《解三角形》的教学设计

《解三角形》的教学设计高三数学备课组姜友粮设计了一堂关于解三角形的课程。教学目标包括掌握正弦定理、余弦定理，通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。同时，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。教学重点是边角的转化，正确运用数学语言，教学难点是应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。教学设计分为两部分。首先进行复习，帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。类型一是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题。高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合。教师提供了一个例子，利用向量垂直，求出数量积为时的关系式，利用余弦定理求解即可。经过本堂课的学习，学生掌握了解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口，同时也培养了他们的数学思维和应用能力。已知三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a=1，b=3，且A+C=2B。求sinC。解析：根据三角形内角和定理可得A+B+C=π，又A+C=2B，所以B=π/3。根据正弦定理可得sinA=a/2b=1/6，又因为a<b，所以A的取值为锐角对应的值。由sinA和三角形内角和定理可得sinB=sin(π/3-A)=sin(π/3)cosA-cos(π/3)sinA=√3/2cosA-1/2sinA=√3/4，再由sinB和A+B+C=π可得sinC=sin(π-A-B)=sin(π/3)=√3/2。在三角形ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且(2a-c)cosB=bcosC。求(1)角B的大小；(2)若cosA=2/3，a=2，求三角形ABC的面积。解析：(1)将(2a-c)cosB=bcosC转化为角的形式，即(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，进一步化简可得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA，所以cosB=sinA/2，又因为B为锐角，所以B=π/6。(2)根据cosA=2/3和a=2可得b=√(a^2+c^2-2accosB)=√(4+c^2-4c/2)=√(c^2-2c+4)，代入(2a-c)cosB=bcosC可得c=4/3。由正弦定理可得sinB=b/2c=√3/9，sinC=c/2b=2/3√3，所以S=1/2absinC=1/2×2×√3/9×2/3√3=1/3。(2)已知两边和夹角，如已知a、b和C，先用余弦定理求c，再用正弦定理求较短边所对的角，最后用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再用正弦定理或余弦定理求c。需要注意解题时可能存在多种情况．(4)已知三边a、b、c，可用余弦定理求A、B、C．本节课主要复习了解斜三角形的相关知识，包括正弦定理和余弦定理的应用。通过本节课，我们掌握了解决实际问题的重要数学思想，即将问题转化为解三角形，并合理运