冀教版数学九年级上册25.5 相似三角形的性质 素养提升练（含解析）

第第页冀教版数学九年级上册25.5相似三角形的性质素养提升练（含解析）第二十五章图形的相似

25.5相似三角形的性质

基础过关全练

知识点1相似三角形对应高、中线、角平分线的比

1.(2023河北张家口桥西期中)已知△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,若,则=()

A.

2.将△ABC的三边长分别增加50%得到△A'B'C',若△ABC的一条角平分线的长度是4,则△A'B'C'中与之对应的角平分线的长度是()

A.9B.6

C.5D.2

3.(2022河北张家口宣化期中)如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是.

知识点2相似三角形的周长比、面积比

4.【一题多解】(2022江苏连云港中考)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边的长为12,则△DEF的周长是()

A.54B.36

C.27D.21

5.【一题多变】(2022湖南湘潭中考)在△ABC中(如图),点D、E分别为AB、AC的中点,则S△ADE∶S△ABC=()

A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4

第5题图变式2题图

[变式1]在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,=15,则S△ABC=.

[变式2]如图,在△ABC中,DE∥BC,,△ADE的面积是8,则四边形BCED的面积为.

6.(2022河北保定期末)如图,△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,若AD=2,A'D'=3,则△ABD与△A'B'D'的周长之比为,面积之比为.

7.【教材变式·P87习题B组T2】如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB边上,AE∶EB=2∶3,DE交AC于点F.

(1)求△AEF与△CDF的周长比;

(2)如果△CDF的面积为20,△ADF的面积为8,求四边形BCFE的面积.

能力提升全练

8.【母子型】(2022贵州贵阳中考,6,★☆☆)如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ADC与△ACB的周长比是()

A.1∶B.1∶2

C.1∶3D.1∶4

9.(2023河北邯郸永年期中,6,★★☆)已知△ABC∽△A'B'C',且△A'B'C'的面积为6,△A'B'C'的周长是△ABC的周长的,AB=8,则△ABC中AB边上的高等于()

A.3B.6C.9D.12

10.(2022江苏徐州中考,8,★★☆)如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为()

A.5B.6C.

11.(2023辽宁营口中考,14,★★☆)如图,DE是△ABC的中位线,F为DE的中点,连接AF并延长交BC于点G,若S△EFG=1,则S△ABC=.

12.(2022浙江杭州中考,19,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF,已知四边形BFED是平行四边形,.

(1)若AB=8,求线段AD的长;

(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.

素养探究全练

13.【推理能力】如图,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一条直线上,且AB=,BC=1,BF与AC、CD、DE分别交于点P,Q,R.求,的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.C∵△ABC∽△A'B'C',BD和B'D'是它们的对应中线,,

∴.

2.B∵△ABC的三边长分别增加50%得到△A'B'C',

∴△ABC∽△A'B'C',且相似比为2∶3,

∵△ABC的一条角平分线的长是4,

∴△A'B'C'中与之对应的角平分线的长为4×1.5=6.

3.答案

解析如图,过点A作AH⊥BC于H,交GF于M,

∵△ABC的面积是6,∴BC·AH=6,∴AH==3,

设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3-x,

∵GF∥BC,∴△AGF∽△ABC,∴,

即,解得x=,即正方形DEFG的边长为.

4.C解法一:设△DEF中其余两边的长为x,y,且x<y,

∵△ABC和△DEF相似,∴,∴x=6,y=9,

∴△DEF的周长是6+9+12=27.

解法二:∵△ABC和△DEF相似,∴,

∴,∴C△DEF=27.

5.D在△ABC中,点D、E分别为AB、AC的中点,

∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC,

∴△ADE∽△ABC,∴.

[变式1]答案20

解析∵点D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,

∴△ADE∽△ABC,∴,

又∵S△ABC=S△ADE+S四边形BCED,

∴S△ADE∶=1∶3,即S△ADE∶15=1∶3,

∴S△ADE=5,∴S△ABC=5+15=20.

[变式2]答案10

解析∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,

∴△ADE∽△ABC,

∵,

∴,

∵S△ADE=8,∴S△ABC=18,

∴18-8=10.

6.答案2∶3;4∶9

解析∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,AD=2,A'D'=3,

∴,∠ABD=∠A'B'D',∠ADB=∠A'D'B'=90°,

∴△ABD∽△A'B'D',

∴△ABD与△A'B'D'的周长之比为2∶3,面积之比=.

7.解析(1)∵AE∶EB=2∶3,∴.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD,

∴.

∵AB∥CD,∴△AEF∽△CDF,

∴.

(2)∵S△CDF=20,S△ADF=8,

∴S△ADC=S△CDF+S△ADF=28.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴S△ABC=S△ADC=28.

由(1)知△AEF∽△CDF,

∴,

∴S△AEF=20×,

∴S四边形BCFE=S△ABC-S△AEF=28-.

能力提升全练

8.B∵∠B=∠ACD,∠CAD=∠BAC,

∴△ACD∽△ABC,∴.

9.B∵△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'的周长是△ABC周长的,

∴△ABC与△A'B'C'的相似比为2∶1,

∴△ABC与△A'B'C'的面积比为4∶1.

∵△A'B'C'的面积为6,∴△ABC的面积为6×4=24,

∵AB=8,∴△ABC中AB边上的高等于2×24÷8=6.

10.C如图,∵CD∥AB,

∴△ABE∽△CDE,

∴=2,∴,

∴S阴影=.

11.答案24

解析如图,连接AE,

∵DE是△ABC的中位线,

∴DE∥AC,DE=AC,

∵F是DE的中点,∴,

∵DE∥AC,∴△EFG∽△CAG,

∴,,

∴,

∵S△EFG=1,∴S△CAG=16,

∴S△AEG=S△ACG=4,

∴S△ACE=S△ACG-S△AEG=12,

∴S△ABC=2S△ACE=24.

12.解析(1)∵四边形BFED是平行四边形,

∴DE∥BF,即DE∥BC,

∴△ADE∽△ABC,∴,

∵AB=8,∴AD=AB=2.

(2)∵△ADE∽△ABC,

∴.

∵△ADE的面积为1,

∴△ABC的面积是16.

∵四边形BFED是平行四边形,

∴EF∥AB