大连理工大学-矩阵与数值分析绪论课件

计算机科学计算

（第一版）

施吉林张宏伟金光日编

高等教育出版社

计算机科学计算

（第一

本课件在张宏伟老师提供课件基础上略加改动而成，谨此致谢！

本课件第1章绪论1.1

计算机科学计算研究对象与特点第1章绪论1.1计算机科学计算研究对象与特点科学计算（计算方法、计算数学、数值分析）：计算机上求解数学问题的离散近似算法

科学计算（计算方法、计算数学、数值分析）：

主要内容包括：微分方程数值解法

本课程研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法、理论与软件实现数值代数数值逼近（数值微分积分）主要内容包括：微分方程数值解法本课程研究

课程特点：

一、构造计算机可行的有效算法：计算量与存储量。

二、给出实用的理论分析结果，如算法收敛性和稳定性。

课程特点：一、构造计算机可行的有效考察线性方程组早在18世纪Gramer已给出了求解法则：

什么是有效算法？

考察线性方程组早在18世纪Gramer已给出了求解法则：什么…，（D≠0），Gramer’sRuler…，（D≠0），Gramer’sRuler

从理论上讲Gramer法则是一个求线性方程组的数值方法，且对阶数不高的方程组行之有效。但是在计算机上，它是否实际可行？在算法中的乘、除运算次数将达使用每秒一亿次的串行计算机计算,一年可进行的运算应为：21！=9.7×1020次(9.7×1020)(3.5)(3.097×1015

)

30(万年)365(天)×24(小时)×3600(秒)×1093.5×1015（次）

»以求解20阶线性方程组为例，如果用Gramer法则求解，共需要耗费时间为：从理论上讲Gramer法则是一个求线性方程组的数值1.2误差分析与数值方法的稳定性

1.2.1误差来源与分类

误差的主要来源：

1.2误差分析与数值方法的稳定性1.2.1误差实际问题数学模型计算机数值结果数值计算方法计算流程与误差来源模型误差观测误差截断误差舍入误差实际问题数学模型计算机数值结果数值计算方法计算流程与误差来源1．模型误差：实际问题的解与数学模型的解之间的误差，来源于数学模型对实际问题的的简化。2.

观测误差：初始数据大多数是由观测而得到的。由于观测手段的限制，得到的数据常有误差。1．模型误差：实际问题的解与数学模型的解之间的误2.观测

截断误差这一术语来源：截断Taylor级数，用Taylor级数的有限项近似替代

Taylor级数的无穷和。3.截断误差：数学模型与数值计算模型的误差，如有限代替无限、离散代替连续的误差。

截断误差这一术语来源：3.截断误差：数学模型例如，求的值。利用无穷级数：前项和截断误差则数值方法的误差是，近似代替函数给定=例如，求的值。利用无穷级数：前项和截断误差则数值方法的误差是4.

舍入误差例如，产生的误差就是舍入误差。

用近似代替，由于计算机字长有限而造成的计算过程中误差。4.舍入误差例如，产生的误差就是舍入误差。用

模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围。

这里主要讨论截断误差与舍入误差，而截断误差将结合具体算法讨论.

初始数据误差也常常归结为舍入误差.

下面讨论误差估计几个基本问题模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围。这

1.误差的基本概念

设为精确值，因此误差也未知。称

通常准确值是未知的，为近似值的绝对误差，简称误差。为的一个近似值，绝对误差界（限）误差可正可负。绝对误差（误差）

则叫做近似值的误差界（限）。它总是正数。定义1.4定义1.5

设为精确值，为的一个近似值，若有常数使得（1-13）1.误差的基本概念设为精确值，因此误

例如，用毫米刻度的米尺测量一长度，读出和该长度接近的刻度，是的近似值，它的误差限是，于是如读出的长度为，则有.

