上海民办久慧高级中学高三数学文期末试题含解析

上海民办久慧高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[1，] C．[1，2] D．[，2]参考答案：B【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．2.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于

(

)

A．

B．C．

D．

参考答案：A4.若函数在上是增函数，当取最大值时，的值等于（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据辅助角公式化简成正弦型函数，再由单调性得解.【详解】，由于在上是增函数，所以，α的最大值为，则.故选B.【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式和正弦型函数的单调性，属于基础题.5.为非零向量，“函数为偶函数”是“”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：因为，所以若为偶数，则，即.若，则有，所以，为偶函数．考点：1.充分必要条件的判断；2.平面年向量的数量积.【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.6.已知等差数列的前项和，若，则（

）A．

6

B．9

C．12

D．15参考答案：B依题意，，故，故，故选B.7.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的

茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（

）A．65

B．64

C．63

D．62参考答案：B略8.已知集合，，则（

）A.[0,3]B.[1,3]C.{0,1,2,3}D.{1,2,3}参考答案：D所以9.已知集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.函数的零点所在的大致区间是A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的实轴所在直线垂直，l与C交于A,B两点，若为C的虚轴长的2倍，则C的离心率为__________．参考答案：【分析】根据条件得为通径长，列方程解得离心率.【详解】通径即.【点睛】本题考查双曲线通径长以及离心率，考查基本分析求解能力，属基本题.12.已知角且，则的值为

参考答案：略13.如右图，从圆外一点引圆的割线和，过圆心，已知，则圆的半径等于

．参考答案：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以。14.已知正项等比数列{an}满足：，若存在两项am，an使得，则的最小值为____________.参考答案：略15.已知两个集合A，B，满足B?A．若对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），使得x=λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是

．参考答案：3【考点】集合的表示法．【分析】设a1＜a2＜a3＜…＜am，计算出b=λ1ai+λ2aj的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n．可知m（m+1）≥10，即可得出结论，【解答】解：不妨设a1＜a2＜a3＜…＜am，则形如1×ai+0×aj（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；形如1×ai+1×ai（1≤i≤m）的正整数共有m个；形如1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个；形如﹣1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整数至多有Cm2个．又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．故m+m+Cm2+Cm2≥n，即m（m+1）≥n，A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．故答案为3．16.已知函数，则关于的不等式的解集是_______参考答案：17.已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．参考答案：(0,1)

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=ln(kx)+－k(k＞0)．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[，]，都有xln（kx）﹣kx+1≤mx，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为m≥f（x）max，通过讨论k的范围，求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：由已知得，f（x）的定义域为（0，+∞）．（Ⅰ），．令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞），（Ⅱ）由xln（kx）﹣kx+1≤mx，得，即m≥f（x）max．由（Ⅰ）知，（1）当k≥2时，f（x）在上单调递减，所以，所以m≥0；．（2）当0＜k≤1时，f（x）在上单调递增，所以，所以；（3）当1＜k＜2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以．又，，①若，即，所以1＜k＜2ln2，此时，所以．②若，即，所以2ln2≤k＜2，此时f（x）max=0，所以m≥0综上所述，当k≥2ln2时，m≥0；当0＜k＜2ln2时，．19.在△ABC中，D为BC边上一点，，，，.（1）求；（2）求△ABC的面积．参考答案：（1）（2）3【分析】（1）直接运用余弦定理，求出，进而求出的大小；（2）通过（1）可以判断出的形状，根据，可以求出的面积.【详解】（1）已知，，，在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）因为，所以，因，所以为等腰直角三角形，可得，所以.20.已知数列满足，，，是数列的前项和．(1)若数列为等差数列．（ⅰ）求数列的通项；（ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．参考答案：因为对任意，恒成立，所以且，

略21.（本小题满分12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2

表1：生产能力分组人数4853表2：生产能力分组人数6y3618

(1)先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）(注意:本题请在答题卡上作图)(2)分别估计类工人和类工人生产能力的众数、中位数。（精确到0.1）参考答案：解：（1）类工人中和类工人中分别抽查25名和75名。由，得；，得。

从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小。(2)A类工人生产能力的众数、B类工人生产能力的众数的估计值为115，135；

A类工人生产能力的中位数、B类工人生产能力的中位数的估计值为121，134.6略22.（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.如图，在直三棱柱中，，，，、、分别是、、的中点.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求点到平面之间的距离.参考答案：（1）设的中点为，连接，则