弹性力学第四章

弹性力学第四章第1页，课件共23页，创作于2023年2月

根据弹性理论的小变形假定，上述一般表达式可以用泰勒级数展开，并略去二阶以上（包括二阶）小量，例如第一式展开，得到

这里的等等表示函数对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值。

由于无初应力，即。所以，应力应变最一般形式在小变形情况下可简化为第2页，课件共23页，创作于2023年2月

上述关系是胡克（Hooke）在复杂应力条件下的推广，因此被称为广义胡克定律。式中的系数称为弹性常数，一共有36个。如果物体是由非均匀材料组成的，这时，各处就有不同的弹性效应。因此，一般来说，弹性常数是坐标的函数。但若物体是有均匀材料组成的，则对于物体内各点来说，承受同样的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点有相同的应变，必承受相同的应力。这一点反映在广义胡克定律中，是常数。第3页，课件共23页，创作于2023年2月§4.3各向异性弹性体（一）极端各向异性弹性体格林公式：将格林公式中代入广义胡克定律表达式的第二式，有第4页，课件共23页，创作于2023年2月

上式对求偏导数，有（a）同样，将格林公式中代入广义胡克定律表达式的第五式，有上式对求偏导数，有（b）比较（a）式与（b）式，有同样，有这样就证明了，对于极端的各向异性体，只有21个独立的弹性常数。第5页，课件共23页，创作于2023年2月

如果物体内的每一点都存在这样一个平面，和该面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。如果设平面为弹性对称面，于是做下图所示的坐标变换后，应力和应变的关系应保持不变。（二）具有一个弹性对称面的各向异性弹性体

新老坐标间的关系第6页，课件共23页，创作于2023年2月转轴时应力分量与老坐标应力分量的关系是：转轴时应变分量与老坐标应力分量的关系是：第7页，课件共23页，创作于2023年2月转轴时应变分量和应力分量的变换公式代入，有则新的本构方程为：第8页，课件共23页，创作于2023年2月要使上式与原胡克公式一样，必须：

则原本构方程变为：显然，弹性常数从21个减少到13个。第9页，课件共23页，创作于2023年2月（三）正交各向异性弹性体假定、平面为弹性体的对称面第10页，课件共23页，创作于2023年2月代入转轴时应力分量和应变分量的关系式，可得代入广义胡克定律的表达式，有第11页，课件共23页，创作于2023年2月

要与坐标转动前的一致，则有那么，将弹性对称面、得到的弹性常数合起来，就得到显然，此时的弹性常数只有9个。这种弹性体称为正交各性弹性体。第12页，课件共23页，创作于2023年2月(四)横观各向同性弹性体

每一点都有一个各向同性平面，即在这个平面内，沿各个方向都具有相同的弹性。这种弹性体称为横观各向同性弹性体。假定某弹性体的在平面上各向同性。首先我们考察一个比较特色的转轴，即让坐标轴饶轴转动900，则新老坐标之间的关系是：第13页，课件共23页，创作于2023年2月同样，代入坐标转轴后应力分量与应变分量的公式，有则新坐标下的胡克定律为：对比上边两式，则有对比以前第14页，课件共23页，创作于2023年2月就得到此时，弹性常数为6个。第15页，课件共23页，创作于2023年2月

考察更一般的情况，对于在平面为各向同性面，则整个坐标系饶轴不论转动角度为多大，其应力应变关系不变。第16页，课件共23页，创作于2023年2月代入转轴后应变分量与应力分量的公式，有经过上述变换后，胡克定律的第六式仍成立，第17页，课件共23页，创作于2023年2月所以，对于横观各向同性弹性体来说，其弹性常数为5个。第18页，课件共23页，创作于2023年2月§4.4

各向同性弹性体

各向同性弹性体就是沿物体的各个方向，其弹性性质相同。在推导横观各向同性弹性体弹性常数的关系时，我们假定平面上的各点各向同性，物体弹性只随值变化。进一步，如果弹性体的性质也不随轴变化，那么，这个物体就满足各向同性的条件了。所以，我们将坐标再做如下图变化，讨论各弹性常数间的关系就可以了。第19页，课件共23页，创作于2023年2月坐标变换后，各应变分量与应力分量间的关系就变为：带入横观各向同性弹性体的胡克定律，有要是这两个式子一样，则有

第20页，课件共23页，创作于2023年2月那么,各向同性胡克定律为:如果令第21页，课件共23页，创作于2023年2月第22页，课件共23页，创作于202