弹性力学极坐标求解

弹性力学极坐标求解第1页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202324.1极坐标中的平衡微分方程1.建立模型

在区域A的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体，建立的坐标系如图4-1所示。图4-1第四章平面问题的极坐标求解第2页，课件共79页，创作于2023年2月2.正负符号的规定

（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正；而φ以x轴正向到y轴正向的转向为正；（2）应力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负；（3）微分体上的体力为和，表示于微分体的中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正，反之为负。8/14/20233第四章平面问题的极坐标求解第3页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解3.列平衡方程求解

由可得由可得8/14/20234第4页，课件共79页，创作于2023年2月

化简以上两式，由于微小，可以把另外在上式中，分别出现了一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简可得：8/14/20235（4-1）

第四章平面问题的极坐标求解第5页，课件共79页，创作于2023年2月4.直角坐标与极坐标比较

1.在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似；而项是由于正ρ面的面积大于负ρ面而产生的，是由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投影而引起的。2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相似；而是由于正ρ面面积大于负ρ面而产生的；是由于正负φ面上的切应力在通过微分体中心的φ方向有投影而引起的。由于我们仍将这两个切应力只作为一个未知函数处理。68/14/2023第四章平面问题的极坐标求解第6页，课件共79页，创作于2023年2月4.2极坐标中的几何方程及物理方程1.几何方程的推导（1）建立坐标系

在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段PA=dρ和PB=ρdφ，图4-2所示。

8/14/20237图4-2第四章平面问题的极坐标求解第7页，课件共79页，创作于2023年2月

推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位移的情形；第二步再考虑只有环向位移的情形。

（2）微分体只发生径向位移

设变形后，P点的位移分量为则A点相对于P点，要计入由于坐标增量而引起的增量，位移分量应为B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增量，位移分量应为，如图4-2（a）所示。8/14/20238第四章平面问题的极坐标求解第8页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解又由于图4-2（a）中的β角很小，以，于是。由此，我们得到：PA线段的线应变，转角α=0；PB线段的线应变，转角：注：是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变。8/14/20239第9页，课件共79页，创作于2023年2月（3）微分体只发生环向位移

微分线段变形后成为，。变形后P点的环向位移，由于坐标的增量的位移分别为和见图4-2（b）。同样考虑PA的转角α是微小的，我们可以得出：PA的线应变：转角：8/14/202310第四章平面问题的极坐标求解第10页，课件共79页，创作于2023年2月PB的线应变：转角：

需要说明的是：

是由于环向位移而引起的环向线段的转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的环向线切线垂直于，这两切线的转角应等于圆心角。并且，这个转角使原直角APB增大，按切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。8/14/202311

第四章平面问题的极坐标求解第11页，课件共79页，创作于2023年2月（4）结论

当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题中；可以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：8/14/202312（4-2）

与直角坐标中的几何方程相比，除了上述指出的两项是极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。第四章平面问题的极坐标求解第12页，课件共79页，创作于2023年2月2.极坐标系中的物理方程

在直角坐标系中，物理方程是代数方程，且其中x与y坐标线为正交。而在极坐标系中ρ与φ坐标线也为正交，因此，极坐标中的平面应力问题的物理方程可以相似地得出：8/14/202313（4-3）

第四章平面问题的极坐标求解第13页，课件共79页，创作于2023年2月3.说明

（1）对于平面应变问题，同样只需将式（4-3）中的E，μ换为：，，即可得出平面应变问题的物理方程。（2）极坐标中的边界条件，由于边界面通常均为坐标面，即ρ面（ρ=常数）或φ面（φ=常数），使边界的表示十分简单，所以边界条件也十分简单。例如，给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值，可以分别与建立等式。在应力边界条件中，通常给出径向和切向的面力，也可以直接与对应的应力分量建立等式。8/14/202314第四章平面问题的极坐标求解第14页，课件共79页，创作于2023年2月4.3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标系和极坐标系之间的变换关系（1）坐标变量的变换

