小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S:S€a:b12夹在一组平行线之间的等积变形，如右图SAacd€LCD；反之，如果S €S，则可知直线AB平行于CD.△ACD △BCD等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．如图在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴或D在BA的延长线上，E在AC上）则S:S €(ABxAC):(ADxAE)△ABC△ADE任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：①S:S=S:S或者SxS€SxS②AO:OC€（s„S）:（S„S）124313241243蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系“梯形蝶形定理”：S:S€a2:b213S:S:S:S€a2:b2:ab:ab；1324S的对应份数为（a+b）2.四、相似模型沙漏模型（一：金字塔模型

沙漏模型ADAE①€ ABACDE€AFBC~AG②S:S €DE€AFBC~AG△ADE △ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S:S€BD:DC.AABOAACO上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为AABO和AACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形 的边长为，AE= ,CF€.长方形的面积为 【解析】连接三角形S△DEF积的二倍.三个三角形的面积，1&、..jyg€6,6-1.5,6„2-2,6„2-4.5,4„2=16.5所以长方形面积为_B_F_C_B_F_C解析】积相等长方形和正方形可以看作特【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？解析】积相等长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.我们通过AABG把这两.个长方形.和正方形联系在一起.1 I I•・•在正方形ABCD中，S€ ,AB,AB边上的高，C△ABG2-S-S€1S…△ABG2°ABCD同理，S€S△ABG 2EFGB三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半・•・・•・正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8x8，10=6.4厘米.【例2】长方形ABCD的面积为cm2,E、F、G为各边中点,部分面积是多少？H为AD边上任意一点，问阴影【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:SASADHG2ADHCS€S„S„S€36ABCD AAHB ACHB ACHD„S„S„S)€1X36€18.ACHB ACHD 2即S„S„S€ (sAEHB ABHF ADHG 2 AAHB而 S„S„S€S„SAEHBABHFADHG阴影AEBFS€-xBExBF€-x(-xAB)x(-xBC)=-x36=4.5.AEBF2 2 2 2 8所以阴影部分的面积是：S€18-S€18-4.5€13.5阴影 AEBF解法二：特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是ADEF的面积，根据鸟头定理，则有:S€s-S-S-S€36--x-x36--x-x-x36--x-x36=13.5阴影ABCD AAED ABEF ACFD 22 222 22【巩固】在边长为厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接求阴影部分面积.

【解析】(法)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合,则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和1，46所以阴影部分的面积为62€(4+6),15平方厘米.(法2)连接PA、PC．由于APAD与APBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"11方形ABCD面积的1，所以阴影部分的面积为62€(1+1)，15平方厘米.6 46【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为，AB，8，AD，15，四边形EFGO的面积为 .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.1由于长方形ABCD的面积为15€8，120，所以三角形BOC的面积为120€-，30，所以三角43形AOE和DOG的面积之和为120€-70，20；4…11\又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120€ ，30，所以四边形EFGO\24丿的面积为30-20，10.另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积，三角形AFC面积+三角形BFD面积-白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-7(,50所以四边形的面积为60-50=10【巩固】如图，长方形ABCD的面积是，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为 .

