几何概型的经典题型及答案

几何概型的经典题型及答案几何概型的常见题型及典例分析一、几何概型的定义几何概型是指每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。其特点是无限性和等可能性。计算公式为P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。在计算概率时，需要构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量。与古典概型相比，几何概型的基本事件是无限的，且概率计算公式的含义不同。二、常见题型1.与长度有关的几何概型例1：在区间[-1,1]上随机取一个数x，求cos(πx/2)的值介于1/2和3/2之间的概率。分析：在区间[-1,1]上随机取任何一个数都是一个基本事件。由于每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件。解：在区间[-1,1]上随机取一个数x，即x∈[-1,1]时，要使cos(πx/2)的值介于1/2和3/2之间，需使-1/3≤x≤-1/5或1/5≤x≤1。区间长度为2/3+2/5=16/15。由几何概型知，使cos的值介于1/2和3/2之间的概率为符合条件的区间长度1/15。因此，答案为A。例2：如图，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？思路点拨：从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型。解：记E为“A与C、B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30×1/3=10米，因此E的几何图形为两个长度为20米的矩形，而总的几何图形为长度为30米的矩形。因此，P(E)=20/30×20/30=4/9。因此，答案为4/9。我们可以将每个事件理解为在某个特定的几何区域内随机地取一点。该区域中每一点被取到的机会都一样。一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这样的概率模型可以用几何概型来求解。在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于R的概率。我们可以利用平面几何知识得知，垂直于弦的直径平分这条弦。因此，题中的等可能参数是平行弦的中点，它等可能地分布在于平行弦垂直的直径上。样本空间所对应的区域G是一维空间（即直线）上的线段MN，而有利场合所对应的区域是长度不小于R的平行弦的中点KNN所在的区间。解法1：设EF与E1F1是长度等于R的两条弦，直径MN垂直于EF和E1F1，与他们分别相交于K和K1。依题设条件，样本空间所对应的区域是直径MN，有L(G)=MN=2R。注意到弦的长度与弦心距之间的关系比，则有利场合所对应的区域是KK1，有L(GA)=3R。以几何概率公式得P=L(GA)/L(G)=3R^2/(2R^2)=3/2。解法2：如图1-1所示，设园O的半径为R，EF为诸平行弦中的任意一条，直径MN垂直于弦EF，它们的交点为K，则点K就是弦EF的中点。设OK=x，则x∈[-R,R]，所以L(G)=2R。设事件A为“任意画的弦的长度不小于R”，则A的有利场合是2R^2-X^2≥R。解不等式，得x≤√3R=3R。所以L(GA)=2√3R^2。于是P(A)=L(GA)/L(G)=2√3R^2/(2R^2)=√3。在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率。我们可以将线段AB看作数轴上的一条线段，点M在数轴上随机取点。以线段AM为边作正方形，则正方形的面积为AM^2。根据题意，AM的长度为[0,12]之间的任意实数。因此，样本空间所对应的区域G是一维空间上的线段AB，而有利场合所对应的区域是AM^2∈[36,81]。由于AM的长度为[0,12]之间的任意实数，因此G的长度为12。有利场合所对应的面积区域是一个面积为81-36=45的正方形。因此，有利场合所对应的区域GA的长度为√45=3√5。根据几何概率公式，P(A)=L(GA)/L(G)=3√5/12。分析：本文主要介绍了几何概型中长度类型和面积类型的概率计算方法，并通过几个例子进行了说明。其中第一个例子是关于在一条线段上随机取点的概率计算，将正方形的面积问题转化为与边长的关系，第二个例子是关于乘客等车的概率计算，符合几何概型中的长度类型，第三个例子是关于集合的概率计算，采用几何概型中的概率公式。第四个例子是关于在长方形内随机取点的概率计算，符合几何概型中的面积类型。通过这些例子可以更好地理解几何概型中的概率计算方法。例1、如图，平面直角坐标系xoy中，单位圆O内接于正方形ABCD，以O为圆心，以1为半径作圆E，求随机点P落在圆E内的概率。解析：如图，圆E的半径为1，圆心为O，因此圆E的方程为x^2+y^2=1。正方形ABCD的边长为2，中心为O，因此正方形ABCD的顶点坐标为(±1,±1)。由于单位圆内接于正方形ABCD，因此单位圆的方程为x^2+y^2=1且满足|x|≤1,|y|≤1。因此，随机点P的坐标必须满足x^2+y^2≤1且|x|≤1,|y|≤1。这是一个在正方形ABCD内的圆形区域，如图所示。现在要求随机点P落在圆E内的概率。可以通过求面积之比来解决。首先，圆E的面积为πr^2=π，其中r=1为圆的半径。其次，正方形ABCD的面积为2^2=4。因此，圆E在正方形ABCD内的面积为π/4。因此，随机点P落在圆E内的概率为：P=P(P在圆E内)=圆E在正方形ABCD内的面积/正方形ABCD的面积=π/4÷4=π/16。因此，随机点P落在圆E内的概率为π/16。