反之（2）函数的变换只需将坐标变换式（a）或式（b）代入函数即可。8/14/202315（a）（b）

第四章平面问题的极坐标求解第15页，课件共79页，创作于2023年2月（3）位移（矢量）的变换8/14/202316设位移矢量为d，它在（x，y）和（ρ，φ）坐标系中的分量，如图4-3所示。

分别表示为（u，v）和

图4-3第四章平面问题的极坐标求解第16页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解则位移分量的变换关系为：反之：

（c）

（d）

8/14/202317第17页，课件共79页，创作于2023年2月（4）导数的变换8/14/202318设有函数，可将

看成是ρ，φ的函数，即；而ρ，φ又是x，y的函数，如式（b）所示。因此

可以认为是通过中间变量（ρ，φ）的关于（x，y）的复合函数。按照复合函数的求导公式，有：第四章平面问题的极坐标求解第18页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解其中ρ，φ对x，y的导数，可以由式（b）得出：整理，即得一阶导数的变换公式：（e）

（f）

8/14/202319第19页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202320二阶导数的变换可以从一阶导数得出，因为：第四章平面问题的极坐标求解第20页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202321由图4-1可见，如果把x轴和y轴分别转到

（5）应力分量用应力函数表示

的方向，使

该微分体的φ坐标成为零，则分别成为

于是当不计体力时，即可由式（a）至（c）得出应力分量用应力函数表示：（4-5）第四章平面问题的极坐标求解第21页，课件共79页，创作于2023年2月（6）极坐标中的相容方程

8/14/202322将教科书4.3中的式（a），（b）式相加，就可以得出拉普拉斯算子的变换式：由此，极坐标中的相容方程仍为：

（4-6）其展开式：第四章平面问题的极坐标求解第22页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202323当不计体力时，在极坐标系中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数，它必须满足：1）在区域内的相容方程（4-6）；2）边界上的应力边界条件；3）如为多连体，还须满足位移的单值条件。求解的方法，仍然可以用逆解法和半逆解法。求得应力函数后，就可以由式（4-5）求出应力分量。第四章平面问题的极坐标求解第23页，课件共79页，创作于2023年2月4.4应力分量的坐标变换式1.直角坐标应力分量变换极坐标应力分量

在区域内取出一个z向为单位厚度、包括x面，y面和ρ面的三角形微分体，如图4-4所示。8/14/202324，

图4-4第四章平面问题的极坐标求解第24页，课件共79页，创作于2023年2月

根据图4-4中三角板A的受力情况和各边的几何关系，如设bc=ds，ab=dscosφ，ac=dssinφ。列平衡方程可得用，化简可得：同理，列平衡方程，化简可求得8/14/202325第四章平面问题的极坐标求解第25页，课件共79页，创作于2023年2月

类似地由三角板B同样可以求出。综上可得由直角坐标向极坐标转换的关系式：（2）请自己推出由极坐标向直角坐标转换的关系式：（4-7）

（4-8）

8/14/202326第四章平面问题的极坐标求解第26页，课件共79页，创作于2023年2月4.5轴对称应力和相应的位移1.概念轴对称，即绕一轴对称，是指通过此轴的任何面均为对称面。2.轴对称物理量的特点

（1）方向必须对称，因此，方向不对称的物理量不应存在。因此：（2）数值必须相同，因此，它只能是ρ的函数，沿φ向不变。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少一维，即：8/14/202327第四章平面问题的极坐标求解第27页，课件共79页，创作于2023年2月3.轴对称应力表达式根据轴对称物理量的特点，可得到轴对称应力的表达式：4.轴对称的相容方程根据轴对称物理量的特点，可得到轴对称相容方程的表达式：8/14/202328（4-9）

