朱慈勉结构力学-静定结构-三铰拱-桁架课件

第4章3-3三铰拱第4章3-3三铰拱

一、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构，拱式结构也常称为推力结构。二、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。（2）用料省、自重轻、跨度大。（3）可用抗压性能强的砖石材料。（4）构造复杂，施工费用高。第4章3-3三铰拱一、定义：二、特点：第4章3-3三铰拱三、拱的种类：第4章四、拱各部分的名称：两铰拱

无铰拱

三铰拱带拉杆的三铰拱带吊杆的三铰拱拉杆

吊杆

花篮螺丝三、拱的种类：第4章四、拱各部分的名称：两铰拱无铰拱三铰拱五、拱与曲梁的区别第4章3-3-1三铰拱的内力计算一、拱的内力计算原理仍然是截面法。二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。

三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。五、拱与曲梁的区别第4章3-3-1三铰拱的内力计算一、拱的内3-3-1三铰拱的内力计算相当梁(推力计算公式)⑴在给定荷载作用下，三铰拱的支座反力仅与三个铰的位置有关，而与拱轴的形状无关。⑵在竖向荷载作用下，三铰平拱的支座竖向反力与相应简支梁反力相同，而水平推力与拱高成反比。拱的高跨比(矢跨比)

愈大则推力愈小；反之，则推力愈大。3-3-1三铰拱的内力计算相当梁(推力计算公式)⑴相当梁三铰拱的内力计算：注：作拱结构的内力图时，为方便起见，可以取拱的水平投影线为基线进行绘制。相当梁三铰拱的内力计算：注：作拱结构的内力图时，为方便起例3-6绘制图示三铰拱的内力图。拱轴线方程：解：求支座反力。①求截面2的内力：例3-6绘制图示三铰拱的内力图。拱轴线方程：解：求支座例3-6绘制图示三铰拱的内力图。拱轴线方程：解：求支座反力。②求截面6的内力：例3-6绘制图示三铰拱的内力图。拱轴线方程：解：求支座例3-6绘制图示三铰拱的内力图。拱轴线方程：解：求支座反力。绘制内力图：例3-6绘制图示三铰拱的内力图。拱轴线方程：解：求支座3-3-2三铰拱的压力线1、压力线在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量MK、FQK、FNK。这三个内力分量可用它的合力FR代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。3-3-2三铰拱的压力线1、压力线3-3-2三铰拱的压力线

压力线的概念在砖石和混凝土拱的设计中有重要意义。由于这些材料的抗拉强度较抗压强度低得多，通常要求截面上不出现拉应力。因此，压力线不应超出截面的核心区。若拱的截面为矩形，由材料力学算得核心区高度为截面高度的1/3,故压力线不应超出截面三等分的中段范围。

借助于压力线的概念，可以用图解的方法求出拱任一截面上的内力。3-3-2三铰拱的压力线压力线的概念在砖石

它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令

在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比例。从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。对三铰拱而言，在竖向荷载作用下，任意截面上弯矩计算式为：它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一例3-7设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。yxxqABqfl/2l/2ABC[解]由式先列出简支梁的弯矩方程拱的推力为：所以拱的合理轴线方程为：

