得$OC=k*OP$。5.连接$AC$，与圆$O$交点即为点P。6.计算$AC$的长度即可。例1：在直角三角形$ABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$CB=4$，$CA=6$，圆$C$半径为$2$，$P$为圆上一动点，连接$AP$、$BP$，求$AP+BP$的最小值为多少？解：连接$CP$，在$CB$上取点$D$，使得$CD=1$，则$PD=BP$，$AP+BP=AD$。由相似三角形可得$PD=BP=2/3$，$CD=1$，$AD=37/6$，故$AP+BP=AD=37/6$。例1变式：已知函数$f(x)=\sqrt{2x-x^2}$，$x\in[0,2]$，$AB$为$f(x)$的图像上的一条弧，$O$为坐标系原点，$P$为$AB$上一动点，$PC$垂直于$x$轴，$PD$垂直于$y$轴，求$PC+PD$的最小值。首先可以求出$f(x)$的定义域为$[0,2]$，然后可以求出$f(x)$的导数为$f'(x)=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，即$f(x)$在$x=1$处取得最大值$\sqrt{2}$。因为$AB$是$f(x)$的图像上的一条弧，所以可以知道$AB$的长度为$\int_0^2\sqrt{1+f'(x)^2}dx=\int_0^2\sqrt{2-x}dx=\frac{4}{3}(2\sqrt{2}-1)$。由于$PC$垂直于$x$轴，所以$PC$的长度为$f(P_x)$，其中$P_x$为$P$的横坐标。同理，$PD$的长度为$f^{-1}(P_y)$，其中$P_y$为$P$的纵坐标。因此，$PC+PD=f(P_x)+f^{-1}(P_y)$。由于$f(x)$在$x=1$处取得最大值，所以当$P_x=1$时，$f(P_x)$取得最大值$\sqrt{2}$。又因为$f(x)$是关于直线$x=1$对称的，所以当$P_x=1$时，$f^{-1}(P_y)$也取得最大值$\sqrt{2}$。因此，$PC+PD$的最小值为$2\sqrt{2}$。例2：如图，在直角坐标系中，以原点$O$为圆心作半径为4的圆交$x$轴正半轴于点$A$，点$M$坐标为$(6,3)$，点$N$坐标为$(8,0)$，点$P$在圆上运动，求$PM+PN$的最小值。由于圆心在原点，半径为4，所以圆的方程为$x^2+y^2=16$。点$A$的坐标为$(4,0)$。由于点$P$在圆上运动，所以可以设点$P$的坐标为$(x,\sqrt{16-x^2})$，其中$x\in[0,4]$。因此，$PM+PN=\sqrt{(x-6)^2+(\sqrt{16-x^2}-3)^2}+\sqrt{(x-8)^2+(\sqrt{16-x^2}-0)^2}$。为了方便计算，可以先将式子化简为$\sqrt{x^2-12x+45}+\sqrt{x^2-16x+80}$。因为$x\in[0,4]$，所以可以对每个根号内的式子求导数，然后令导数为0，解得$x=2$。因此，$PM+PN$的最小值为$\sqrt{2^2-12\times2+45}+\sqrt{2^2-16\times2+80}=2\sqrt{5}$。例3：正$\triangleABC$的内切圆半径为1，$P$为圆上一点，$BP+CP$的最小值为____。由于$\triangleABC$的内切圆半径为1，所以可以知道$\triangleABC$的面积为$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$，其中$a,b,c$分别为$\triangleABC$的三条边长。又因为内切圆的半径为1，所以可以知道$\triangleABC$的半周长为$p=s=1+\frac{BP+CP}{2}$，即$BP+CP=2p-2$。由海伦公式，可以知道$\triangleABC$的面积为$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。又因为$\triangleABC$是正三角形，所以可以知道$a=b=c=2p/3$。因此，$BP+CP=2p-2=2\sqrt{3}-2$。例4：如图，半圆的半径为1，$AB$为直径，$AC$、$BD$为切线，$AC=1$，$BD=2$，$P$为$AB$上一动点，求$PC+PD$的最小值。由于半圆的半径为1，所以可以知道圆的方程为$x^2+y^2=1$。