黑龙江省哈尔滨市道里区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（五四学制）（含解析）

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一、选择题。（每题3分，共30分）

1．（3分）二元一次方程x+y＝2023（）

A．只有一个解B．只有两个解C．无数个解D．无解

2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．2，3，6B．4，5，9C．2，2，5D．3，4，5

3．（3分）在如图中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（）

A．B．

C．D．

4．（3分）已知a＜b，下面四个不等式中不正确的是（）

A．3a＜3bB．a+3＜b+3C．﹣3a＜﹣3bD．a﹣3＜b﹣3

5．（3分）在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（）

A．最大值与最小值B．平均状态

C．分布规律D．波动大小

6．（3分）一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

7．（3分）如图，将△ACD沿AD翻折，点C落在AB上的点C′处，若∠BC′D＝120°，∠B＝40°（）

A．80°B．60°C．50°D．40°

8．（3分）在平面直角坐标系中，（2﹣m，m﹣3）在第二象限，则m的取值范围是（（）

A．m＞2B．m＞3C．m＜2D．2＜m＜3

9．（3分）足球比赛的得分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队一共进行了14场比赛，共得19分．设该球队胜了x场，平了y场（）

A．B．

C．D．

10．（3分）m，n为实数，若关于x无解，则关于a的不等式ma＞（）

A．a＞﹣B．a＞﹣3C．a＜﹣D．a＜﹣3

二、填空题。（每题3分，共24分）

11．（3分）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是．

12．（3分）如果|x﹣3|＝3﹣x，则x的范围是．

13．（3分）已知x＝1，y＝﹣2是方程3mx﹣2y＝7的解，则m的值为．

14．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是边形．

15．（3分）不等式组的解集是x＞3，那么α的取值范围是．

16．（3分）如图，△ABC的两条中线BE，CF交于点O，则四边形AFOE的面积是．

17．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：

成绩（单位：米）1.541.631.681.741.751.821.851.92

人数35224211

这些运动员成绩的中位数为．

18．（3分）△ABC的角平分线BD与角平分线CE交于点F，连接AF，若∠FBC＝25°，则∠FAD为度．

三、解答题。（66分）

19．（8分）解不等式：

（1）5x+10＞3x﹣2；

（2）≥﹣1．

20．（8分）解方程组：

（1）；

（2）．

21．（6分）如图，ABCDE为正五边形．

（1）求∠A的度数；

（2）连接BD，CE，求证：BD＝CE．

22．（8分）某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图．

（1）这50名同学竞赛成绩的众数为多少（直接写答案，不必说明理由）？

（2）求这50名同学的平均成绩？

（3）甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为：60，90，70，70（单位：分），求这5个数据的方差．

23．（6分）x取哪些整数值时，不等式5x﹣2＞3（x﹣1）与都成立？

24．（10分）四边形ABCD，AD⊥CD，点E在CD上，点F在AE上，连接CF

（1）如图1，求证：∠CFE＝2∠DAE；

（2）如图2，点G在AE上，连接BG，∠ABG＝2∠DAE，∠BAD﹣∠CFE＝90°；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作CD的平行线交AD于点H，AF＝6，求HG的值．

25．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴上，点B在y轴上，点B的纵坐标为b，b满足方程组．

（1）求a，b的值；

（2）如图1，过点O作AB的垂线，点C为垂足，线段OP的长为t，△OPC的面积为S（S≠0），不要求写出t的范围；

（3）在（2）的条件下，如图2，∠ODB＝90°，连接DP，S＝，求OD的长．

参考答案与试题解析

一、选择题。（每题3分，共30分）

1．（3分）二元一次方程x+y＝2023（）

A．只有一个解B．只有两个解C．无数个解D．无解

【分析】根据二元一次方程的解的意义即可得解．

【解答】解：根据题意，方程x+y＝2023的有无数个解，

故选：C．

【点评】本题主要考查了二元一次方程的解的意义，解题时要能理解题意，分析未知数间的关系．

2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．2，3，6B．4，5，9C．2，2，5D．3，4，5