注意*合理轴线对应的是一组固定荷载（M0与荷载有关）；*合理轴线是一组具有不同高跨比的抛物线(拱高f未定)。例3-7设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一状态只可能对应一种确定不变化的荷载（恒载或静力荷载）才做得到。实际设计中，合理拱轴是针对主要荷载，并使在各类荷载的不利组合下拱的弯矩最小。纯受压状态的合力拱轴是一种理想状态，这一状态只可能对应一种确例3-8求图示三铰拱的合理拱轴线。填土的容重为：γ。竖向分布荷载：解：本例y轴向下，所以：即：解得：确定常数：最后得合理拱轴线：例3-8求图示三铰拱的合理拱轴线。填土的容重为：γ。竖例3-9试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线方向均布压力作用下的合理拱轴线。证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用于圆弧上的径向均布荷载q可以用两个垂直方向上等值的均布荷载等效替代。水平分力：竖向分力：恰好等于沿竖向和水平方向的两种均布荷载q作用于微段时产生的竖向分力和水平分力。例3-9试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线证：可先考虑半圆形三例3-9试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线方向均布压力作用下的合理拱轴线。证：可先考虑半圆形三铰拱的情况。作用于圆弧上的径向均布荷载q可以用两个垂直方向上等值的均布荷载等效替代。（说明圆弧线是合理拱轴线）例3-9试证圆弧线是三铰拱拱轴线法线证：可先考虑半圆形三§3-4静定平面桁架民用房屋屋架工业房屋屋架起重机塔架铁路的桁桥§3-4静定平面桁架民用房屋屋架工业房屋屋架起重机塔理想桁架的三项假设：⑴各杆在两端用理想铰（光滑而无摩擦）相互联结。⑵各杆的轴线均为直线，并通过铰的几何中心。⑶荷载和支座反力均作用在结点上。静定平面桁架的分类(按几何构造特征划分)：⑴简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体构成的桁架。⑵联合桁架：由几个简单桁架，按照几何不变体系的基本组成规则联成的桁架。理想桁架的三项假设：⑴各杆在两端用理想铰（光滑而无摩擦）⑶复杂桁架：不是按上述两种方式组成的其他桁架。按桁架外形划分：平行弦桁架折弦桁架三角形桁架梯形桁架⑶复杂桁架：不是按上述两种方式组成的其他桁架。按桁架外形3-4-1结点法由平衡条件可求得：3-4-1结点法由平衡条件可求得：结点的几种特殊情况：⑴两杆结点上无外力作用时，则两杆均为零杆。⑵两杆在一直线上的三杆结点上无外力作用时，则侧杆为零杆，而在同一直线上的两杆的轴力必相等，并且其轴力的性质（指受拉或受压）相同。⑶直线交叉形四杆结点上无外力作用时，则在同一直线上的两杆的轴力相等，且性质相同。⑷侧杆倾角相等的K形结点上无外力作用时，则两侧杆的轴力相等，但性质相反。结点的几种特殊情况：⑴两杆结点上无外力作用时，则两杆均为结点9符合情况(a),所以：结点5符合情况(b),所以：结点2、6符合情况(c),所以：结点9符合情况(a),所以：结点5符合情况(b),所以结点9符合情况(a),所以：结点5符合情况(b),所以：结点2、6符合情况(c),所以：撤除零杆97、98后，桁架属于对称受力状态，这就要求杆43与47的轴力大小相等、性质相同。但因杆45是零杆，而结点4为K形结点，它要求两斜杆的轴力性质相反。由于上述两种结论是茅盾的，因而可以判定：结点9符合情况(a),所以：结点5符合情况(b),所以如果结点4上也作用有竖向荷载，则可以利用两斜杆内力相等的特点，由结点4的平衡条件：求出两杆的轴力：如果将作用于结点6上的荷载改为竖直向上，且大小不变。如果结点4上也作用有竖向荷求出两杆的轴力：如果将作用于结如果结点4上也作用有竖向荷载，则可以利用两斜杆内力相等的特点，由结点4的平衡条件：求出两杆的轴力：如果将作用于结点6上的荷载改为竖直向上，且大小不变。则桁架处于反对称的受力状态，这时应有：结合结点平衡的特殊情况(2),可以判定：如果结点4上也作用有竖向荷求出两杆的轴力：如果将作用于结例3-10求图示桁架各杆的轴力。解：⑴求支座反力。⑵分解为对称和反对称两种情况。对称情况反对称情况例3-10求图示桁架各杆的轴力。解：⑴求支座反力。⑵分对称情况反对称情况对称情况下：①由铰B知：②取结点D：③取结点A：④取结点G：对称情况反对称情况对称情况下：①由铰B知：②取结点D反对称情况下：对称情况反对称情况桁架内力反对称。①由结点G知：②由结点E知：③取结点D：④取结点A：反对称情况下：对称情况反对称情况桁架内力反对称。①由对称情况反对称情况将对称和反对称两种情况下的杆件轴力进行叠加，即得原桁架杆件的轴力。对称情况反对称情况将对称和反对称两种情况下的杆件轴力3-4-2截面法应注意：⑴选择恰当的截面和适宜的平衡方程，尽量避免方程的联立求解。⑵利用刚体力学中力可沿其作用线移动的特点，按照解题需要可将杆件的未知轴力移至恰当位置进行分解，以简化计算。3-4-2截面法应注意：⑴选择恰当的截面和适宜的平衡例3-11求图示桁架中a、b和c三杆的内力。解：⑴求支座反力。⑵取截面Ⅰ-Ⅰ