因为$AC$、$BD$为切线，所以可以知道$AC\perpOD$，$BD\perpOC$，其中$O$为圆心。因此，$AC$的斜率为$-1$，$BD$的斜率为$1/2$。又因为$AC=1$，$BD=2$，所以可以知道$C$的坐标为$(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$，$D$的坐标为$(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$。设$P$的坐标为$(x,y)$，则$PC=\sqrt{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$，$PD=\sqrt{(x-\frac{2}{\sqrt{5}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{5}})^2}$。因此，$PC+PD=\sqrt{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{2}})^2}+\sqrt{(x-\frac{2}{\sqrt{5}})^2+(y-\frac{1}{\sqrt{5}})^2}$。为了方便计算，可以先将式子化简为$\sqrt{2-2x\sqrt{2}+2y\sqrt{2}}+\sqrt{5-4x\sqrt{5}+y\sqrt{5}}$。对每个根号内的式子求导数，然后令导数为0，解得$x=\frac{1}{\sqrt{10}}$，$y=\frac{2}{\sqrt{10}}$。因此，$PC+PD$的最小值为$\sqrt{2-2\times\frac{1}{\sqrt{10}}\times\sqrt{2}+2\times\frac{2}{\sqrt{10}}\times\sqrt{2}}+\sqrt{5-4\times\frac{1}{\sqrt{10}}\times\sqrt{5}+\frac{2}{\sqrt{10}}\times\sqrt{5}}=2\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{10}$。例5：已知扇形$COD$中，$\angleCOD=90^\circ$，$OC=6$，$OA=3$，$OB=5$，点$P$是$CD$上一点，则$2PA+PB$的最小值为_______。因为$\angleCOD=90^\circ$，所以可以知道扇形$COD$的面积为$\frac{1}{2}\times6\times5=15$。又因为$OA=3$，$OB=5$，所以可以知道扇形$COD$的弧长为$3\pi+5\pi-2\times6\pi=2\pi$。因此，$PA+PB$的最小值为$\frac{2}{\pi}\times15=10$。因为$2PA+PB$是$PA+PB$的两倍，所以$2PA+PB$的最小值为$20$。例6：如图，菱形$ABCD$的边长为2，锐角大小为60°，$\odotA$与$BC$相切与点$E$，在$\odotA$上任取一点$P$，求$PB+PD$的最小值。因为菱形$ABCD$的边长为2，所以可以知道$\triangleABD$的边长为2。又因为锐角大小为60°，所以可以知道$\triangleABD$是等边三角形。因此，$AB=BD=2$。又因为$\odotA$与$BC$相切于点$E$，所以可以知道$AE$为$\odotA$的切线，即$AE=1$。设$\odotA$的半径为$r$，则可以知道$BE=BC-CE=2-r$。因此，$PE=\sqrt{r^2-(1-r)^2}=2\sqrt{r-r^2}$。因为$\trianglePBE$是直角三角形，所以可以知道$PB=\sqrt{(2-r)^2+(2\sqrt{r-r^2})^2}=2\sqrt{2-2r+3r^2}$。又因为$\trianglePDC$是等边三角形，所以可以知道$PD=2$。因此，$PB+PD=\sqrt{2-2r+3r^2}+2$。对根号内的式子求导数，令导数为0，解得$r=\frac{1}{3}$。因此，$PB+PD$的最小值为$\sqrt{2-2\times\frac{1}{3}+3\times(\frac{1}{3})^2}+2=\frac{10}{3}$。例7：在平面直角坐标系中，$A(2,0)$，$B(0,2)$，$C(4,0)$，$D(3,2)$，$P$是$\triangle