2021年广东省河源市船塘中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年广东省河源市船塘中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校在一年一度的“校园十佳歌手”比赛中，9位评委为参赛选手A给出的分数的茎叶图如图所示.在去掉一个最高分和一个最低分后，得出选手A得分的中位数是

(A)93(B)92(C)91

(D)90参考答案：B略2.设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则?UA=（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x≤2}参考答案：A【考点】补集及其运算．【分析】由全集U，以及A，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，?UA={x|1＜x≤2}，故答案为：A．3.已知函数单调递减，求的取值范围（

）A

B

C

D,参考答案：A略4.若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：5.等于（）A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由平方公式展开，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和等于(

)

A．2

B．4 C．6

D．8参考答案：D略8.中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木捅一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶．每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层．则木桶的个数为（）A．1260 B．1360 C．1430 D．1530参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件求出a，b，c，d，代入公式能求出结果．【解答】解：∵最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层．∴最底层长有c=a+15=17个，宽有d=b+15=16个则木桶的个数为：=1530．故选：D．9.如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为，并且．若将点到正八角星个顶点的向量都写成的形式，则的取值范围为（

）．（A） （B）（C） （D）

参考答案：C10.在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）A.(0，-1)

B.(0,1)

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且焦距为，为左右顶点，左准线与轴的交点为，，若点在直线上运动，且离心率，则的最大值为

▲

．参考答案：12.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最小值为

.参考答案：略13.已知非零向量、，满足，则函数是(

)

A.既是奇函数又是偶函数

B.非奇非偶函数

C.偶函数

D.奇函数参考答案：C14.已知集合，，集合，则集合的子集共有

个．参考答案：415.将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_

．参考答案：16.从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为

（用数字作答）．参考答案：17.已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝

．参考答案：－；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，其中满足，曲线C1与圆C的交点为O，P两点，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案：(1)圆C：得圆C极坐标方程:┈┈┈┈4分（2）由得其中由得其中则┈┈┈┈10分19.已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f（x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）①求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；②设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；（2）由题意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，两次求导，判断单调性，对a讨论，分①当a≥时，②当a＜时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立?存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查推理能力和运算能力，属于难题．20.在平面直角坐标系xOy中，直线，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（Ⅰ）求曲线C被直线l截得的弦长；（Ⅱ）与直线l垂直的直线EF与曲线C相切于点Q，求点Q的直角坐标．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）或．【分析】（Ⅰ）首先把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出切点的直角坐标．【详解】（Ⅰ）由题意，曲线，可得，又由，可得曲线的直角坐标方程为，即，其中圆心坐标为，半径为1，所以圆心到直线的距离，所以曲线被直线截得的弦长为．（Ⅱ）因为直线与直线垂直，设直线的方程为，由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离，解得或，所以直线的方程为或．设切点，联立方程组，