例2、如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环。从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm。运动员在70m外射箭。假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？解析：射中黄心的概率可以通过求面积之比来解决。首先，整个靶面的面积为πr^2=π×(122/2)^2=46662.44cm^2，其中r=122/2为靶面的半径。其次，黄心的面积为πr^2=π×(12.2/2)^2=11.78cm^2，其中r=12.2/2为黄心的半径。因此，射中黄心的概率为：P=P(射中黄心)=黄心的面积/整个靶面的面积=11.78/46662.44≈0.000252。因此，射中黄心的概率为约0.000252。例3、在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为多少？解析：如图，区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），而区域E表示单位圆及其内部。因此，随机点P必须满足|x|≤2,|y|≤2且x^2+y^2≤1。这是一个在正方形ABCD内的圆形区域，如图所示。现在要求随机点P落入区域E的概率。可以通过求面积之比来解决。首先，单位圆的面积为πr^2=π，其中r=1为圆的半径。其次，正方形ABCD的面积为4×4=16。因此，区域E在正方形ABCD内的面积为π。因此，随机点P落入区域E的概率为：P=P(P落入区域E)=区域E在正方形ABCD内的面积/正方形ABCD的面积=π/16。因此，随机点P落入区域E的概率为π/16。例4、在三角形ABC中任取一点P，证明：△ABPC与△ABC的面积之比大于n-1/n。解析：如图，设△ABPC与△ABC的面积之比为k，△ABC的高为h，△ABPC的高为h1，底边AB的长度为c，则有：k=S△ABPC/S△ABC=h1c/2h·c/2h=n-1/n。因此，要证明k>n-1/n，只需要证明h1>h即可。由于P点是任意取点，因此可以假设P点在BC边上，如图所示。在△ABC中，连接AP，如图所示。则有：h1=BP×sin∠BAP+CP×sin∠CAP。由于BP+CP=c，因此有：BP×sin∠BAP=CP×sin∠CAP。因此，有：h1=BP×sin∠BAP+BP×sin∠CAP=BP×(sin∠BAP+sin∠CAP)。由于∠BAP+∠CAP=∠BAC=180°，因此有：sin∠BAP+sin∠CAP=2sin(∠BAP+∠CAP)/2cos(∠BAP-∠CAP)/2=2sin∠BAC/2cos∠BAC/2=2h/c。因此，有：h1=BP×(sin∠BAP+sin∠CAP)=2BP×sin∠BAC/2=2h·sin∠BAC/2/c。由于sin∠BAC/2≤1，因此有：h1>2h/c=h·2/AB>n-1/n·h。因此，有：k=h1c/2h·c/2h>n-1/n。因此，得证：△ABPC与△ABC的面积之比大于n-1/n。过点P作EF//AB，交CD于H，则立场合所对应的平面区域为三角形CEF。因此，所求概率为P=S(三角形CEF)/S(三角形ABC)。注意到EF//AB，且三角形CEF与三角形ABC相似，且CH=h-h1=h-S(三角形CEF)/S(三角形ABC)。因此，P=S(三角形CEF)/S(三角形ABC)=h/(2h*n/2)=1/n。由此，原题得证。评注：本题的样本空间虽然与平面区域相对应，但因为三角形ABC与三角形ABP有公共底边AB，所以实际变化的量只有一个，即点P到AB的距离。对于较复杂的平面区域，常常需要根据题设选定两个变量，并根据各自的约束条件确定样本空间和有立场合的相应区域。例5、将长为L的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率。解：设M为“3段构成三角形”的事件，x、y分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L-x-y。样本空间Ω={(x,y)|0<x<L,0<y<L,x+y<L}。由题意，x、y、L-x-y要构成三角形，必须满足x+y>L-x-y，即x+y>L/2；y+(L-x-y)>x，即y<(L-x)/2；x+(L-x-y)>y，即x<(L-y)/2。因此，M={(x,y)|x+y>L/2,y<(L-x)/2,x<(L-y)/2}。如图1所示，可以看出所求概率为P(M)=M的面积/(Ω的面积)。M的面积为1/2×L×L/2=1/4×L^2，Ω的面积为L×L=L^2。因此，P(M)=1/4，即3段构成三角形的概率为1/4。例6、已知函数f(x)=-x^2+ax-b，若a、b都是从区间[0,4]任取的一个数，则f(1)>0成立的概率是多少？解析：f(1)=-1+a-b>0，即a-b>1。如图所示，a和b的取值范围都是[0,4]，因此a和b构成的平面区域为一个边长为4的正方形。在这个正方形中，a-b>1的部分如图所示。可以看出，这个部分的面积为9/16，而整个正方形的面积为16。因此，f(1)>0成立的概率为9/16。题目24816解析：根据题意，该方程有实根满足条件$-1\leqa\leq1$，$-1\leqb\leq1$，$a-4b\geq0$。作出平面区域如右图所示，阴影部分面积为1，总的事件对应面积为正方形的面积，即4。因此，概率为$1/4$。答案为B。题目3：已知$\Omega=\{(x,y)|x+y\leq6,x\geq0,y\geq0\}$，$A=\{(x,y)|x\leq4,y\geq0,x-2y\geq0\}$。若向区域$\Omega$上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为多少？