冀教版数学九年级上册26.3 解直角三角形 素养提升练（含解析）

第第页冀教版数学九年级上册26.3解直角三角形素养提升练（含解析）第二十六章解直角三角形

26.3解直角三角形

基础过关全练

知识点1直角三角形中的数量关系

1.(2022广西北部湾经济区中考)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是()

A.12sinα米B.12cosα米

C.米

2.【新独家原创】如图,京杭大运河沧州段改造工程中,为测量某段运河两岸A,B两点间的距离,嘉琪发现点B在点A的正南方向,嘉琪自点B出发,向东走50m到达点C,若∠ACB=37°,则该处河宽AB约

为m.参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈

知识点2解直角三角形

3.【新独家原创】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC,AB的长都是一元二次方程x2-3x+2=0的根,则∠B的度数为()

A.15°B.20°

C.30°D.60°

4.(2022陕西中考)如图,AD是△ABC的高,若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为()

A.3

5.【教材变式·P115例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形.(参考数据:sin36°≈0.6,cos36°≈0.8)

(1)c=7,∠A=36°;

(2)a=6,b=6.

知识点3求非直角三角形的边与角

6.(2022河北滦南期中)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AC=8,AB=4,则BC的长是()

A.4C.6D.8

7.(2022河北石家庄模拟)已知△ABC中,∠A、∠B都是锐角,且+|tanB-1|=0.

(1)求△ABC三个内角的度数;

(2)若AC=2,求AB的长度.

能力提升全练

8.(2022河北中考,16,★★☆)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=,则正确的是()

A.只有甲的答案对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

9.(2022四川乐山中考,9,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan∠A=,tan∠ABD=,则CD的长为()

A.2

D.2

10.【易错题】【分类讨论思想】(2022黑龙江齐齐哈尔中考,16,★★☆)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC=.

11.【数学文化】(2022湖南张家界中考,13,★★☆)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”,它体现了中国古代数学的成就.如图,已知大正方形ABCD的面积是100,小正方形EFGH的面积是4,那么tan∠ADF=.

12.(2022江苏淮安中考,23,★★☆)如图,湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离,经测量得

∠BAC=37°,∠ABC=58°,AC=80米,求A、B两点之间的距离.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,

tan58°≈1.60)

素养探究全练

13.【应用意识】【项目式学习试题】某数学研究小组对武山住房窗户设计遮阳篷这一课题进行了探究,过程如下:

问题提出:图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.

方案设计:如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.

数据收集:通过查阅相关资料和实际测量了解到:武山一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大

(∠ADC=60°);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30°);窗户的高度AB=2m.

问题解决:根据上述方案及数据,求CD的长.

图1图2

答案全解全析

基础过关全练

1.ARt△ABC中,sinα=,∴BC=12sinα(米).

2.答案37.5

解析由题意得∠ABC=90°,∴tan∠ACB=,

∴AB=BC·tan∠ACB≈50×=37.5(m).

3.D解方程x2-3x+2=0,得x1=1,x2=2,

∵BC,AB分别是Rt△ABC的直角边和斜边,∴BC=1,AB=2,

∴cosB=,∴∠B=60°.

4.C∵BD=2CD=6,∴CD=3,BD=6,

∵tanC==2,∴AD=2CD=6=BD,∴AB=.

5.解析(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,

∴∠B=90°-36°=54°.∵sinA=,

∴a=c·sinA=7sin36°≈4.2.∵cosA=,

∴b=c·cosA=7cos36°≈5.6.

(2)c=,

∵tanA=,∴∠A=30°,∴∠B=90°-30°=60°.

6.B如图,过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E.

∵∠BAC=120°,∴∠CAE=180°-120°=60°,

∴AE=AC·cos60°=4,EC=AC·sin60°=4,

∵AB=4,∴BE=AB+AE=8,

∴BC=.

7.解析(1)已知+|tanB-1|=0,

∵≥0,|tanB-1|≥0,

∴cosA-=0,tanB-1=0,∴cosA=,tanB=1,

∴∠A=60°,∠B=45°,

∴∠C=180°-∠A-∠B=75°.

故∠A=60°,∠B=45°,∠C=75°.

(2)过点C作CH⊥AB于H,如图,

在Rt△ACH中,AC=2,∠A=60°,

∴AH=AC·cosA=2×=1,CH=AC·sinA=2×,

在Rt△CHB中,∵∠B=45°,∴BH=CH=,

∴AB=AH+BH=1+.

能力提升全练

8.B由题意知,当CA⊥BA或CA≥BC时,能作出唯一一个△ABC.①当CA⊥BA时,∵∠B=45°,BC=2,∴AC=BC·sin45°=2×,即此时d=;②当CA≥BC时,d≥2.综上,当d=或d≥2时能作出唯一一个△ABC.

9.C过D点作DE⊥AB于E,如图,

∵tan∠A=,tan∠ABD=,

∴AE=2DE,BE=3DE,∴AB=2DE+3DE=5DE,

在Rt△ABC中,tan∠A=,∴AC=2BC=2,

∴AB==5,∴DE=AB=1,

∴AE=2DE=2,∴AD=,

∴CD=AC-AD=.

10.答案3-3

解析本题易因只考虑一种情况而致错.

①当△ABC为锐角三角形时,过点A作AD⊥BC于点D,如图1,

∵AB=3,∠B=45°,∴BD=AD=AB·sin45°=3,

∴CD==3,∴BC=BD+CD=3+3;

图1图2

②当△ABC为钝角三角形时,过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D,如图2,∵AB=3,∠B=45°,∴BD=AD=AB·sin45°=3,

∴CD==3,

∴BC=BD-CD=3-3.

综上,BC的长为3-3.

11.答案

解析∵大正方形ABCD的面积是100,∴AD=10,

∵小正方形EFGH的面积是4,∴小正方形EFGH的边长为2,

∴DF-AF=2,设AF=x,则DF=x+2,由勾股定理得x2+(x+2)2=102,

解得x=6或-8(负值舍去),∴AF=6,DF=8,

∴tan∠ADF=.

12.解析如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D点,

在Rt△ACD中,∵sin∠DAC=,cos∠DAC=,

∴CD=AC·sin37°≈80×0.60=48(米),

AD=AC·cos37°≈80×0.80=64(米),

在Rt△BCD中,∵tan∠CBD=,

∴BD==30(米),

∴AB=AD+BD=