第四章平面问题的极坐标求解第28页，课件共79页，创作于2023年2月5.轴对称应力问题中应力函数的解

根据轴对称的相容方程，即：成为四阶常微分方程，而四阶常微分方程总共只有四个解：

这就是轴对称应力问题中应力函数的通解。因而，我们可以得到个参数的表达式：6.轴对称问题的应力通解

8/14/202329（4-10）

（4-11）

第四章平面问题的极坐标求解第29页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023307.轴对称问题形变分量的通解

从上式中可看出：得到的也是轴对称的。

第四章平面问题的极坐标求解第30页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解8.轴对称问题位移分量的通解由形变通过几何方程求位移，通过积分得：（4-12）

8/14/202331第31页，课件共79页，创作于2023年2月9.上述推导需说明几点（1）在轴对称应力条件下，平面问题的自变量只有一个ρ，相容方程是常微分方程，其解答是完全确定的；（2）上面得出的、应力、形变和位移，都是轴对称应力条件下的通解，适用于任何轴对称应力问题；（3）得出的位移分量包含了非轴对称的项，但可以用来处理各种位移边界条件；（4）解答中，只有若干系数是待定的，它们可以由给定的应力或位移边界条件，以及多连体中的位移单值条件来确定。8/14/202332第四章平面问题的极坐标求解第32页，课件共79页，创作于2023年2月4.6圆环或圆筒受均布压力8/14/2023331.模型圆环或圆筒受均布压力的受力情况，属于轴对称问题，如图4-5a所示。图4-5第四章平面问题的极坐标求解第33页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202334根据轴对称解答，只需根据给定的应力或位移边界条件和多连体中的位移单值条件，来确定解答中的若干系数即可。2.圆环或圆筒受均布压力时的解题步骤（1）应力边界条件

在的边界面上，分别有应力边界条件：

（a）

（b）

第四章平面问题的极坐标求解第34页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202335在平面问题中每边应有两个边界条件，由于轴对称，所以式（b）自然满足。将式（a）代入轴对称应力解答式（4-11）得：

（c）

从上式可以看出，边界条件都已满足，但2个方程不能解决3个未知数A,B,C。因为这里讨论的是多连体问题，所以要考虑位移单值条件。第四章平面问题的极坐标求解第35页，课件共79页，创作于2023年2月（2）多连体中的位移单值条件单值条件实际上是物体连续性条件的表现形式。即在连续体上，对于同一点的应力、形变和位移只可能有一个值，即应为单值。在按位移求解时，可不需要效正单值条件；但按应力求解时，对于多连体须要校核位移的单值条件。

第四章平面问题的极坐标求解8/14/202336第36页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解圆环和圆筒是二连体，而位移解答式（4-12）中的是一个多值函数。因此，由单值条件得出，必须令系数B=0。将B=0代入式（c）可解得：

8/14/202337第37页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202338将解得的A、B代入式（4-11），整理后即得圆筒受均布压力的拉梅解答：

（4-13）

（3）圆环或圆筒受均布压力的应力解答第四章平面问题的极坐标求解第38页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023393.拉梅解答的讨论

（1）如果圆环、圆筒只有内压力q1作用，则可化简为：显然，总是压应力，总为拉应力，应力分布大致如

图4-5b所示。

第四章平面问题的极坐标求解第39页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202340（2）当圆环或圆筒的外半径

，就可得到具有圆孔的无

限大薄板或具有圆形孔道的无限大弹性体的应力解答可见这时的应力和

成正比，在ρ远大于r处，应力是很小的，可以不计。这证明了圣维南原理的正确性。

第四章平面问题的极坐标求解第40页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202341（3）如果圆环、圆筒只有外压力q2作用（4-14）