解析：作出两集合表示的平面区域如图所示。容易得出$\Omega$所表示的平面区域为三角形AOB及其边界，A表示的区域为三角形OCD及其边界。容易求得D(4,2)恰为直线$x=4$，$x-2y=0$，$x+y=6$三线的交点。则可得$S_{\triangleAOB}=1/2\times6\times6=18$，$S_{\triangleOCD}=1/2\times4\times2=4$。因此，点P落在区域A的概率为$S_{\triangleOCD}/S_{\triangleAOB}=4/18=2/9$。答案为D。题目4：在区域$\{(x,y)|x-y+2\geq0,y\geq8\}$内任取一点P，则点P落在单位圆$x+y=1$内的概率为多少？解析：区域为$\triangleABC$内部（含边界），则概率为$S_{\text{半圆}P}/S_{\triangleABC}=1/2\times2^2/3^2=1/4$。答案为D。题目5：在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是多少？解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与$\triangleABC$相交出三个扇形（如图所示），当P落在阴影部分时符合要求。因此，概率为$3\times(1/6\times\pi/3)/2=1/6$。答案为$\pi/6$。题目6：在区间$[0,1]$上任意取两个实数$a$，$b$，则函数$f(x)=x^3+ax-b$在区间$[-1,1]$上有且仅有一个零点的概率为多少？解析：根据题意，$f(x)$在$x\in[-1,1]$上单调递增，又因为函数$f(x)=x^3+ax-b$在$[-1,1]$上有且仅有一个零点，即有$f(-1)\cdotf(1)<0$成立，即$(-a-b)(a-b)<0$，则$(a+b)(a-b)>0$，可化为$0\leqb\leq1$，$1/2-a/2\leqb\leq1/2+a/2$或$-1/2-a/2\leqb\leq-1/2+a/2$，$0\leqa\leq1$。因此，所求概率为$(1/2\cdot1/2+1/2\cdot1/2)/1=1/2$。根据线性规划知识，我们可以在平面直角坐标系aOb中画出这两个不等式组所表示的可行域。根据几何概型，我们可以知道函数f(x)＝x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a＝0，a＝1，b＝0，b＝1围成的正方形的面积。计算可得面积之比为。已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，其中a，b∈R。(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝没有实根的概率。解：(1)由题意可知，a，b的取值的情况有12种，即基本事件总数为12。设“方程f(x)＝有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝有两个不相等实根的充要条件为a＞b。当a＞b时，A包含的基本事件数为6，因此方程f(x)＝有两个不相等实根的概率为6/12=1/2。(2)由题意可知，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6。设“方程f(x)＝没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M＝{(a，b)|0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}，即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6－(1/2)×2×2=4。由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)＝没有实根的概率为4/6=2/3。例1、在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线OC，求使得AOC和BOC都不小于30°的概率？分析：此题关键是搞清过O作射线OC可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的。记事件A为“三条线段能够成一个三角形”，则根据条件可知，A发生的区域是在一个正方体内部的一个四面体。因此，可以用四面体体积与正方体体积的比值计算概率。设三条线段的长度分别为x、y、z，则样本空间为：0≤x≤a，0≤y≤a，0≤z≤a。根据三角形成立的条件，有y+z>x，z+x>y，x+y>z。将这些条件表示在空间直角坐标系中，得到如图2-3所示的四面体。设其底面为正方形，边长为a，则四面体的体积为1/3*底面积*高，即V=1/3*a^2*a/2=a^3/6。而正方体的体积为a^3。因此，事件A发生的概率为P(A)=V(四面体)/V(正方体)=a^3/6a^3=1/6。例3、在区间[0,1]上任取三个实数x,y,z，事件A={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<1,x≥0,y≥0,z≥0}。(1)构造出随机事件A对应的几何图形；(2)利用该图形求事件A的概率。解析：(1)事件A表示空间直角坐标系中以原点为球心，半径r=1的球的内部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如图所示。(2)由于x,y,z属于区间[0,1]，当x=y=z=1时，为正方体的一个顶点，事件A为球在正方体内的部分。因此，P(A)=球的体积/正方体的体积=4/3π/2^3=π/6。