人教版数学九年级上册课件第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学资料

初中数学教学同步课件前言——读的方法同学们往往不善于读数学书,在读的过程中,易沿用死记硬背的方法。那么如何有效地读数学书呢?平时应做到:一是粗读。先粗略浏览教材的枝干,并能粗略掌握本章节知识的概貌,重、难点；二是细读。对重要的概念、性质、判定、公式、法则、思想方法等反复阅读、体会、思考,领会其实质及其因果关系,并在不理解的地方作上记号(以便求教)；三是研读。要研究知识间的内在联系,研讨书本知识安排意图,并对知识进行分析、归纳、总结,以形成知识体系,完善认知结构。读书,先求读懂,再求读透,使得自学能力和实际应用能力得到很好的训练。“听”是直接用感官去接受知识,而初中同学往往对课程增多、课堂学习量加大不适应,顾此失彼,精力分散,使听课效果下降。因此应在听课程时注意做到:(1)听每节课的学习要求；(2)听知识的引入和形成过程；(3)听懂教学中的重、难点(尤其是预习中不理解的或有疑问的知识点)；(4)听例题关键部分的提示及应用的数学思想方法；(5)做好课后小结。前言——听的方法“思”指同学的思维。数学是思维的体操,学习离不开思维,数学更离不开思维活动,善于思考则学得活,效率高；不善于思考则学得死,效果差。可见,科学的思维方法是掌握好知识的前提。七年级学生的思维往往还停留在小学的思维中,思维狭窄。因此在学习中要做到:(1)敢于思考、勤于思考、随读随思、随听随思。在看书、听讲、练习时要多思考；(2)善于思考。会抓住问题的关键、知识的重点进行思考；(3)反思。要善于从回顾解题策略、方法的优劣进行分析、归纳、总结。前言——思考的方法孔子曰:“敏而好学,不耻不问。”爱因斯坦说过:“提出问题比解决问题更重要。”问能解惑,问能知新,任何学科的学习无不是从问题开始的。因此,同学在平时学习中应掌握问问题的一些方法,主要有:(1)追问法。即在某个问题得到回答后,顺其思路对问题紧追不舍,刨根到底继续发问;(2)反问法。根据教材和教师所讲的内容,从相反的方向把问题提出来;(3)类比提问法。据某些相似的概念、定理、性质等的相互关系,通过比较和类推提出问题;(4)联系实际提问法。结合某些知识点,通过对实际生活中一些现象的观察和分析提出问题。此外,在提问时不仅要问其然,还要问其所以然。前言——问的方法很大一部分学生认为数学没有笔记可记,有记笔记的学生也是记得不够合理。通常是教师在黑板上所写的都记下来,用“记”代替“听”和“思”。有的笔记虽然记得很全,但收效甚微。因此,学生作笔记时应做到以下几点:(1)在“听”,“思”中有选择地记录；(2)记学习内容的要点,记自己有疑问的疑点,记书中没有的知识及教师补充的知识点；(3)记解题思路、思想方法；(4)记课堂小结。明确笔记是为补充“听”“思”的不足,是为最后复习准备的,好的笔记能使复习达到事倍功半的效果。正确的学习态度和科学的学习方法是学好数学的两大基石。这两大基石的形成又离不开平时的数学学习实践。所以暑期期间每天给自己一些时间学习数学是很有必要的。前言——记笔记的方法21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系人教版数学九年级上册1.一元二次方程的求根公式是什么？【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac<0时,方程无实数根.导入新知素养目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.3.让学生体会从特殊到一般的科学探究过程.填表，观察、猜想

方程

x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=0x2+3x-10=0x2+5x+4=0【思考】你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②

x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.

根与系数的关系探究新知知识点11,1212,-5-3-10-1,-4-54（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.探究新知【猜一猜】如果关于x的方程的两根是x1

,x2

,则:如果方程二次项系数不为1呢?x1+x2=-p，x1·x2=q探究新知方程x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

2x2-3x-2=03x2-4x+1=0问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律.①用语言叙述发现的规律；②

ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律.探究新知

-1一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韦达定理）【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0常数项探究新知一次项系数二次项系数注意系数符号。学生活动：请同学用求根公式证明.一元二次方程的根与系数的关系的应用例1

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

（1）x2+7x+6=0;解：这里a=1,b=7,c=6.Δ=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.素养考点1探究新知（2）2x2-3x-2=0.解：这里

a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2

-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,

∴方程有两个实数根.

设方程的两个实数根是

x1,x2,那么

x1+x2=,x1x2=-1.探究新知不解方程，求方程两根的和与两根的积：

①x2+3x-1=0②2x2-4x+1=0解：①②原方程可化为：二次项不是1，可以先把它化为11.巩固练习例2

已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2

.

所以：x1·x2=2x2=

即：x2=

由于x1+x2=2+=

得：k=－7.答：方程的另一个根是

，k=－7.利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素养考点2探究新知想一想，还有没有别的做法？2.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.巩固练习例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知：

利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素养考点3探究新知（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,

(4)

.411214巩固练习3.设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:

例4

设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0

即-8k+4≥0.

由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由x12+x22=4，得2k2-8k+4=4,

解得

k1=0,k2=4.经检验，k2=4不合题意，舍去.根与系数关系的综合题目素养考点4探究新知

归纳总结探究新知

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△＞0，∴k的值为9或-3.∴（）2-4×

=1巩固练习4.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.

一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（

）

A．﹣2

B．1

C．2

D．0巩固练习连接中考D1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=

,q=

.1-2-3课堂检测基础巩固题3.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x=1代入方程中：3

-19+m=0.

解得

m=16,设另一个根为x1,则：

1×x1=∴x1=课堂检测基础巩固题4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系

所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=

解得：k=-7；

（2）因为k=-7,所以

则：课堂检测基础巩固题设x1,x2是方程3x2+4x–3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.

(1)(x1+1)(x2+1);(2)解:根据根与系数的