2023年北京丰台区高三上学期期末数学试题及答案

丰台区2022～学年度第一学期期末练习高三数学2023.011.答题前考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,条形码。考生2.2B铅笔以正确填涂方式将各须知小题对应选项涂黑如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答习卷、草稿纸上答题无效。4.本练习卷满分共150作答时长120分钟。第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集U=R，集合A={x|1x，则（A）(−−,,B(−−,,（）（）(−−（D）(−−2．已知复数z=+i)，则在复平面内，复数z对应的点位于（A）第一象限（）第二象限（C）第三象限D）第四象限D）4823．在(x−)4的展开式中，常数项为x（A）-（）24）-a=)，b=，则“=2”是“ab”的4．已知向量（A）充分而不必要条件（）充分必要条件B）必要而不充分条件D）既不充分也不必要条件5．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（A）y=1−x2（）y=x（）y=xxD）y=ex+e−x6．已知抛物线C:y22px=(p0)过点A,2)，焦点为F.若点B(0)满足=,则m的值为（A）2B）2+1（C）2或−1D）2+1或1−2高三数学第1页（共6页）7．已知函数f(x)=3log2x−2(x−，则不等式f(x)0的解集是（A）4)）(−,（）,D）x22y228．设双曲线C:−=ab的右焦点为，过点F的直线l平行于双曲线C的一abPC交于点QQ为线段双曲线C的离心率为1222455（A）B）C）2D）9．如图，在四棱锥P−中，底面ABCD是边长为3的正方形，PDABCDM为底面上的动点，M到的距离记为，若MC=2d，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为2π（A）2B）D）3π4（）510．市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类.化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现市场占有率”.有，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率40%30%30%.2022年第二季度ABC三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场A率”为（A）45%）48%C）D）52%第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共1函数f(x)=+x+1的定义域是_________.2x−112.在等差数列a}d不为0a=9aaad=_________；n1145高三数学第2页（共6页）当n=_________时，数列a}nS有最大值.nn13.已知集合A(xy)|xym0xy=,−−=,,，B=(y)|x2+y2−2x+2y=xy，若A为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是_________.πππππ14.已知函数f(x)=x+0)，若f()=f()，且f(x)在区间(,)上有最小值66262=无最大值，则_________．15.已知函数f(x)=ax−(x−2(aR)存在两个极值点xx(xx)12121①函数f(x)有零点；a的取值范围是(−+)；2③21；④f(x2)0.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）ABCD−ABCDE是棱BC的中点.1111（Ⅰ）求证：平面DCE；11（Ⅱ）若点F是线段BD的中点，求直线DF与平面DCE所11成角的正弦值.高三数学第3页（共6页）17.（本小题14分）在△ABC中，2asinB=2b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b=22，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．10条件①：cosC=−；10条件②：a2；=5条件③：sinB=.5注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.（本小题史文化成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：,20)，[2030)，,，[40,50)，,，[60，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；22人中年龄不超过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望E(X)；估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为mn出m与n的大小关系.（结论不要求证明）高三数学第4页（共6页）19.（本小题x2a2y2b222已知椭圆E:+=ab0)过点,,离心率为(2.（Ⅰ）求椭圆E的方程；P)(m与椭圆E的另一个交点为O为坐标原点,BE的右顶点记直线OP的斜率为k,直线的斜率为k,求证：kk为定值.121220.（本小题已知函数f(x)=x+x.（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点,f处的切线方程；（Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最小值；（Ⅲ）证明函数f(x)只有一个零点.高三数学第5页（共6页）21.（本小题{n}满足：n*n+.a则称数n1设为正实数，若各项均为正数的数列，都有列{n}为P()数列.（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P(2)数列：数列A：，，813；数列B：log25，π，5，10.{b}满足b0且b=n1n+n+3−n+1{n}n1是P()数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.