显然，

都是压应力。应力分布大致如

图4-5c所示。

第四章平面问题的极坐标求解第41页，课件共79页，创作于2023年2月4.7压力隧洞

1.模型

压力隧洞可以看成是两个圆筒的连接，即一个是内外半径为r和R的圆筒，另一个是内外半径为R和∞的弹性体，两者在ρ=R处相接触。本题属于平面应变问题。设圆筒与无限大弹性体的弹性常数分别为和。显然，从材料性质来看，不符合均匀性假定。因此，这类问题不能用一个解答来覆盖，必须考虑分别用轴对称应力解答（4-11）和相应的位移解答（4-12）来表示。根据单值条件可得，B=0，。8/14/202342第四章平面问题的极坐标求解第42页，课件共79页，创作于2023年2月2.求解步骤（1）圆筒的应力表达式8/14/202343（a）

（2）无限大弹性体的应力表达式（b）

第四章平面问题的极坐标求解第43页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解（3）边界上的接触条件

根据圣维南原理，在无限远处应力（c）

（d）

8/14/202344第44页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202345（4）单值位移问题考虑平面应变位移问题，而且B=0，应用式（4-12），整理后可得：

（e）

在接触面上有：（f）

第四章平面问题的极坐标求解第45页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202346由方程（a）～（f）且定

可得圆筒及无限

大弹性体的应力表达式：

（4-16）

第四章平面问题的极坐标求解第46页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202347所谓接触问题，即两个弹性体在边界上互相接触的问题。在本题中，除了在两个解答中分别考虑各自的边界条件和位移单值条件外，在ρ=R的边界上，还应考虑四个接触条件，即变形后两个弹性体保持连续，有：

3.注

由于轴对称，切应力和环向位移（略去刚体位移）均为零，这两个条件是自然满足的。第四章平面问题的极坐标求解第47页，课件共79页，创作于2023年2月4.8圆孔的孔口应力集中

1.“小孔口问题”应符合两个条件

（1）孔口尺寸要小

即孔口尺寸远小于弹性体的尺寸，使孔口的存在而引起的应力扰动只局限于一个小范围内；

（2）孔距边界要大

孔边距弹性体边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸），这使孔口与边界之间不发生相互干扰。在小孔口问题中，孔口附近将发生应力集中现象。8/14/202348第四章平面问题的极坐标求解第48页，课件共79页，创作于2023年2月2.小孔口应力集中现象的两个特点

（1）孔附近的应力高度集中性

孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。

（2）应力集中的局部性

由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内，在此范围之外，可以忽略不计。8/14/202349第四章平面问题的极坐标求解第49页，课件共79页，创作于2023年2月3.圆孔口远场为双向受均布拉力q

（1）受力情况

距圆孔较远处的应力场为双向均布拉力q，如图4-8a。8/14/202350图4-8第四章平面问题的极坐标求解第50页，课件共79页，创作于2023年2月（2）计算模型

本问题即为ρ=R（R>>r）的外圆周上受均匀拉力的轴对称问题。引用轴对称通解式（4-14），且令-q2=q，得到：8/14/202351第四章平面问题的极坐标求解第51页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202352由于R远大于r，则可取

，从而得到：

（4-17）

一般孔口问题中的最大、最小应力发生在孔边上，即：本题的最大孔边应力是第四章平面问题的极坐标求解第52页，课件共79页，创作于2023年2月4.圆孔口远场一向为均布拉力q另一向为压力q（1）受力情况距圆孔较远处的应力场为均布拉力和压力±q，如图4-8b所示。（2）边界条件

在点A处（即大边界上），其应力情况与无孔时相同，也就是所以，在ρ=R圆周上，利用坐标变换式（4-7），可得：8/14/202353（a）

第四章平面问题的极坐标求解第53页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202354在孔边的边界条件是：（b）

从边界条件来看，此问题是个非轴对称问题。

（3）求解方法及过程1）求解这类问题，可用半逆解法求解，现假设：（c）

第四章平面问题的极坐标求解第54页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023552）将式（c）代入相容方程（4-6），可得：于是求解常微分方程，可得：得应力函数：第四章平面问题的极坐标求解第55页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023563）求应力分量表达式从而由式（4-5）得应力分量：（d）