左边。例3-11求图示桁架中a、b和c三杆的内力。解：⑴求支座反例3-11求图示桁架中a、b和c三杆的内力。解：⑴求支座反力。⑵取截面Ⅰ-Ⅰ

左边。⑶取截面Ⅱ-Ⅱ左边。得：例3-11求图示桁架中a、b和c三杆的内力。解：⑴求支座反当所截各杆件中的未知力数目超过3个时：例如：求图示桁架AB杆的内力。当所截各杆件中的未知力数目超过3个时：例如：求图示桁架AB例如：求图示桁架杆a

的内力。例如：求图示桁架杆a的内力。截面法中的特殊情况当所作截面截断三根以上的杆件时：当所作截面截断三根以上的杆件时：如除了杆1

外，其余各杆均互相平，则由投影方程可求出杆

1轴力。如除了杆1外，其余各杆均交于一点O则对O点列矩方程可求出杆1轴力。11N1O同一结点的所有内里为未知的杆中，除一杆外，其余各杆均共线，则该杆为该结点的单杆截面法中的特殊情况当所作截面截断三根以上的杆件时：当所作截试指出零杆意义：简化计算FPFP例题试指出零杆意义：简化计算FPFP例题问题：能否去掉零杆?FP试指出零杆例题1234567891011ABCDABC问题：能否去掉零杆?FP试指出零杆例题12345678910关于零杆的判断

桁架中的零杆虽然不受力，但却是保持结构几何不变所必需的。因为桁架中的载荷往往是变化的。在一种载荷工况下的零杆，在另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了它，就不能保证桁架的几何不变性。

分析桁架内力时，如首先确定其中的零杆，这对后续分析往往有利。关于零杆的判断P1P对称性的利用一、对称荷载作用下内力呈对称分布。对称性要求：N1=N2由D点的竖向平衡要求N1=－N2所以N1=N2=0对称轴上的K型结点无外力作用时，其两斜杆轴力为零。NN1杆1受力反对称=0=0与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零12PPD1PP/2P/2（注意：该特性仅用于桁架结点）二、反对称荷载作用下内力呈反对称分布。与对称轴重合的杆轴力为零。分解为对称反对称剩余部分为隔离体P1P对称性的利用一、对称荷载作用下内力呈对称分布。对称性要3-4-3截面法和结点法的联合应用例3-12求图示桁架中a、b和c三杆的内力。解：⑴取截面Ⅰ-Ⅰ左边部分,并取结点K为隔离体。再根据Ⅰ-Ⅰ左边部分的平衡条件∑Fy＝0，有：⑵取截面Ⅱ-Ⅱ左边部分为隔离体。3-4-3截面法和结点法的联合应用例3-12求图示桁架3-4-4各类梁式桁架的比较简支梁M0图平行弦桁架弦杆的内力表达式为：3-4-4各类梁式桁架的比较简支梁M0图平行弦桁架3-4-4各类梁式桁架的比较简支梁M0图抛物线形桁架弦杆的内力表达式为：3-4-4各类梁式桁架的比较简支梁M0图抛物线形桁架3-4-4各类梁式桁架的比较简支梁M0图弦杆的内力表达式为：三角形桁架3-4-4各类梁式桁架的比较简支梁M0图弦杆的内力表3-4-5杆件替代法基本思路：通过杆件(包括支座链杆)之间的替代，简化桁架的几何构造，然后再使简化后桁架的内力恢复到原结构的状态。撤除支座C链杆,代之增设链杆DE,得简单桁架。3-4-5杆件替代法基本思路：通过杆件(包括支座链杆)之因实际结构并不存在DE杆,所以C支座真实的反力应使：解得：因实际结构并不存在DE杆,所以C支解得：因实际结构并不存在DE杆,所以C支座真实的反力应使：解得：桁架内力图因实际结构并不存在DE杆,所以C支解得：桁架内力图§3-5组合结构三铰组合屋架悬吊式桥梁计算步骤：⑴求支座反力；⑵计算各链杆的轴力；⑶计算受弯杆件的内力。不要遗漏受弯杆件的剪力。§3-5组合结构三铰组合屋架悬吊式桥梁计算步骤：⑴求例3-13分析图示组合结构的内力。解：⑴求支座反力。⑵计算各链杆的轴力。取截面Ⅰ-Ⅰ右部为隔离体。再通过结点D和E的平衡条件,求得其余链杆的内力。受弯杆件AC和CB的内力可利用隔离体平衡条件求得。更简捷的方法是直接运用力学基本概念进行分析：因DE杆与受弯杆平行，链杆DF和EG又与之垂直，可判定受弯杆全长受轴向压力90kN。例3-13分析图示组合结构的内力。解：⑴求支座反力。例3-13分析图示组合结构的内力。例3-13分析图示组合结构的内力。例3-13分析图示组合结构的内力。例3-13分析图示组合结构的内力。例3-14计算图示组合结构中链杆的轴力,并作出受弯杆的M图。再考虑HBF部分对F点的力矩平衡,有：结合可得：M图,FN