【分析】根据三角形三边关系可进行求解．

【解答】解：A、2+3＜8，故不能构成三角形；

B、4+5＝3，故不能构成三角形；

C、2+2＜6，故不能构成三角形；

D、3+4＞5，能构成三角形．

故选：D．

【点评】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．

3．（3分）在如图中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（）

A．B．

C．D．

【分析】过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．

【解答】解：由题可得，过点A作BC的垂线段，则AD是△ABC的边BC上的高，

所以D选项符合题意，

故选：D．

【点评】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．

4．（3分）已知a＜b，下面四个不等式中不正确的是（）

A．3a＜3bB．a+3＜b+3C．﹣3a＜﹣3bD．a﹣3＜b﹣3

【分析】根据不等式的性质，可得答案．

【解答】解：A、不等式的两边都乘以3，故A正确；

B、不等式的两边都加3，故B正确；

C、不等式的两边都乘以﹣7，故C错误；

D、不等式的两边都减3，故D正确；

故选：C．

【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱；不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

5．（3分）在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（）

A．最大值与最小值B．平均状态

C．分布规律D．波动大小

【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好求解即可．

【解答】解：在统计中，方差可以近似地反映数据的波动大小，

故选：D．

【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．

6．（3分）一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【分析】根据多边形的外角与内角的关系解决此题．

【解答】解：由题意得，这个多边形的每一个外角均相等．

∴每一个外角的度数整除360°．

∵30°、40°，50°不能整除360°，

∴选项C符合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查多边形的外角与内角，熟练掌握多边形的外角与内角的关系是解决本题的关键．

7．（3分）如图，将△ACD沿AD翻折，点C落在AB上的点C′处，若∠BC′D＝120°，∠B＝40°（）

A．80°B．60°C．50°D．40°

【分析】依据邻补角可得∠AC'D的度数，再根据折叠即可得到∠C的度数，最后根据三角形内角和定理以及折叠的性质，即可得到∠DAC的度数．

【解答】解：∵∠BC'D＝120°，

∴∠AC'D＝60°，

由折叠可得∠C＝∠AC'D＝60°，

又∵∠B＝40°，

∴∠BAC＝80°，

由折叠可得∠DAC＝∠BAC＝40°，

故选：D．

【点评】本题主要考查了折叠问题以及三角形内角和定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

8．（3分）在平面直角坐标系中，（2﹣m，m﹣3）在第二象限，则m的取值范围是（（）

A．m＞2B．m＞3C．m＜2D．2＜m＜3

【分析】先根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

【解答】解：∵（2﹣m，m﹣3）在第二象限，

∴，

解不等式①得：m＞2，

解不等式②得：m＞3，

∴原不等式组的解集为：m＞6，

故选：B．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

9．（3分）足球比赛的得分规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队一共进行了14场比赛，共得19分．设该球队胜了x场，平了y场（）