解析】例4】如图，连接OE.根据蝶形定理，ON:ND=沐COEOM解析】例4】如图，连接OE.根据蝶形定理，ON:ND=沐COEOM:MA=S:S€BOE €BAE11又S=x—S€OED 34矩形ABCD113x+6x=2.7.25:S€CDE=1S2 €BDE:S€BAE已知ABC为等边三角形，积和为:S1=1:1，所以S€OEN=2S€OED；二1:4，所以S€OEMS=2S=6€OEA €OED ，面积为4，3求阴影五边形的面积.=1S5 €OEA所以阴影部分面积为：,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面丙是三角形HBC【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为20.0根据图形的容斥关系，有S根据图形的容斥关系，有Saabc—S=S+S—S丙€ABN €AMC AMHN，即400—S=200+200—S ，所以S丙=SAMHN.丙 AMHN 丙 AMHN又S+S=S+S+S，所以阴影 €ADF 甲乙AMHNS=S+S+S-S=143-1x400=43阴影甲乙丙€ADF 4【例5】如图，已知CD=5，DE=7面积是38，右边部分面积是EF=【例5】如图，已知CD=5，DE=7面积是38，右边部分面积是根据题意可知，CF€5+7+15€27；DG根据题意可知，CF€5+7+15€27；DG=7+15+6=28；15S 12SS €里s ，S,AEG28+12S€38；27，CBF'所以，—BEF 27"，CBF，“皿EC_~2iS,CBF，21s丄15s65 7s于是.——S+S€65；S28 27可得€40•故三角形ADG的面积是‘,ADG€_!S28，ADG【例6】如图在AABC中,S €16平方厘米△ADED,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB=2:5求△ABC的面积.AE:AC€4:7，S:S€AD:AB€2:5€(2>4):(5>4)，△ADE△ABE€AE:AC€4:7€(4>5):(7>5)，所以S:S△ADE△€35份，S△ABC △ADE【解析】连接BE,S:S△ABE△ABCS €8份，则S△ADE平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．(x2 4>):(设BC€16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的1，那么三角形ABC的面积是多少？倍，AC是AE的倍，如果三角形ADE的面积等于解析】连接BE．•・•EC€3AE・•・S €3S□ABC □ABE又•・•AB€5AD:.S €S„5€S„15，・•・S€15S€15.ADE ABE ABC ABC □ADE【巩固】如图，三角形被分成了甲阴影部分、乙两部分，BD€DC€4，BE€3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？解析】连接AD．•BE€3，AE€6・•・AB€3BE，S €3SABD BDE

例7】丈:BD€DC€例7】:.S€2S,・•・S€6S,S€5S.ABC ABD ABC BDE 乙 甲如图在AABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2,AE:EC€3:2,S €12平方厘米，求AABC的面积.△ADE解析】例解析】例8】连接BE，S:S€AD:AB=2:5=(2x3):(5x3)△ADE△ABES:S€AE:AC€3:(3„2)=(3x5):,(3„2)x引，△ABE△ABC所以S:S €(3x2):15x(3„2)6:25，设S=6份，则S=25份，S=12△ADE△ABC △ADE △ABC △ADE平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，“ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图，平行四边形ABCD，BE€AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.解析】例9】・S 解析】例9】・S _AB-BC1x11•• !△ABC—一__—-—.SBE-BF1x33△FBE又S —1，所以S€3．△ABC△FBE同理可得S€8，S€15，△GCF△DHG所以S€S„S„SEFGH△AEH△CFG△DHGS所以ABCD€2€1•S€36€18EFGHS€8．△AEH„S„S€8„8„15+3+2€36．△BEFABCD如图所示的四边形的面积等于多少？连接AC、BD．根据共角定理•:在△ABC和△BFE中，…ABC与…FBE互补,解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为12€12=144也可以用勾股定理以AC为一边向,ABC外作正方形【例10】如图所示，,ABC中，ZABC=90„，AB=3，BC=5ACDE，中心为O以AC为一边向,ABC外作正方形【解析】如图，将，OAB沿着O点顺时针旋转90。，到达,OCF的位置.由于ZABC=90„，ZAOC=90„，所以ZOAB…Z0CB=180。.而ZOCFOAB，所以ZOCF+ZOCB=180。，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB=OF，ZBOF=ZAOC=90„，所以,BOF是等腰直角三角形,且斜边BF为5+3=8,所以它的面积为82€4=16.根据面积比例模型，,obc的面积为1668二10-【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，ZAEB=90„，AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积.【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将AADE顺时针旋转90„到AABF的位置.那么ZEAF=ZEAB+ZBAF=ZEAB+ZDAE=90„，而ZAEB也是90„，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF=AE=3，所以梯形AFBE的面积为：