{a}是P{a}的前m(m项和a+a+a++amnn123为150，求a+m的最小值及取得最小值时a的所有可能取值.mm（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）高三数学第6页（共6页）丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习参考答案高三数学2023.一、选择题共10小题，每小题4分，共分．题号答案12345678910CBCBADCACB二、填空题共5小题，每小题5分，共分．．[−0)14．4,．−2；5．①④13．4)三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）D1C1（Ⅰ）证明：连接CD，交于点M，B111A1MFCDDCM是11D线段CD1的中点，CEAB，因为E为棱的中点，EM//BD1，EM平面DCE，BD平面DCE，111//平面DCE.………………5分11（Ⅱ）解：设正方体ABCD−ABCD的棱长为1,1111zD1C1以D为坐标原点，DA，，1所在的直B1A1线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间F直角坐标系，则D0)，B0)，D，C，D11yCEC0)，BAx因为点F是线段BD1的中点，E为棱的中点，1111F(,,)，E(0)，2222高三数学答案1页（共6页）11=(,,)，=，=(0).12222设u=(yz)是平面1E的一个法向量，则u1=y+z=,uDE=x+y=0.2取y=1，则x=2，z=1.于是u=是平面1E的一个法向量.设直线DF与平面1E所成角为所以sin=cosDFu=，1212−1−u2=，DFu33622所以直线DF与平面1E所成角的正弦值为.………………分317.（本小题14分）ab=aB=bA，ABC中，由正弦定理因为2asinB=2b，得sinAsinB所以bsinA=b，因为，b02所以sinA=，2因为0Aπ，π3π所以A=或A=；………………7分44（Ⅱ）若选择①，在△ABC中，0Cπ，10310因为cosC=−，所以sinC=．1010π又因为A==，A+B+C=π4ππ所以sinB=sin(AC)sincosCsinC+=+442102310105(−)+()=21025高三数学答案2页（共6页）5=，5310522bsinCsinB在△ABC中，由正弦定理可得c===6，5121222所以△ABC.………………分若选择②，abbsinA=，所以sinB=在△ABC中，因为，sinAsinBa2因为a，b=22，sinA=，2222所以sinB==1，22πBπ)因为，所以B=，2所以b2，所以c2=b2−a2=4，所以c2，=12122所以△．218.（本小题14分）+++a++=1a=所以0.018；………………3分（Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A，P()=10(0.004+0.012+0.014)=0.3，所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过岁的概率为0.3.X可能取值为0,1,2.P(X==C2P(X==20.3=；P(X==2=.02=0.49；122所以X的分布列为X012P0.490.420.09E(X)=00.49+10.42+20.09=0.6.X~B(2E(X)=20.3=0.6……………分（或因为（Ⅲ）mn.19.（本小题15分），所以）………………分高三数学答案3页（共6页）a=,c=2,a2=+a2b2c2,解得a2=4，b2=2.x2y2所以椭圆E的方程是+=1.………………5分42m（Ⅱ）因为(，P(2m)，所以直线的方程为y=(x+2)m0（）.4my=(x+2)由4得(m2+8)x2+4m2x+4m2−32=0，x2+2y2=4即(x+2)[(m2+8)x+(2m2−16)]=0.2m2−16m2+8因为点A的横坐标为−2，所以点C的横坐标为x=−，m2m2−16m2+88mm2+8代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为y=(−+2)=，4即C(−2m2−16,8m).m2+8m2+8B的坐标为(2,0)，8m+82m22m2−16m2+8k2==−，m−−2mm2又因为1=，所以kk=(−)=−1.1222m即kk为定值−1.………………分1220.（本小题15分）f(x)1=+cosx，所以f=1+cos1，x又fsin1，=所以曲线y=f(x)在点,f处的切线方程为ysin1cos1)(x，−=+−即yxsin1cos11；=++−−………………4分1=+cosx，（Ⅱ）因为f(x)x1因为y=和y=x均在区间因为e]上单调递减，x所以f(x)在区间e]上单调递减，11e21e1因为f=1+cos10，f(e)=+cose+cos=−0，e32高三数学答案4页（共6页）=所以f(x)0在e)上有且只有一个零点，记为x，0所以xx)时，f(x)0；x(xe]时，f(x)0，00所以f(x)在区间x)上单调递增，在区间(xe]上单调递减.00因为fsin1f(e)=1+sine，所以=f(x)在区间e]上的最小值为sin1.,………………分（Ⅲ）函数f(x)的定义域为{x|x，由（Ⅱ）知，f(x)在区间e]上的最小值0，又当x(ef(x)lne+sinx=1+sinx0)时，，所以f(x)在区间上没有零点；)1当x时，f(x)=+cosx0，所以f(x)在区间(0上单调递增，x11因为f()=−1+sin,f=sin10，ee所以f(x)在区间(0上仅存在一个零点；f(x)有且仅有一个零点.………………分………………3分数列.21.（本小题14分）A是P(2)数列，数列BP(2)数列.{b}P()是数列.n（Ⅱ）不存在正实数，使得数列说明理由如下：假设存在正实数，使得数列nN*.{b}P()是n则n1n+，因为n1=n+n+3−n+1，21所以n1−n=n+3−n+1=，n+3+n+1n12当n时，n1−n，这与假设矛盾.{b}P()是数列.n所以不存在正实数，使得数列………………7分（Ⅲ）因为数列{n}是P数列，则n1n+1，aa+1m−2+2m−m所以所以mm1am1a−1am1−1m−2am−2−1m−3，……，，m−3，mm−2aa−1a−(m−aa−1a−(m−，23m12m高三数学答案5页（共6页）m(m−a+a+a++a−+2+3+=m−所以123mm2(m−即m−2m12所以m+−，m2150m12150m12所以m+m+−2=30−，m2m2a+mm所以的最小值不小于30.150m1a+m=m+−，假设，必有m22253m12，解得因为mN*，所以m=1112，，存在满足条件的数列当m=9a=21ma=a=a=a=a=a=a=a