4）将式（d）代入边界条件（a）（b），求解A,B,C,D,然

后命

，得：

第四章平面问题的极坐标求解第56页，课件共79页，创作于2023年2月5）结论将上述各值代入式（d），得应力分量表达式：6）讨论孔边的最大、最小应力为：（4-18）

8/14/202357第四章平面问题的极坐标求解第57页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023585.圆孔口远场双向均为拉力作用，但大小不同（1）计算模型矩形板（薄板或长柱体）在左右两边受有均布拉力q1，在上下两边受有均布拉力q2，如图4-9a所示。图4-9第四章平面问题的极坐标求解第58页，课件共79页，创作于2023年2月（2）计算处理

要解决这一类问题，可将荷载分解为如图4-9b和4-9c所示的两部分，对于第一部分荷载可用解答（4-17）；对于第二部分荷载可应用解答（4-18）。然后将两部分解答进行叠加，即可得到原荷载作用下的应力分量的解答。8/14/202359第四章平面问题的极坐标求解第59页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023606.圆孔远处的应力场只有x向的均布拉力q

（1）问题处理应用上述两个解答和叠加原理，得出基尔斯的解答。（4-19）

第四章平面问题的极坐标求解第60页，课件共79页，创作于2023年2月（2）孔口应力分析孔口应力分布如图4-10所示图4-10第四章平面问题的极坐标求解8/14/202361第61页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202362（3）讨论我们来分析在远处x向的均匀拉力q作用下，圆孔附近的应力状态。1）在孔边ρ=r，环向正应力是：当时，，此点应力变号，成为压应力；当时，，即此点拉应力为远处均布拉力的3倍。

第四章平面问题的极坐标求解第62页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023632）在x轴上

和y轴上

，可以看出，在距圆孔边为1.5倍孔口尺寸处，由于圆孔引起的应力扰动已小于的5%数值。各种形状的小孔口问题的应力集中现象，也均具有相似的局部性特征，即应力扰动的区域主要局限于距孔边1.5倍的孔口尺寸范围内。第四章平面问题的极坐标求解第63页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/2023644.9半平面体在边界上受集中力

1.半平面体受集中力F的作用的解题步骤如图4-11所示，本问题可采用半逆解法来求解。图4-11第四章平面问题的极坐标求解第64页，课件共79页，创作于2023年2月

（1）设定应函数形式

1）由量纲分析2）从而推测出因此，假设

（2）代入相容方程将代入相容方程（4-6），得：8/14/202365（a）

第四章平面问题的极坐标求解第65页，课件共79页，创作于2023年2月8/14/202366（3）解微分方程解出，代入应力函数中，并略去与应力无关的一次式，得：（4-20）

由

求应力，代入式（4-5）得：

（b）

（4）求应力分量表达式第四章平面问题的极坐标求解第66页，课件共79页，创作于2023年2月（5）考察边界条件

1）不包含原点O，则在，，显然这条件是满足的。2）在原点O附近，我们可以看成是一段小边界。在此小边界附近，有面力的作用，而面力可以向原点O简化为作用于O点的主矢量F和主矩为O的情形。将小边界上应用圣维南原理来进行处理。圣维南原理的应用可以有两种方式。8/14/202367第四章平面问题的极坐标求解第67页，课件共79页，创作于2023年2月

a.在同一小边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于对应面力的主矢量和主矩（数值相等，方向一致），共有三个条件。b.取出包含小边界的一部分脱离体，并考虑此脱离体的平衡条件，即，同样也得出三个条件。将应力分量代入，可得：8/14/202368第四章平面问题的极坐标求解第68页，课件共79页，创作于2023年2月第四章平面问题的极坐标求解（6）结论

最后，求得应力分量为2.对上述解答的讨论与分析

（1）当F垂直于边界时，即时：（4-21）（4-22）

8/14/202369第69页，课件共79页，创作于2023年2