(3+5人3x2„12cm2)又因为…ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2„AE2+BE2„32+52„34,所以1S=—AB2=17cm2…ABD 2 (2)那么S=S —(s ,S)=S -S =17-12=5cm2)…BDE …ABD …ABE …ADE …ABD AFBE1所以S=S=2.5cm2)…OBE 2…BDE例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD,BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已知FD=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将…BCD平移使得CD与AF重合，将…DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24x18=432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．【例13】如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的中点，点D在BC上,且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F.贝9四边形DFEC的面积等于 .【解析】方法一：连接CF，SBD1【解析】方法一：连接CF，SBD1△ABF— ——S△ACF则SADCF=2份，SAABF=3份,=5根据燕尾定理，设s —1份设△BDF 份，\o"CurrentDocument"所以S ——SDCEF12△ABC 12兰-1DC2，SEC△CBFS=S△AEF△EFC△ABF=3份，如图所标==1=3'=1=1'方法二：连接DE，由题目条件可得到SAABD=3SAabc1 1 2 1 BF SS S——X—S ［所以丄 一—△ABD△ADE 2△ADC 2 3△ABC 3 FE S△ADE

S△DEF€1XS2△DEB€X1XS€・AO€—COS△DEF€1XS2△DEB・AO€—CO，・OC€2x3€6，・・OC:OD=6:3=2:1•巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知2 3 △BEC 232 △ABC2 1 1 5而求：（1）三角形BGC的面积；（2）AG:GC=?ACDE—3X2求：（1）三角形BGC的面积；（2）AG:GC=?△CDE 3 2 △ABC 3 12【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC€2DE,F是DG的中点•阴影部分的面积是多少平方厘米?C5€12平方厘米S€5€12平方厘米【例14】四边形ABCD的对角线【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O如图所示.如果三角形ABD的面积等于三角…S• ,ABD…S• ,ABD3 ，BCD・•・AH€3CG,・S€1S…,AOD 3，DOC，1倍.形BCD的面积的-，且AO€2,DO€3,那么CO的长度是DO的长度的倍.【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件S:S€1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解□ABD□BCD法•又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G，面积比转化为高之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果•请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.・•・OC:OD€6:3€2:1•解法一：*•*AO:OC€S:S €1:3，・：OC二2・•・OC:OD€6:3€2:1•,ABD,BDC解法二：作AH丄BD于H，CG丄BD于G•

【解析】⑴根据蝶形定理，SBGC€1=2€3,那么SBGC=6⑵根据蝶形定理，AG:GC=(1„2):(3„6)=1:3.【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是、、和•求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积.【解析】⑴根据题意可知，MCD的面积为2„4„4„6二16，那么ABCO和…CDO的面积都是16十2二8，所以40"的面积为8-4二4；⑵由于ABCO的面积为，MOE的面积为•所以AOCE的面积为8-6二2，根据蝶形定理，EG根据蝶形定理，EG:FG=S :S=2:4=1:2，所以从:人=EG:FG=1：2,1那R么S= SAGCE 1„2ACEFACOE …COF12=—€2=—3 3-【例16】【例16】如图，长方形ABCD中，米，求长方形ABCD的面积.BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平方厘【解析】连接AE，FE.因为BE:EC=2:3，DF因为BE:EC=2:3，DF:FC=匕2，所以Sdef=(3€1€1)S532=丄S长方形ABCD 10长方形ABCD因为Saed所以"口AFD方厘米.=1S2长方形ABCD=12平方厘米.因为Safd，AG:GF=丄:丄=5:1,210=1S6长方形ABCD所以SAGD=5SGDF=10平方厘米,，所以长方形ABCD的面积是72平【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点•求图中阴影部分的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC€1：2，根据梯形蝶形定理可以知道S:S:S:S €12:(1X2):(1X2):22€1：2:2:4，设S=1份，则△AMG△ABG△MCG△BCG △AGMS人€1+2€份，所以正方形的面积为1，2,2,4,3€12份，S€2+2€4份，△MCD 阴影所以S阴影:S正方形=1:3，所以S阴影=1平方厘米・【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米.【解析】连接DE，根据题意可知BE:AD€1:2，根据蝶形定理得S梯形€(1+2)€9平方厘米，S€S€3△ECD平方厘米，那么S€12平方厘米，