A．B．

C．D．

【分析】设该球队胜了x场，平了y场，根据进行14场比赛，其中负了5场，共得19分，列方程组．

【解答】解：设该球队胜了x场，平了y场，

由题意得．

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

10．（3分）m，n为实数，若关于x无解，则关于a的不等式ma＞（）

A．a＞﹣B．a＞﹣3C．a＜﹣D．a＜﹣3

【分析】方程组无解，说明其解的分母为0，由此得到m与n的关系，从而判断m的正负，进而可以求解关于a的不等式ma＞的解集．

【解答】解：由x﹣my＝2，得

x＝my+2，代入n3x+3y＝5，

得（mn4+3）y＝5﹣3n2，解得y＝．

∵该方程组无解，

∴mn2+3＝3，

∴mn2＝﹣3，

∴m＝﹣＜0．

∴关于a的不等式ma＞的解集为a＜．

故选：C．

【点评】本题考查解二元一次方程组，比较简单，但内容极其重要，必须能够熟练掌握．

二、填空题。（每题3分，共24分）

11．（3分）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形的稳定性．

【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．

【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性．

【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．

12．（3分）如果|x﹣3|＝3﹣x，则x的范围是x≤3．

【分析】根据绝对值的取值得出结论即可．

【解答】解：∵|x﹣3|＝3﹣x，

∴x﹣6≤0，

解得x≤3，

故答案为：x≤2．

【点评】本题主要考查绝对值的知识，熟练掌握绝对值的计算是解题的关键．

13．（3分）已知x＝1，y＝﹣2是方程3mx﹣2y＝7的解，则m的值为1．

【分析】根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，那么得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而求出m的值．

【解答】解：把x＝1，y＝﹣2代入二元一次方程5mx﹣2y＝7，得

8m+4＝7，

解得m＝4．

故答案为：1．

【点评】此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数m为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．

14．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形．

【分析】根据多边形的内角和与外角和的计算方法列方程求解即可．

【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，

（n﹣2）×180°＝360°×2，

解得n＝5，

即这个多边形为六边形，

故答案为：六．

【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和、外角和的计算方法是正确解答的前提．

15．（3分）不等式组的解集是x＞3，那么α的取值范围是a≤3．

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

【解答】解：，

解不等式①得：x＞3，

解不等式②得：x＞a，

∵不等式组的解集是x＞3，

∴a≤3，

故答案为：a≤3．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

16．（3分）如图，△ABC的两条中线BE，CF交于点O，则四边形AFOE的面积是4．

【分析】连接EF，OA，设S△AOE＝S，先证S△AOE＝S△COE＝S，S△AOF＝S△BOF，再由EF∥BC得S△BCE＝S△BCF，进而得S△COE＝S△BOF＝S，则S△ABE＝S△BOF+S△AOF+S△AOE＝3S，然后证S△ABE＝S△CBE＝S△ABC＝6，则S＝2，据此即可得出答案．

【解答】解：连接EF，OA△AOE＝S，如图所示：

∵BE、CF为△ABC的两条中线，

∴AE＝CE，AF＝BF，

∴△AOE和△COE等底同高，△AOF和△BOF等底同高，

∴S△AOE＝S△COE＝S，S△AOF＝S△BOF，

∵EF为△ABC的中位线，

∴EF∥BC，

∴△BCE和△BCF同底等高，

∴S△BCE＝S△BCF，

即：S△OBC+S△COE＝S△OBC+S△BOF，

∴S△COE＝S△BOF＝S，

∴S△AOF＝S△BOF＝S△AOE＝S△COE＝S，

∴S△ABE＝S△BOF+S△AOF+S△AOE＝3S，

∵AE＝CE，

∴△ABE和△CBE等底同高，

∴S△ABE＝S△CBE＝S△ABC＝×2＝6，

∴3S＝8，

∴S＝2，

S四边形AFOE＝S△AOF+S△AOE＝2S＝4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了是三角形的中线和三角形的中位线，解答此题的关键是理解平行线间的距离；三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；同底（或等底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等．

17．（3分）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：

成绩（单位：米）1.541.631.681.741.751.821.851.92

人数35224211

这些运动员成绩的中位数为1.71．

【分析】根据中位数的定义进行计算即可．

【解答】解：将这20名运动员的跳高成绩从小到大排列，处在第10＝1.71，

因此中位数是1.71，

故答案为：5.71．

【点评】本题考查中位数，理解中位数的定义是正确解答的关键．

18．（3分）△ABC的角平分线BD与角平分线CE交于点F，连接AF，若∠FBC＝25°，则∠FAD为40度．

【分析】作FM⊥AC于M，FN⊥AB于N，FP⊥BC于P，根据角平分线的性质与判定可证AF平分∠BAC．利用HL证明Rt△FEN≌Rt△FDM，得出∠FEN＝∠FDM，再证明∠FBE＝∠FCD．根据角平分线的定义求出∠ABC＝∠ACB＝50°，进而求出∠FAD＝∠BAC＝40°．

