华师大版数学九年级上册23.3 第5课时 相似三角形的应用 课件(共20张PPT)

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第23章图形的相似

23.3相似三角形

第5课时相似三角形的应用

学习目标

1.掌握相似三角形的应用；（重点）

2.进一步了解数学建模思想，提高分析问题、解决问题的能力.（难点）

观察与思考

人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地距离。

典例精析

例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O'B'=1米，A'B'=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.

O'

A'

B'

O

B

C

A

解：∵太阳光线是平行光线，

∴∠OAB=∠O'A'B'

∵∠ABO=∠A'B'O'=90°

∴△OAB∽△O'A'B'（两角分别相等的两个三角形相似）,

∴=，

∴OB===137（米）

答：金字塔的高度OB为137米.

例7如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB。(精确到0.1米)

解：∵∠ADB=∠EDC，

∠ABD=∠ECD=90°，

∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似）

∴=，

解得AB=

=≈96.7（米）

答：河的宽度AB约为96.7米.

以上例题给我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法

例8如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，

且∠ADE=∠C.求证：AD·AB=AE·AC。

证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）,

∴=

∴AD·AB=AE·AC

A

B

C

E

D

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在河的这一边取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R。如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ.

P

Q

S

T

R

a

b

因此河宽大约为90m.

P

Q

S

T

R

a

b

60m

45m

90m

测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.

测距的方法

已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？

分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K。视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角。类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了。

由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.

解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．

∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.

∴.

即

解得EH=8.

当堂练习

1.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m.

8

O

B

D

C

A

┏

┛

1m

16m

0.5m

？

2.某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米，则树高为______米.

4

解：设正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN的边长为xmm.

因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC.

所以.

3.△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

N

M

Q

P

E

D

C

B

A

解得x=48(mm).

因此，

课堂小结

1.相似三角形的应用主要有两个方面：

（1）测高

测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.

（不能直接使用皮尺或刻度尺测量）

（不能直接测量的两点间的距离）

测量不能