OABCD【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为 平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AC.由于ABCD是平行四边形，BC:CE€3:2，所以CE:AD=2:3，根据梯形蝶形定理，S:S:S:S €22:2x3:2x3:32=4:6:6:9，所以□coeQaocQdoeQaodS”"€6平方厘米，SAOD€9平方厘米，又S€S€6+9€15平方厘米，□AOC 口AOD ACAD阴影部分面积为6,15€21平方厘米.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示单位：平方厘米,阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE.由于AD与【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S€OCD=S€OAE．根据蝶形定理S€OCD，S€oae=S€\辺=4，9=所以S€OCD=6平方厘米，S2€OCD二36，【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示单位：平方厘米，阴影部分的面积是 平方厘米.【解析】连接AE.【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S根据蝶形定理，'ocd，'oae=SS€ocd=4平方厘米，另解：在平行四边形ABED中，S=S€OCD €OAE，S=2,8=16故S2=16所以€OCE €OAD €OCD'=1S€ADE 2匸ABED2x(16+8„=12平方厘米，所以S=S-S=12-8=4平方厘米，€AOE €ADE €AOD根据蝶形定理，阴影部分的面积为8，2十4=4平方厘米,【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中块的面积分别为、、平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米.【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以S=S ，又根据蝶形定理，€EOD 口FOCS-S=S-S，所以S-S=S-S=2,8=16，所以S=4平方€EOD €FOC €EOF€COD €EOD€FOC €EOF€COD €EOD

厘米,S =4,8=12平方厘米.那么长方形ABCD的面积为12x2=24平方厘米，四€ECD边形OFBC的面积为24-5-2„8=9平方厘米.【例20】如图，€ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积8AK:KB=1:3，则€BKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，€BDK和€ACK的面积是相等的.而AK:KB=1:3，所以€ACK的面积是€ABC面积的丄=-，那么€BDK的面积也是€ABC面积的丄.1,3 4 4由于€ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM=DE，可见€ABM和€ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以€ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为.1那么€BDK的面积为48x=12.4【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，n(m+n)的值等于 .解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白

部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.左图中AEGD为长方形，可知€AMD的面积为长方形AEGD面积的丄，所以三角形AMD的4面积为12x1x-=-.又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面248积为1-丄x4=.82

如上图所示，在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N•可知EF〃AC且AC€2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1,所以三角形4BEF的面积为12x-x-=1，梯形AEFC的面积为---=3.TOC\o"1-5"\h\z4 8 28 8在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：3 1 112：1x2:1x2:22€1：2:2:4，所以三角形EFN的面积为三x =，那么四边形81+2+2+4 24BENF的面积为-+丄=1.而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部8 24 6分的面积为1，1x4=1.63

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1丄€3:2，即m€3，23n2那E么m+n€3+2=5.【例22】如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB,则S:S :S €、△ADE 四边形DEGF 四边形FGCB "【解析】设S €1份，根据面积比等于相似比的平方，△ADE所以S:S €AD2:AF2€1:4，S:S €AD2：AB2=1:9，△ADE △AFG △ADE △ABC因此S€4份，S€9份，△AFG △ABC进而有S €3份，S €5份，所以S:S :S €1:3:5四边形DEGF 四边形FGCB △ADE四边形DEGF四边形FGCB【巩固】如图，DE平行BC，且AD€2，AB=5，AE=4，求AC的长.【解析】由金字塔模型得AD:AB€AE:AC=DE:BC=2:5，所以AC=4十2,5=10【巩固】如图， AABC中，DE,FG,MN,PQ,BC互相平行,AD=DF=FM=MP【巩固】如图， AABC中，DE,FG,MN,PQ,BC互相平行,AD=DF=FM=MP=PB,贝VS△ADE:S四边形DEGF:S:S:S四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB【解析】设SAadeS€4△AFGS四边形FGNM所以有S△ADE€1份份，€5份S:S△ADE

进而有S四边形MNQP€AD2:AF2€1:4，因此€3△AFGS四边形DEGF€7份，份，S四边形PQCB€9份．例23】如图，:S四边形DEGF:S:S:S四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB€1:3:5:7:9已知正方形ABCD的边长为4,F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC€1:3,AF与BE相交于点G，求S△ABG【解析】方法一：连接AE,延长AF,DC两条线交于点M,AB:CM€BF:FC=1:1,因此CM=4,根据题意有CE=3,再根据另一个沙漏有4 4 32=—,（4,4十2）=—1111S=4,一2€ 2,△ABF:S €BG:GE€4:7，△AEFGB:GE€AB:EM=4:7，所以S=S△ABG 4+7△ABE方法二：连接A,EEF分别求S€4,4—4,1一2—3，2一2—4=7,根据蝶形定理S△AEF △ABF4 4 32\o"CurrentDocument"所以S€S€ ,（4,4一2）€ :所以△ABG4+7△ABE 11 11-【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是,E、F是AB、M,求ABMG的面积.AD的中点，BF交EC于【例25】如图，【例25】如图，ABCD为正方形,面积为多少？QCEC，所以1 1 1 1MQ€QC€-MC，所以PQ€-MC--MC=一MC，