【解答】解：如图，作FM⊥AC于M，FP⊥BC于P，

∵△ABC的角平分线BD与角平分线CE交于点F，

∴FN＝FP，FP＝FM，

∴FN＝FM，

∴AF平分∠BAC．

在Rt△FEN与Rt△FDM中，

，

∴Rt△FEN≌Rt△FDM（HL），

∴∠FEN＝∠FDM，

∴∠FBE+∠BFE＝∠FCD+∠CFD，

∵∠BFE＝∠CFD，

∴∠FBE＝∠FCD．

∵BD、CE是△ABC的角平分线，

∴∠ABC＝2∠FBE＝2∠FBC＝6×25°＝50°，

∠ACB＝2∠FCD＝2∠FBE＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝80°，

∴∠FAD＝∠BAC＝40°．

故答案为：40．

【点评】本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，综合性较强，准确作出辅助线是解题的关键．

三、解答题。（66分）

19．（8分）解不等式：

（1）5x+10＞3x﹣2；

（2）≥﹣1．

【分析】（1）不等式移项，合并同类项，化系数为1即可；

（2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1即可．

【解答】解：（1）5x+10＞3x﹣7，

5x﹣3x＞﹣6﹣10，

2x＞﹣12，

x＞﹣6；

（2）≥﹣1，

8（x﹣1）≥3（4x+5）﹣12，

2x﹣8≥6x+15﹣12，

2x﹣5x≥15+2﹣12，

﹣4x≥7，

x≤．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．

20．（8分）解方程组：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用代入消元法进行求解即可；

（2）利用加减消元法进行求解即可．

【解答】解：（1），

把②代入①得：6（5y﹣7）﹣8y＝1，

解得：y＝2，

把y＝5代入②得：x＝10﹣7＝3，

故原方程组的解是：；

（2），

整理得：，

①×7得：35x+77y＝84③，

②×5得：﹣35x﹣45y＝﹣100④，

③+④得：32y＝﹣16，

解得：y＝﹣，

把y＝﹣代入①得：5x﹣，

解得：x＝，

故原方程组的解是：．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．

21．（6分）如图，ABCDE为正五边形．

（1）求∠A的度数；

（2）连接BD，CE，求证：BD＝CE．

【分析】（1）根据正五边形的性质以及内角和的计算方法进行计算即可；

（2）利用正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质进行解答即可．

【解答】解：（1）正五边形的每一个内角的度数为：＝108°，

即∠A＝108°；

（2）∵五边形ABCDE是正五边形，

∴BC＝CD＝DE，∠BCD＝∠CDE＝108°，

∴△BCD≌△EDC（SAS），

∴BD＝EC．

【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质是正确解答的关键．

22．（8分）某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图．

（1）这50名同学竞赛成绩的众数为多少（直接写答案，不必说明理由）？

（2）求这50名同学的平均成绩？

（3）甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为：60，90，70，70（单位：分），求这5个数据的方差．

【分析】（1）根据众数的定义即可得出答案；

（2）根据平均数公式计算即可；

（3）根据方差公式计算即可．

【解答】解：（1）由图可知，这50名同学竞赛成绩的众数为80；

（2）＝＝80（分），

答：这50名同学的平均成绩为80分；

（3），

答：这5个数据的方差为120．

【点评】本题考查了加权平均数、众数和方差，熟练掌握加权平均数、众数和方差的定义和计算方法是关键．

23．（6分）x取哪些整数值时，不等式5x﹣2＞3（x﹣1）与都成立？

【分析】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．

【解答】解：解不等式组，得，

所以x可取的整数值是0，1，2．

即当x为0，1，2时都成立．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．

24．（10分）四边形ABCD，AD⊥CD，点E在CD上，点F在AE上，连接CF

（1）如图1，求证：∠CFE＝2∠DAE；

（2）如图2，点G在AE上，连接BG，∠ABG＝2∠DAE，∠BAD﹣∠CFE＝90°；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作CD的平行线交AD于点H，AF＝6，求HG的值．

