江西省吉安市安福第三中学2021年高一数学文月考试题含解析

江西省吉安市安福第三中学2021年高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）使函数f（x）=2x﹣x2有零点的区间是（） A． （﹣3，﹣2） B． （﹣2，﹣1） C． （﹣1，0） D． （0，1）参考答案：C考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意先判断函数f（x）=2x﹣x2在其定义域上连续，再求函数值，从而确定零点所在的区间．解答： 函数f（x）=2x﹣x2在其定义域上连续，f（0）=1＞0，f（﹣1）=﹣1＜0；故f（0）f（﹣1）＜0；故选C．点评： 本题考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础题．2.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B3.下列函数中与函数相同的是(

)

A．

B． C． D．参考答案：A略4.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】先用a2分别表示出a1和a5，再根据等比中项的性质得a22=a1a5进而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D5.有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；(3)方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；(4)集合{x|4<x<5}是有限集．其中正确的说法是()A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)C．只有(2)

D．以上四种说法都不对参考答案：C略6.设集合，则的取值范围是（

）A．

B.C.或

D.或参考答案：A试题分析：因为，所以所以.故选A．考点：1、集合运算；2、绝对值不等式．【方法点睛】的几何意义是实数在数轴上对应的点离开原点的距离，所以的解集是；不等式的解集是．把不等式与中的替换成，就可以得到与型的不等式的解法．本题考查含有绝对值的不等式的解法和集合的运算，属于基础题．7.（5分）cos210°等于（） A． B． ﹣ C． ﹣ D． 参考答案：C考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 三角函数的求值．分析： 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答： cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．8.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且，若a3+a5=20，a2a6=64，则S4=（）A．63或126 B．252 C．120 D．63参考答案：C【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{an}公比为q，且0＜q=，根据a3+a5=20，a2a6=64=a3a5，解得a3=16，a5=4．可得q2=，0＜q＜1，解得q，a1，利用求和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{an}公比为q，且0＜q=，∵a3+a5=20，a2a6=64=a3a5，解得a3=16，a5=4．∴q2=，0＜q＜1，解得q=，∴=16，解得a1=64．则S4==120．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知集合A是集合的一个子集，且对任意，都有，则集合A中的元素最多有（

）A．67个

B．68个C．69个

D．70个参考答案：A10.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则△ABC的面积为（

）A．

B．

C．1

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第

天？参考答案：25【考点】分段函数的应用．【分析】先设日销售金额为y元，根据y=P?Q写出函数y的解析式，再分类讨论：当0＜t＜25，t∈N+时，和当25≤t≤30，t∈N+时，分别求出各段上函数的最大值，最后综合得出这种商品日销售额的最大值即可．【解答】解：设日销售金额为y（元），则y=p?Q．∴=当0＜t＜25，t∈N，t=10时，ymax=900（元）；当25≤t≤30，t∈N，t=25时，ymax=1125（元）．由1125＞900，知ymax=1125（元），且第25天，日销售额最大12.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是

．参考答案：13.设函数的最小正周期为π，且其图象关于直线x=对称，则在下面四个结论中：（1）图象关于点对称；（2）图象关于点对称；（3）在上是增函数；（4）在上是增函数，那么所有正确结论的编号为．参考答案：（2）（4）【考点】H6：正弦函数的对称性；H5：正弦函数的单调性．【分析】首先由三角函数周期公式和对称轴方程，求出ω=2和φ=，然后再由三角函数图象关于对称性的规律：对称轴处取最值，对称中心为零点．由此再结合函数的最小正周期，则不难从（1）、（2）中选出．再解一个不等式：，取适当的k值，就可以从（3）、（4）中选出是（4）正确的．【解答】解：因为函数最小正周期为=π，故ω=2再根据图象关于直线对称，得出取，得φ=所以函数表达式为：当时，函数值，因此函数图象关于点对称所以（2）是正确的解不等式：得函数的增区间为：所以（4）正确的．故答案为（2）（4）【点评】本题着重考查了三角函数的周期性、对称性和单调性，属于中档题．熟悉三角函数的图象与性质，能对正余弦曲线进行合理地变形，找出其中的规律所在，是解决本题的关键．14.设a＞0，b＞0，a+4b+ab=3，则ab的最大值为_________．参考答案：115.设等差数列的前项和为，首项，.则中最小的项为

．参考答案：16.（5分）过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标是

．参考答案：（1，2）考点： 指数函数的图像与性质．专题： 计算题．分析： 先设A（n，2n），B（m，2m），则由过B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C写出点C的坐标，再依据AC平行于y轴得出m，n之间的关系：n=，最后根据A，B，O三点共线．利用斜率相等即可求得点A的坐标．解答： 设A（n，2n），B（m，2m），则C（，2m），∵AC平行于y轴，∴n=，∴A（，2n），B（m，2m），又A，B，O三点共线．∴kOA=kOB即?n=m﹣1又n=，n=1，则点A的坐标是（1，2）故答案为：（1，2）．点评： 本题主要考查了指数函数的图象与性质、直线的斜率公式、三点共线的判定方法等，属于基础题．17.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_______。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）设定义在上的函数,满足当时,,且对任意,有,（1）解不等式（2）解方程参考答案：19.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥平面BDE；(2)求证：平面PAC⊥平面BDE．参考答案：证明：（1）连结EO，在△PAC中，∵O是AC的中点，E是PC的中点，

∴OE∥AP又∵OE平面BDE，PA平面BDE，∴PA∥平面BDE（2）∵PO底面ABCD，∴POBD又∵ACBD，且ACPO＝O，∴BD平面PAC．而BD平面BDE，∴平面PAC平面BDE。【分析】(1)连结OE，证明OE∥PA，即证PA∥平面BDE.(2)先证明BD⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面BDE．【详解】(1)证明：连结OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA.∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.在正方形ABCD中，BD⊥AC.又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.又∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间想象转化能力.20.已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）化简（﹣1≤x≤2），再利用换元法得g（t）=t2﹣2λt+3（）；从而代入λ=求函数的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（），讨论λ以确定函数的最小值及最小值点，从而求λ．【解答】解：（1）（﹣1≤x≤2）设，得g（t）=t2﹣2λt+3（）．当时，（）．所以，．所以，，故函数f（x）的值域为[，]．（2）由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（）①当时，，令，得，不符合舍去；②当时，，令﹣λ2+3=1，得，或，不符合舍去；③当λ＞2时，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，令﹣4λ+7=1，得，不符合舍去．综上所述，实数λ的值为．21.（本小题满分12分）已知数列满足：，其中为的前n项和．(Ⅰ)求的通项公式；

(Ⅱ)若数列满足，求的前n项和Tn．参考答案：解：（Ⅰ）①当n=1时，，得

②当时，

……………………3′

所以，数列是以首项为，公比为的等比数列。

………………5′

（Ⅱ）∵∴

…①

………7′又

…②…8′

由①－②得：

……10′

………12′22.（12分）已知函数，（1）证明函数f（x）为增函数；（2）求f（x）的最小值．参考答案：考点： 函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）将函数式化为：，任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，根据增函数的定义，通过作差证明即f（x1）＜f（x2