2 2 3 612所以S€,1,(1„1„2)€(cm2).SPQR6 3法2如图，连结AE，则S €-,4,4€8cm2),AABE21所以S占S的-,SPQR AMCF6【解析】解法一:由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而FDBCFHHC 22,EB:CD€BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分点，所以BG€GH，所以BG:EF€BM:MF€2:3，所以BM=2BF，Sabfd€2SAABD€2，2^ABCD=4；1121211又因为BG€-BD，所以S=x—xS=x~^x^=—3 abmg35 abfd35430解法二：延长CE交DA于I,如右图，可得，AI:BC€AE:EB€-:-，从而可以确定M的点的位置，21BM:MF€BC:IF€2:3，BM=—BF，BG=—BD鸟头定理，5 3可得S €2,1S €2,1,1S €—abmg53abdf534□abcd30AM€NB€DE€FC€1cm且MN=2cm，请问四边形PQRS的

RBERABEF，所以RBABAMBQEFEF€2，SAABR3AABE€2,8RBERABEF，所以RBABAMBQEFEF€2，SAABR3AABE€2,8€16cm2）．€SAANS11=—,3，4, €3cm2）因为MNMPDCPCTOC\o"1-5"\h\z1 1 14所以MP二—MC,贝yS €—，2,4,— cm2）阴影部分面积等于amnp2 33\o"CurrentDocument"S—S—S„S€ —3—3„€ cm2）AABRAANSAMBQAMNP3 3 3【例26】【例26】如右图，三角形ABC中,BD:DC€4:9，CE:EA€4:3，求AF:FB．【解析】根据燕尾定理得S :S€BD:CD€4:9€12:27△AOB△AOCS:S€AE:CE€3:4€12:16△AOB△BOC（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S€27:16€AF:FB△AOC△BOC【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC€3:4，AE:CE=5:6，求AF:FB【解析】根据燕尾定理得S :S€BD:CD€3:4€15:20△AOB△AOCS:S€AE:CE€5:6€15:18△AOB△BOC（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S€20:18€10:9€AF:FB△AOC△BOC【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC€2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB【解析】根据燕尾定理得S :S€BD:CD€2:3€10:15△AOB△AOCS:S€AE:CE€5:4€10:8△AOB△BOC（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S€15:8€AF:FB△AOC△BOC【点评】本题关键是把AAOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜,