【分析】（1）由AD⊥CD，得∠D＝90°，则∠AED＝90°﹣∠DAE，由∠FCE+3∠DAE＝∠D，得∠FCE＝90°﹣3∠DAE，所以∠CFE＝∠AED﹣∠FCE＝（90°﹣∠DAE）﹣（90°﹣3∠DAE）＝2∠DAE；

（2）由∠ABG＝2∠DAE，∠CFE＝2∠DAE，得∠ABG＝∠CFE，由∠BAD﹣∠CFE＝90°，∠BAD＝∠BAG+DAE，得∠BAG+∠DAE﹣2DAE＝90°，则∠BAG＝90°+∠DAE，而∠FEC＝∠D+∠DAE＝90°+∠DAE，所以∠BAG＝∠FEC，即可证明△BAG≌△FEC，得AG＝EC；

（3）延长ED于点P，使DP＝DE，连接AP，可证明△ADP≌△ADE，得∠DAP＝∠DAE，由CE＝2DE，PE＝2DE，得CE＝PE，可证明△CEQ≌△PEL，得CQ＝PL，QE＝LE，再证明△CFQ≌△PAL，得FQ＝AL，可推导出LQ＝AF＝6，则QE＝LE＝LQ＝3，进而证明△AGH≌△CEQ，则HG＝QE＝3．

【解答】（1）证明：∵AD⊥CD，

∴∠D＝90°，

∴∠AED＝90°﹣∠DAE，

∵∠FCE+3∠DAE＝∠D，

∴∠FCE＝90°﹣3∠DAE，

∴∠AED﹣∠FCE＝（90°﹣∠DAE）﹣（90°﹣5∠DAE）＝2∠DAE，

∵∠CFE＝∠AED﹣∠FCE，

∴∠CFE＝2∠DAE．

（2）证明：∵∠ABG＝4∠DAE，∠CFE＝2∠DAE，

∴∠ABG＝∠CFE，

∵∠BAD﹣∠CFE＝90°，∠BAD＝∠BAG+DAE，

∴∠BAG+∠DAE﹣2DAE＝90°，

∴∠BAG＝90°+∠DAE，

∵∠FEC＝∠D+∠DAE＝90°+∠DAE，

∴∠BAG＝∠FEC，

在△BAG和△FEC中，

，

∴△BAG≌△FEC（AAS），

∴AG＝EC．

（3）解：如图8，延长ED于点P，连接AP，

在△ADP和△ADE中，

，

∴△ADP≌△ADE（SAS），

∴∠DAP＝∠DAE，

∵CE＝2DE，PE＝2DE，

∴CE＝PE，

作PL⊥AE于点L，CQ⊥AE交AE的延长线于点Q，

在△CEQ和△PEL中，

，

∴△CEQ≌△PEL（AAS），

∴CQ＝PL，QE＝LE，

∵∠CFE＝8∠DAE，∠PAE＝2∠DAE，

∴∠CFE＝∠PAE，

在△CFQ和△PAL中，

，

∴△CFQ≌△PAL（AAS），

∴FQ＝AL，

∴FQ﹣FL＝AL﹣FL，

∴LQ＝AF＝6，

∴QE＝LE＝LQ＝，

∵∠GAH+∠AED＝90°，∠ECQ+∠CEQ＝90°，

∴∠GAH＝∠ECQ，

∵GH∥CD，

∴∠AHG＝∠ADE＝90°＝∠Q，

在△AGH和△CEQ中，

，

∴△AGH≌△CEQ（AAS），

∴H