2023学年完整公开课版切线的判定

3.6直线和圆的位置关系第三章圆第2课时切线的判定砂轮上打磨工件时飞出的火星

下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？情境引入圆的切线的判定如图，OA是☉O的半径，经过OA的外端点A，作一条直线l⊥OA，ll新课讲解1圆心O到直线l的距离与半径有怎样的关系？判断：直线l和☉O有怎样的位置关系？过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的判定定理∵OA为⊙O的半径，OA⊥l

于点A∴l

为⊙O的切线判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：2.数量关系法：即d=r时3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd归纳总结用三角尺过圆上一点画圆的切线.（2）过点P作半径OP的垂线l，则l就是所要画的切线.如图所示.如下图所示，已知☉O

上一点P，过点P画☉O

的切线．画法：（1）连接OP，为什么画出来的直线l是⊙O的切线呢？新课讲解做一做OP∟

已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线.OBAC证明：连接OC.

∵OA＝OB,CA＝CB,

∴OC是等腰△OAB底边AB上的中线.

∴AB⊥OC.

∵OC是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.新课讲解例1

如图,△ABC

中，AB

＝AC

，O是BC的中点，☉O

与AB

相切于E.求证：AC

是☉O的切线．BOCEAF新课讲解例2证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵☉O与AB相切于E

，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，

O是BC的中点．∴AO平分∠BAC，FBOCEA∴OE＝OF.∵OE是☉O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是☉O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.新课讲解(1)已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;(2)不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.证切线时辅助线的添加方法例1例2新课讲解证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.

∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C.

∴OP∥AC.

∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.

∴PE为☉O的切线.1.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P，PE⊥AC于E.

求证:PE是☉O的切线.OABCEP随堂即练2.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O

为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.

求证：CD与☉O相切．证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵☉O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与☉O相切．MN随堂即练3.已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF.（1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：

①_________；②_____________.（2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：

EF是☉O的切线.BA⊥EF∠CAE=∠BAFEOAFEOBCBC图1图2随堂即练证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴∠D+∠DAC=90°,∵∠D与∠B同对,∴∠D=∠B,又∵∠CAE=∠B,∴∠D=∠CAE,∴∠DAC+∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.AFEOBC图2D随堂即练切线的判定