如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！例27】如右图，三角形ABC中则三角形ABE的面积为AF:FB€BD:DC=CE:AE例27】如右图，三角形ABC中则三角形ABE的面积为分析】,三角形AGE的面积为 ,三角形GHI的面积为分析】所以SABIE10ABAE105 5AGHI19ABIE195 19【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB€BD:DC=CE:AE=3:2,求三角形ABC的面积.且三角形GHI的面积是1，解析】连接，GS△AGC根据燕尾定理，:S△BGC€4所以SABIE10ABAE105 5AGHI19ABIE195 19【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB€BD:DC=CE:AE=3:2,求三角形ABC的面积.且三角形GHI的面积是1，解析】连接，GS△AGC根据燕尾定理，:S△BGC€4（份同理连接三角形△AGC△BGC，S△ABG€AF:FB€3:2€6:4，€9（份），△ABH△ABC△ABC€19（份△ABG:S△AGC€BD:DC€3:2€9:619△BIC△ABC的面积是，所以三角形19所以的面积是，因此△AGC△ABC△GHI△ABC1919-6-6-61919由于CE:AE€3:2，所以AE=—AC，故S=S=；5 AABE5AABC5根据燕尾定理，S:S€CD:BD€2:3，S:S €CE:EA€3:2，所以AACG AABGABCGAABGS :S :S €4:6:9，则S €—，S€9AACG AABG ABCGAACG 19 [ABCG192那么S €2S24€—,—:8—;AAGE 5AAGC51995同样分析可得S€—，则EG:EH€S :S€4:9，EG:EB€S:S€4:19AACH19AACGAACHAACGAACB所以EG:GH:HB€4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4,【巩固】如图，AABC中BD€2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么AABC的面积是阴影三角形面积的 倍.【分析】如图，连接AI.根据燕尾定理，S:S=BD:AD=2:1,S:S=CF:AF=1:2,€BCI€ACI €BCI €ABI22所以，S:S:S=1:2:4，那么，S= S=S.€ACI€BCI€ABI €BCI1,2,4€ABC7€ABC2同理可知€ACG和€ABH的面积也都等于€ABC面积的-，所以阴影三角形的面积等于721€ABC面积的1-„3二-，所以€ABC的面积是阴影三角形面积的倍.77【巩固】如图在△ABC中,DCEAFB1ECFA2求的面积的值.【解析】连接设【巩固】如图在△ABC中,DCEAFB1ECFA2求的面积的值.【解析】连接设S△BGCS:S=AF:FB=2:1S:S△AGC △BGC △ABG △AGC，因此‘△AGCS△ABC=份，根据燕尾定理S=4份则S=7份△ABG △ABC=BD:DC=2:1得S=2份，△AGC22同理连接7得‘△ABH=S△ABCS△BIC=S△ABC7-27-2-2-21所以△GHI=S△ABC点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线【例28】如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=EC，CF=FG=GA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少【解析】设与交于点，根据燕尾定理S△ABPS△ABP△ABC同理可得，S△ABQ同理，S△BPM3513:S€AG:GC€1:2，△CBP€1+2+2€5份）所以S△ABP1S€而S△ABN 2 △ABGS△BDM交于点N连接△ABP1:S△ACP€BD:CD€1:2，€—，所以S3 △APQ753512△AQG3721123S四边形mned 335 70 429，四边形pqmn2 7 35 7011四边形nfce 3 2142 61S四边形GFNQ321642点点F、G是AC边的三等分点，【巩固】如图，AABC的面积为，点D、E是BC边的三等分点,那么四边形JKIH的面积是多少？【解析】连接CK、CI、根据燕尾定理，AACK所以S:SAACK AABK:SACBK:S€CD:BD€1:2，SAABK AABK1€1:2:4，那么SAACK 1+2+47—€—，S€SAAGK3AACK21又S:SAABJ ACBJ€AF:CF€2:1，那么，SCGKJ

11172184根据对称性，17根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为一，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为84S„2+SCGKJ AAGI+SAABE€ „类似分析可得SAAGI 15S:SS„2+SCGKJ AAGI类似分析可得SAAGI 15S:S€BD:CD€2:1，可得SAABJ AACJ AACJ 4【例29】右图，AABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则AABC的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM、CN.根据燕尾定理，S△ABMS€S；△ABM5 △ABC再根据燕尾定理:S€AG:GC€1:1，S△CBM △ABM:S€BD:CD€1:3，所以△ACM以AN:NF€4:3，S△ABN