例3-14计算图示组合结构中链杆的轴力,并作出受弯杆的若将铰F的位置上移,则结构的受力状态不再对称。若将铰F的位置上移,则结构的受力状态不再对称。

可将刚片EAG和HBF视作链杆,将链杆GH视作刚片,然后按三刚片问题进行求解;即用m-m截断形成无穷远处虚铰的链杆CH和EG,由刚片Ⅲ对虚铰(Ⅱ,Ⅲ)和刚片Ⅱ、Ⅲ联合体对虚铰(Ⅰ,Ⅱ)的力矩平衡方程联立解得以上两链杆的轴力,问题便可以得到解决。其中,EAG部分的弯矩可根据虚拟链杆EG的轴力,按图3-55c求得。可将刚片EAG和HBF视作链杆,将链杆GH§3-7静定结构的一般性质3-7-1静定结构的几项特性⑴温度变化、支座位移、材料收缩和制造误差等非荷载因素不引起静定结构的反力和内力。⑵平衡力系作用于静定结构中某一几何不变或可独立承受该平衡力系的部分上时,则只有该部分受力,其余部分的反力及内力均为零。§3-7静定结构的一般性质3-7-1静定结构的几项特性⑵平衡力系作用于静定结构中某一几何不变或可独立承受该平衡力系的部分上时,则只有该部分受力,其余部分的反力及内力均为零。⑵平衡力系作用于静定结构中某一几何不变或可独立承受该平衡力⑶当作用于静定结构中某一几何不变部分上的荷载作等效变换时,则只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均不变。⑶当作用于静定结构中某一几何不变部分上的荷载作等效变换时,⑶当作用于静定结构中某一几何不变部分上的荷载作等效变换时,则只有该部分的内力发生变化，其余部分的反力和内力均不变。注意：当发生荷载等效变换的局部为内部几何可变时,则上述结论一般不再适用。⑶当作用于静定结构中某一几何不变部分上的荷载作等效变换时,⑷静定结构中的某一几何不变部分作构造改变时,其余部分的反力和内力均不变。⑷静定结构中的某一几何不变部分作构造改变时,其余部分的反3-7-2零载法

静定结构满足平衡条件解答的惟一性,可用于判定计算自由度W=0的体系的几何属性。换言之,对于W=0的体系,满足平衡条件的解是否惟一,是判定该体系是否几何不变的充分条件。

检查W=0的体系满足平衡