《新教材》人教A版数学数学训练4-5-2用二分法求方程的近似解

4.5.2用二分法求方程的近似解课后篇巩固提升合格考达标练1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间()A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)C.(1.5,2) D.不能确定答案B解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.25)f(1.5)<0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.2.(2021江西上高二中高二期末)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为()A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.5答案A解析由表格中参考数据可得f(1.43750)>0,f(1.40625)<0,又因为题中要求精确到0.1,所以近似根为1.4,故选A.3.(多选题)下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法错误的是()A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值答案BCD解析x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,所以A正确;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零点,所以B错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以C错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以D错误.故选BCD.4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为.

答案[2,2.5]解析因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0,所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0.所以下一个有解区间应为[2,2.5].5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值:x11.251.3751.40651.4381.51.6251.751.8752f(x)-2-0.984-0.260-0.0520.1650.6251.9822.6454.356由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为.(精确到0.1)

答案1.4解析由题中表格对应的数值可得,函数零点一定在区间[1.4065,1.438]上,由精确度可知近似解可为1.4.6.已知函数f(x)=lnx+2x-6.(1)证明:f(x)有且只有一个零点;(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于14(1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=lnx1x2+2(x1-x2),且x1x2>1,x∴f(x1)>f(x2),即f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)至多有一个零点.又f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,∴f(2)·f(3)<0,即f(x)在(2,3)内有一个零点.∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=2+32=52,f52=ln52∴f(3)f52<0,即f(x)零点x0∈52,3.取x2=52+32=114,则f114=∴f52f114<0.∴x0∈52,114.又114-5∴满足题意的区间为52,11等级考提升练7.在用二分法求2的近似值的过程中,可以构造函数f(x)=x2-2(x>0),我们知道f(1)·f(2)<0,所以2∈(1,2),要使2的近似值满足精确度为0.1,则对区间(1,2)至少二等分的次数为()A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析设要计算n次,则n满足12n<0.1,即2n>10.故计算4所以将区间(1,2)等分的次数为4次.故选B.8.用二分法求方程lnx-1x=0在[1,2]上的根时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为(A.(1,1.25) B.(1,1.5)C.(1,2) D.(1.5,2)答案D解析令f(x)=lnx-1x,因为f(1)=-1<0,f(2)=ln2-12=ln2-lne12>ln2-ln412f(1.5)=ln32-23=ln32-23lne=13ln(32)3-13lne2=13ln278-lne9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是(A.f54 B.f(2) C.f(1) D.f32答案BD解析由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;②零点在区间(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;③零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点32;④零点在区间1,32内,则有f(1)·f32<0,则f(1)>0,f32<0,则取中点54;⑤零点在区间54,32内,则有f54·f32<0,则f54>0,f32<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32.10.已知函数f(x)=ln(x+1)+2x-m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法求得方程ln(x+1)+2x-m=0的近似解(精确度0.05)可能是()A.0.625 B.-0.009 C.0.5625 D.0.066答案C解析设近似解为x0,因为f(0.53125)<0,f(0.5625)>0,所以x0∈(0.53125,0.5625).因为0.5625-0.53125=0.03125<0.05,所以方程的近似解可取为0.5625,故选C.11.(2020湖北黄石高一期中)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈-0.029f(1.5500)≈-0.060据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为(精确到0.01).

答案1.56解析由表知,f(1.5562)=-0.029,f(1.5625)=0.003,则f(1.5562)f(1.5625)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.12.证明函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,并指出用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行多少次函数值的计算.解因为f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=x3-x2+5在区间[-2,-1]上有零点x0.至少需要进行3次函数值的计算,理由如下:取区间[-2,-1]的中点x1=-2-12=-32,且f-32=-278-所以x0∈-32,-1.取区间-32,-1的中点x2=-32-1且f-54=(-54)3所以x0∈-32,-54.取区间-32,-54的中点x3=-54-322=-118,且f-118所以x0∈-32,-118.因为-118--32<0.2,所以区间-32,-118的中点x4=-32-1182=-2316即为零点的近似值,即x0≈新情境创新练13.(2020云南曲靖高一期中)已知函数f(x)=x.(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明;(2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1,3)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确度0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据:1.25≈1.18,1.5≈1.225,1.75≈1.323,log21.25≈0.32,log21.5≈0.585,log21解(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.理由如下:令0≤x1<x2,由于f(x1)-f(x2)=x1-即f(x1)<f(x2),故函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数.(2)g(x)=x+log2x-2是增函数.∵g(1)=1+log21-2=-1<0,g(3)=3+log23-2>0,g(2)=2+log22-2=2-1>0,∴函数