那么:S=AG:GC=1:1,所以S:S=S:S=4:3,所△CBN △ABN △FBN △CBN △FBNANG=X=，所以S24,3 7AFCfi-2„I7丿根据题意，有-S5△ABCS=FCGNS△AFC=5X1S=丄S7 4△ABC28-—S€7.2,28△ABC【例30】如图，面积为的三角形影部分面积中,△ABC可得S=336平方厘米△ABC分别是的三等分点,求阴【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！与的交点为，与的交点为，与的交点为的交点为连接:在AABC中,⑴求S四边形ADMI:S△CBM=1（份），则S根据燕尾定理，S△ABM设S△ABM所以S=S△ABM △ACM:S =AD:BD=1:2△CBM=AI:CI=1:2S△ACM=2份S=1份△ACM所以S=1S△ADM3 △ABM△CBM=—S4 △ABC11所以S =(—+—)S四边形ADMI 1212△ABC,S =4△ABC=丄S12 △ABCS△AIM=丄S12 △ABC=1S6 △ABC同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是AABC面积的6(2)求S :在△ABC中，根据燕尾定理五边形DNPQES:S=BF:CF=1:2S△ABN △ACN △ACN111所以S=-S=—X—S:△ADN3△ABN 37△ABC在厶ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S=AD:BD=1:2,△BCN11=S同理S=S21△ABC △BEQ21△ABC:S=BF:CF=1:2,S :S△ACP △ABP △CBP=AI:CI=1:211 13x11 13x3€ -105 70分别是、、 的三等分点求中所以S€1S，△A5△BP[111,11S €S—S —S €S€——S五边形DNPQE △ABP△ADN △BEP:52121J△ABC105△ABC111同理另外两个五边形面积是AABC面积的,所以S€1—x3105阴影6【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 ，连接在AABC中根据燕尾定理，S:S€BG:CG.=2:1△ABR △ACRS :S€AI:CI€1:2△ABR△CBR222所以S€2S同理S €2S S€2S△ABR7△ABC △ACS7△ABC △CQB 7△ABC22211所以S€1—2—2—2€1,同理S€1△RQS7777 △MNP71 1 13 1根据容斥原理，和上题结果S €1+1—13€-1六边形7 7 70 10课后练习：练习1.已知ADEF的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求厶ABC的面积.【解析】S:S €(BDxBE):(BAxBC)€(1x1):(2x3)€1:6，△BDE△ABCS:S €(CExCF):(CBxCA)€(1x3):(2x4)€3:8△CEF△ABCS:S €(ADxAF):(ABxAC)€(2x1):(3x4)€1:6△ADF△ABC设S €24份，贝yS €4份，S €4份，S€9份，S =24—4—4—9=7份,△ABC △BDE △ADF △CEF △DEF恰好是7平方厘米，所以S €24平方厘米△ABC练习2.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积.解析】连接BD.由共角定理得S:S△解析】连接BD.由共角定理得S:S△BCD △CGF同理S:S€1：2,即S€2S△ABD △AHE △AHE △ABD所以S,S€2(S ,S )€2S△AHE △CGF △CBD △ADB 四边形ABCD连接AC，同理可以得到S,S€2S△DHG △BEF 四边形ABCDS €S,S,S,S,S €5S即S €2S△CGF △CDB四边形EFGH △AHE △CGF △HDG△BEF四边形ABCD 四边形ABCD所以S €66+5€13.2平方米四边形ABCD练习3.解析】欲求四边形BGHF的面积须求出„EBG正方形ABCD的面积是 平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米.由题意可得到：EG:GC€EB::CD=1：2，所以可得：S =1S„EBG3 „BCE将AB、DF延长交于M点，可得：BM:DC€MF:FD€BF:FC€1:1，12TOC\o"1-5"\h\z而EH:HC€EM:CD=(—AB+AB)：CD=3:2，得CH=一CE，2 51121而CF€-BC，所以S€—x—S€-S2 „CHF 2 5 „BCE 5 „BCE1 1 1S €-x-ABxBC€—x120€30„BCE 2 2 41 1 7 7S €S—S—S€S€x30€14.四边形BGHF AEBC 3„EBC 5„EBC 15„EBC 15本题也可以用|蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置也就是FH:HD，同样也能解出.练习4.如图，已知AB€AE€4cm，BC=DC，ZBAE€Z.BCD=90。，AC=10cm，练习4.S,S,S€ cm2.„ABC „ACE „CDE

【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90,构成三角形AEC'和A'DC,再连接A'C',显然AC丄AC',AC丄A'C,AC=A'C=AC',所以ACA'C'是正方形.三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系：S=S；S=S；S=S・,AEC 山'DC' ,AEC' 山'DC ,CED ,C'DE11所以S +S +S =S +S +S 二S二„10„10=50cm2.AABC AACE ,CDE AAEC' AACE ,CDE2匸ACA'C'2练习5.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是___平_方_厘米.解析】连接BH根据沙漏模型得BG解析】连接BH根据沙漏模型得BG:GD=1:2设S=1份,△BHCS=