“会面”类型常见的形式有两人相约见面、轮船停靠泊位等，重点在于构建相遇的不等式组，并利用线性规划知识求解面积之比，从而解决问题。例如，两人约定在20:00到21:00之间相见，先到者需等待40分钟后方可离去。假设两人独立出发，20:00到21:00各时刻相见的可能性相等，求两人在约定时间内相见的概率。我们可以设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人在约定时间范围内相见，必须满足-1/3≤x-y≤1/3。将其转化为面积问题，利用几何概型求解。所有可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定时间范围内相见的所有时刻（x,y）的可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）来表示。因此，阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性大小，即所求的概率为1-(8/9)=1/9。在解决会面问题时，关键是将时间转化为平面图形的二维面积问题，将两个时间分别用x,y两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而转化为面积型几何概型问题。另外，与线性规划有关的几何概型也常见于实际问题中。例如，小明家的晚报在下午5:30~6:30之间随机送到，小明一家在下午6:00~7:00之间随机开始晚餐。求晚报在晚餐开始之前被送到的概率。我们可以将晚报送到和晚饭开始的时间分别设为x,y，将其所满足的条件写成集合的形式，转化为线性规划问题进行求解。所有可能结果可用图中正方形ABCD的面积表示，晚报在晚餐开始之前被送到的事件可用(x,y)5:30≤x≤6:30,6≤y≤7,x≤y表示，其概率即为所求。如果事件A表示晚报在晚餐开始之前被送到，那么A的结果为：A={(x,y)|0<x<1,0<y<1/2}，即图2中阴影部分区域。因此，A的面积为S(A)=1/2。正方形ABCD的面积为S(ABCD)=1，所以P(A)=S(A)/S(ABCD)=1/2。因此，晚报在晚餐开始之前被送到的概率为1/2。反思：在解决涉及两个随机变量相互关系的问题时，需要找到这两个随机变量并设为x和y。然后，用(x,y)表示每次试验结果，并用相应的集合分别表示全部结果Ω和事件A所包含的试验结果。一般来说，这两个集合都是几个二元一次不等式的交集。接下来，需要将上述集合所表示的平面区域作出，并求出集合Ω和A对应的区域的面积。最后，可以用几何概型公式求出概率。例1：在区间[-1,1]上任取两个数a和b，求二次方程x^2+ax+b=0的两根都是实根的概率。分析：可以用(a,b)表示试验结果。首先，需要求出所有可能结果的面积和方程有实根的结果的面积，然后利用几何概型来解答。解：用(a,b)表示每次试验结果，则所有可能结果为：Ω={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1}，即为图3中正方形ABCD的面积。由方程有实根可得，Δ=a^2-4b≥0。因此，方程有实根的可能结果为：A={(a,b)|a^2-4b≥0,-1≤a≤1,-1≤b≤1}，即图4中阴影部分区域。阴影部分面积可以用定积分来计算，如图5所示。因此，S(A)=∫[-1,1][a^2/4+1/2]da=7/6。正方形ABCD的面积为S(ABCD)=4，所以P(A)=S(A)/S(ABCD)=7/24。因此，二次方程x^2+ax+b=0的两根都是实根的概率为7/24。例1：如图5，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，如果n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为S。假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目。（I）求X的均值EX。解：X是一个二项分布，其中n=10000，p=S(M)/S(ABCD)=1/2，所以X~B(10000,1/2)。因此，X的均值为EX=np=10000×1/2=5000。求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率是多少？解析：本题是一个几何概型的逆向问题，需要综合运用n次独立重复实验和随机模拟方法来求解。该题设计新颖，通过随机模拟来求不规则图形的面积。首先，每个点落入M中的概率均为P=X~B(10000,1/4)。根据题意，M的面积为S/4，其中S为四边形ABCD的面积。根据题意可得EX=2500。接着，根据题目要求，需要求出P(-0.03<(X/2500)-1<0.03)的概率，即P(2425<X<2575)。通过查表可得P(2425<X<2575)≈0.9147。因此，用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率约为0.9147。分析：将平面上的平行线段看作一系列长度为1.5cm和10cm的线段，可以用几何概型求解。设圆心到最近的平行线的距离为r，则圆不与平行线相交的条件为r>=2.5cm，即圆心在相邻两条平行线之间的带状区域内，其宽为7cm，如图所示：解：设A为事件“圆不与平行线相交”，则A发生的条件是圆心落在带状区域内，其测度为7cm。圆心落在整个平面上的任意一点的概率为1，因此事件A发生的概率为7/（1.5+10）=0.54。所以圆不与平行线相交的概率为0.54。地行驶。两人的速度相同，且一直以直线相向而行，问他们何时可以开始通话？解析：建立坐标系，设张三的位置为(30,0)，李四的位置为(0,40)，两人的相对速度为(1,1)。设他们相遇的时间为t，则李四走过的距离为40-t，张三走过的距离为30