虽然从这个不等式不能知道准确的是多少，但可知绝对误差界（限）结果说明在区间内.例如，用毫米刻度的米尺测量一长度，读出和该长度接

对于一般情形，即也可以表示为

但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的好坏.对于一般情形，即也可以表示为

实际计算中，如果真值未知时，

若，称为近似值的相对误差。作为的相对误差，条件是较小。通常取相对误差（误差）则将近似值的误差与准确值的比值定义实际计算中，如果真值未知时，若，

相对误差也可正可负，其绝对值上界叫做相对误差界（限）

是的平方项级，故可忽略不计。记为：相对误差界（限）这是由于相对误差也可正可负，其绝对值上界叫做相对误差界（限）

例，有两个量，则

又例如，有两个量

绝对误差相对误差绝对误差相对误差则=-0.1例，有两个量，

上例中，绝对误差有较大变化，而相对误差相同。相对误差由于考虑到准确值本身的大小常常更有意义。

上例中，绝对误差有较大变化，而相对误差相同。相对其近似值

,求

已知，因此其绝对误差界为：相对误差界为：的绝对误差界和相对误差界。解：0.00030.0002。注意：绝对误差界和相对误差界并非唯一。例1其近似值,求已知，因此其绝对误差

当准确值位数比较多时，常常按四舍五入的原则得到的前几位近似值，

取3位

取5位它们的误差界可以取为：例如误差界的确定当准确值位数比较多时，常常按四舍五入的原则得（1-14）的一个数字，为整数，（1-15）则称为的具有位有效数字的近似值。定义1.6

设为精确值，为的一个近似值，表为可以是有限或无限小数形式，其中是0到9中为使下式成立的最大正整数，（1-14）的一个数字，为整数，（1-15）

其中非零，是四舍五入得到的，则

其中非零，是四舍五入得到的，则

如果一个近似值是由精确值经四舍五入得到的，那么，从这个近似值的末尾数（可以是零）向前数起直到再无非零数字止，所数到的数字均为有效数字有效数字位数与小数点的位置无关

一般来说，绝对误差与小数位数有关，相对误差与有效数字位数有关如果一个近似值是由精确值经四舍五入得到的，那么，从这

下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有几位有效数字？解：则由已知条件，

练习1

即有5位有效数字；

下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们各有1位有效数字；

即无有效数字。

即有1位有效数字；即无有效数字。即减小舍入误差影响的几个原则：1.避免两个相近的数做减法两个具有个有效数字的相近数相减后，常常损失有效数字。例如在三位有效数字计算机上求解方程一个根为有三位有效数字。而另一个根为只有一位有效数字。减小舍入误差影响的几个原则：1.避免两个相近的数做减法两个具方程的改进求根公式：当很小时，用下面近似公式计算例方程的改进求根公式：当很小时，用下面近似公式计算例

2.防止“大数吃小数”

计算在五位有效数字计算机上，由于加减法要对齐小数点，导致“大数吃小数”。因此，应该小数相加后，再与大数相加：2.防止“大数吃小数”计算在五位有效数字计算机3.避免小数做除数或大数做乘数例如，若则绝对误差比增大倍。当时，有可能溢出！3.避免小数做除数或大数做乘数例如，若则绝对误差比增大倍。当即为所求。次乘法和例如，直接逐项求和计算若令，

则有递推公式（秦九韶算法，霍纳算法）：需次乘法，次加法。4.巧用等价公式减少运算次数需要次加法。即为所求。次乘法和例如，直接逐项求和计算若令，由于则递归算法如下：1.2.计算积分解：算出由计算出由5.选择稳定的算法（稳定性：舍入误差的积累影响不大)由于则递归算法如下：1.2.计算积分解：算出由计算出由5.选

设的近似值为，然后按方法1计算的近似值

。如果最初计算时误差为递推过程的舍入误差不记，并记，则有舍入误差放大了倍，因此是数值不稳定的。按方法2计算时，

记初始误差为，则有

因此公式2是数值稳定的。设的近似值为，然后按方法1计算的近似值。如果最初计算时1.2向量与矩阵的范数实数或复数的大小由非负实数度量。（2）齐次性

（3）三角不等式

注意到满足以下三个条件：（1）非负性当且仅当时1.2向量与矩阵的范数实数或复数的大小由非负实数向量和矩阵的范数：向量和矩阵的“长度”或“大小”。科学计算中离不开矩阵和向量的运算。运算过程的收敛、稳定、误差等问题都基于“距离”、“长度”、“大小”的概念，都用范数来描述。向量和矩阵的范数：向量和矩阵的“长度”或“大小”。科学计算中1.2.1向量范数

（1）非负性并且当且仅当时

（2）齐次性

（3）三角不等式则称函数为上的一个向量范数．以及任意复（实）常数该函数满足（或）上的一个非负，若对任意向量和

定义在实值函数，记为定义1.1（或1.2.1向量范数（1）非负性记任意ｎ维向量(为向量的转置），常用的向量范数有

(1-1)

(1-2)

