河北省廊坊市东汪中学高三数学文上学期摸底试题含解析

河北省廊坊市东汪中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（

）A．

B．

C.

D．2参考答案：C2.在复平面内，复数

对应的点与原点的距离是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：

答案：B3.设平面向量等于参考答案：A4.在等边中，,且D,E是边BC的两个三等分点，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：B【知识点】向量的数量积.

F3解析：因为,所以==，故选B.【思路点拨】把所求数量积中的两向量，用已知模和夹角的两向量表示.

5.数列{an}中，，，则（）A.32 B.62 C.63 D.64参考答案：C【分析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.【详解】数列中，，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：（1），取倒数变形为；（2），变形为，也可以变形为；6.设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（

）

A.B.C.D.参考答案：B7.若，其中，是虚数单位，则（

）A．-3

B．-2

C．2

D．3参考答案：D8.若直线x=被曲线C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)p参考答案：C解：曲线C表示以(arcsina，arcsina)，(arccosa，－arccosa)为直径端点的圆．即以(α，α)及(－α，－+α)(α∈[－，])为直径端点的圆．而x=与圆交于圆的直径．故d=≥．9.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是

(

)A.

2个

B.

3个

C.4个

D.多于4个参考答案：C10.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A【知识点】直线与圆的位置关系【试题解析】的圆心为（1，0），半径为1．

圆心到直线的距离为所以较短弧长对的圆心角为

较长弧长对的圆心角为故弧长之比为1:2．

故答案为：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.展开式中，的系数为

（用数字作答）．参考答案：的展开式的通项为，所以，，所以的系数为，.12.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份达到最低价5千元，根据以上条件可确定的解析式为

参考答案：略13.已知函数，若的定义域中的、满足，则

.参考答案：-3【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】－3【试题分析】函数的定义域需满足，即，，，则，所以是奇函数，在其定义域内有又因为，则.故答案为－3.14.在边长为2的正中，则

参考答案：15.已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则___________.参考答案：1试题分析：∵，∴，又∵，分别是定义在上的偶函数和奇函数，∴，，∴，∴．考点：函数的奇偶性．16.曲线上切线平行于轴的切点坐标为_________________。参考答案：或17.已知为等差数列{}的前n项和，若＝1，＝4，则的值为

__________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，则面PAD⊥底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，O为中点。（Ⅰ）求证：PO⊥平面；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD，平面平面ABCD=AD，平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，，有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC．由（Ⅰ）知，PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．因为，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，tan∠PBO＝所以异面直线PB与CD所成的角是．（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．设，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，在Rt△POC中，所以PC=CD=DP,由得，解得，所以存在点Q满足题意，此时．解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系,依题意，易得，

所以

．所以异面直线与所成的角是．

(Ⅲ)假设存在点，使得它到平面PCD的距离为，由(Ⅱ)知设平面的法向量为.则所以

即，取,得平面PCD的一个法向量为.设由，得解或(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.【高考考点】本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。【易错提醒】第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在才可【备考提示】因为立几的难度一再降低,所以一定要求学生掌握坐标法,劳记公式.19.（本小题满分12分）数列的前项和记为，，．（1）当为何值时，数列是等比数列;（2）在（I）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，成等比数列，求．参考答案：（I）由，可得，两式相减得，∴当时，是等比数列，要使时，是等比数列，则只需，从而．

（II）设的公差为d，由得，于是，

故可设，又，由题意可得，解得，∵等差数列的前项和有最大值，∴

∴．20.（10分。坐标系与参数方程）

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线经过点P(1,1),倾斜角．（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．参考答案：解：（I）直线的参数方程是．

-----------------（5分）（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为．圆化为直角坐标系的方程．以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到

①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．所以|PA|·|PB|=|t1t2|＝|－2|＝2．

-----------------（12分）21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可证明平面PCD⊥平面PAD；（2）根据线面平行的性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD①又∵AB⊥AD，AB∥CD，∴CD⊥AD②由①②可得CD⊥平面PAD又CD?平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD（2）解：当点E是PC的中点时，BE∥平面PAD．证明如下：设PD的中点为F，连接EF，AF易得EF是△PCD的中位线∴EF∥CD，EF=CD由题设可得

AB∥CD，AF=CD∴EF∥AB，EF=AB∴四边形ABEF为平行四边形∴BE∥AF又BE?平面PAD，AF?平面PAD∴BE∥平面PAD22.(本题15分)已知函数，且对于任意实数，恒有F(x)=F(-x)。（1）求函数的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；（3）函数有几个零点？参考答案：解：（1）由题设得，，则，所以

所以对于任意实数恒成立.故.

…