(为向量的共轭转置）

(1-3)

(1-4)表示的模．上述四种范数分别称为１，2，∞范数和p-范数

记任意ｎ维向量(为向量的转置），常前面三种范数为p-范数当ｐ＝１，2，∞时的特例。

例如，当时，。事实上，两边开次方得

由于

故容易验证以上三种范数均满足范数定义中的三个条件。下面我们分析一下向量的１，2和∞-范数的几何意义，以为例。前面三种范数为p-范数当ｐ＝１，2，∞时的特例。例如，当大连理工大学-矩阵与数值分析绪论ppt课件给定任意一种向量范数都可以定义一种加权范数加权的1-范数为：

加权的2-范数为：和任意非奇异矩阵例如对于和给定任意一种向量范数都可以定义一种加权范数加权的1-范数为：例对任给,试问如下实值函数是否构成向量范数？

答：1.

不满足非负性条件，3.不满足齐次性条件；4.满足加权向量范数的定义，故构成向量范数。2.不满足非负性条件，例如取例如取都不是向量范数！例对任给,试问如下实值函数是否构成向量范数？答：1.例：求向量的１，2和∞-范数。解：

例：求向量的１，2和∞-范数。解：

（向量范数的等价性定理）设和为上的任意两种向量范数，则存在两个与向量无关的正常数

c1和c2，使得下面的不等式成立

（1-6）

并称和为上的等价范数。

定理1.1（向量范数的等价性定理）设和为上的任意两种向量1.矩阵范数（2）齐次性

（3）三角不等式则称函数为上的一个矩阵范数。以及任意复常数对任意矩阵

和

上的一个非负实值函数，记为，若该函数满足以下条件：

定义在（1）非负性当且仅当时0³A（4）相容性定义1.21.矩阵范数（2）齐次性（3）三角不等式则称函数

（1-7）

(1-8)

显然上述两个函数均满足矩阵范数定义中的（1）—（4）

我们分别称由（1-7）和（1-8）所定义的范数为矩阵的

-范数和Frobenius范数（简称F-范数）．（1-7）(1-8)2．算子范数

(1-9)则是一种矩阵范数,称为算子范数。定理1.2设由算子范数定义，有是向量范数。定义2．算子范数(1-9)则是一种矩阵范定义称如下集合为矩阵的谱定义矩阵的谱半径为注：若矩阵为：则其复共轭矩阵为：定义称如下集合为矩阵的谱定义矩阵

我们称由关系式（1-9）定义的矩阵范数为从属于向量范数的矩阵范数，简称从属范数或算子范数．在向量范数中，最常用的范数为向量的1-范数、2-范数和∞-范数，下面分别导出从属这三种向量范数的矩阵范数．

(列范数)(行范数)

（1）（2）（3）（谱范数）其中表示矩阵的最大特征值；

定理1.3我们称由关系式（1-9）定义的矩阵范数为从属于向量对任何算子范数，单位矩阵

的范数值为1，即推论事实上，特别地，

不是算子范数。事实上，对任何算子范数，单位矩阵的范数值为1，即推论事实设求例2解：

设求例2解：令得，令得，

满足1.2.4矩阵范数的性质为矩阵空间的任一算子范数，均有

设则对任意的n阶方阵

（1-10）

的谱半径。

为方阵其中定理1.４证，则有从而得到．设满足1.2.4矩阵范数的性质为矩阵空间的任一算子范一般地，实值函数可以作为一种矩阵范数吗？注意：当时，取，则有，从而

；从而。另一方面故实值函数不可以作为一种范数！一般地，实值函数可以作为一种矩阵范数吗？对于任给的ε>0,则存在定理1.5

上的一种算子范数

（依赖矩阵和常数ε），使得

（1-11）注：定理1.５中的矩阵范数与给定的矩阵有关。针对矩阵构造的矩阵范数对于另一个矩阵，不等式不一定成立。

对于任给的ε>0,则存在定理1.5上的一种算子范数

，如果

上的一种算子矩阵范数

且

则可逆且

(1-12)定理1.6

整理后便可得到(1-12)式。证由定理1.4可得，设为矩阵的任意非零特征值则矩阵的特征值为：从而可知即可逆。进一步，如果上的一种算子矩阵范数且

秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家．他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．美国著名科学史家G．萨顿(Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在以下方面：

1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著

2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”

3、秦九韶的任意次方程的数值解领先英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）572年

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。南宋大数学家秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称