【常考压轴题】2023学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）反比例函数K的三种考法（解析版）

反比例函数K的三种考法类型一、求K值例1．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（

）A．－ B．－ C．－ D．－【答案】A【详解】解：连接、，∵四边形是菱形，∴．∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，∴与、与关于原点对称，∴、经过点，∴．∵，∴．作轴于，轴于，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，故选：A．例2.如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3．则k=（

）A．3 B．3 C．6 D．9【答案】C【详解】解：设点坐标为．轴，，，，，，，．，，，，，．故选：C．【变式训练1】如图，函数的图象过矩形OBCD一边的中点，且图象过矩形OAPE的顶点P，若阴影部分面积为6，则k的值为______．【答案】6【详解】解：设函数图象过BC的中点，中点坐标为（m，），则C（m，），∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，∴k=6；若函数图象过CD的中点，中点坐标为（m，），则C（2m，），∴S阴影=S矩形OBCD-S矩形OAPE=2k-k=6，∴k=6．综上，k的值为6．故答案为：6．【变式训练2】如图，点，分别在函数与的图象上，线段的中点在轴上．若的面积为，则的值是______．【答案】4【详解】解：如图，作轴于，轴于，设，则，，线段的中点在轴上，点的横坐标为，设，则，，，，，，，故答案为：．【变式训练3】如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于，则的值为______．【答案】6【详解】解：如图，连接AO，过点A作AE⊥x轴于点E，∵AC=AB，AE⊥BC，∴，∵，∴，∴，∵∠AEC=∠DOC=90°，∠OCD=∠ECA，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：6．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线（x＞0）分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC的中点，连接EF．若△BEF的面积为5，则k的值是_____．【答案】20【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，∴E（a，b），F（a，b），∵E、F在反比例函数的图象上，∴ab＝k，∵S△BEF＝5，∴×a×b＝5，即ab＝5，∴ab＝40，∴k＝ab＝20．故答案为：20．【变式训练5】如图，在平面直角坐标系中，点A，B是反比例函数（，k为常数）的图像上两点（点A在第一象限，点B在第三象限），线段交x轴于点C，若，的面积分别为：和，则______________．【答案】12【详解】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示：∵，，∴，设点A的纵坐标为，则点B的纵坐标为-2m，∴点A的横坐标为，点B的横坐标为：，设点C的坐标为：，，则，，∵，，∴，∴，即，整理得：，则，∴，解得：．故答案为：12．【变式训练6】如图，直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点重合，点为轴上一点，连接，为的中点，反比例函数的图像经过，两点，若平分，的面积为6，则的值为_____________．【答案】4【详解】如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．∵AN∥FM，为的中点，，∴MN=ME，∴FM=AN，∵A，F在反比例函数的图像上，∴S△AON=S△FOM=k，∴•ON•AN=•OM•FM，∴ON=OM，∴ON=MN=EM，∴ME=OE，∴S△FME=S△FOE，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD=∠EAD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，∴AE∥BD，∴S△ADE=S△AOE，∴S△AOE=6，∵AF=EF，∴S△EOF=S△AOE=3，∴S△FME=S△EOF=1，∴S△FOM=S△FOE-S△FME=2=k，∴k=4．故答案为：4．类型二、求面积例1．在平面直角坐标系xOy中，矩形OBCD的顶点B在x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上如图，若反比例函数y=(x>0)的图象与CD交于点M，与BC交于点N，CM=2DM，连接OM，ON，MN，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E，∵点M、N是反比例函数y=图象上的点，∴，∴，设点M（t，），则C（3t，），E（t，0），B（3t，0），N（3t，），∴=CM•CN=•2t•（-）=；=（ME+BN）•BE=（+）•2t=，∴．故选：C．例2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为(

)A．1 B． C．2 D．4【答案】B【详解】作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=∵AE丄x轴，∴OE=m，∵A、B两点都在上，由k的几何意义可知，S△AOE=S△BOG=，∵S△OAF+S四边形EFBC=4，即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，由轴，BG丄x轴，得AE∥BG，∴△OEF∽△OGB，∴，∴，∴，∴，∴，得，，∵m＞0，∴，故选B．例3．如图，四边形OABC为平行四边形，A在x轴上，且∠AOC＝60°，反比例函数（k＞0）在第一象限内过点C，且与AB交于点E．若E为AB的中点，且S△OCE＝8，则OC的长为（）A．8 B．4 C． D．【答案】D【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图，∵四边形OABC为平行四边形，∴OC=AB，，∴∠EAF=∠AOC=60°，∵在Rt△COD中，∠DOC=60°，∴∠DCO=30°，设OD=t，∴CD=，OC=AB=2t，∵在Rt△EAF中，∠EAF=60°，AE=AB=t，∴AF=t，EF=AF=，∵点C与点E都在反比例函数的图像上，∴OD×CD=OF×EF，∴，∴OA=OF-EF=2t-t=t，∵平行四边形OABC的面积为，∴，，解得，（负值舍去），∴OC=2t=，故选：D．【变式训练1】如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D，AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE，OE，若，则△ADE的面积为（

）A． B． C．8 D．【答案】B【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，∵过原点的直线与反比例函数（k＞0）的图象交于A、B两点，∴A与B关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BE⊥AE，∴OE＝OA，∴∠OAE＝∠AEO，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，∴AD∥OE，∴S△ACE＝S△AOC，设点A（m，），∵AD＝2DC，DH∥AF，∴3DH＝AF，∴D（3m，），∵CH∥GD，AG∥DH，∴△DHC∽△AGD，∴S△HDC＝S△ADG，∵S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝×4+（DH+AF）×FH+S△HDC＝×4+××2m+××2m＝8，∵AD＝2DC，∴△ADE的面积为，故选：B．【变式训练2】如图平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的交点，且与边交于点，点的坐标为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵四边形OBCD是菱形，∴OA＝AC，∵C（8，4），∴A（4，2），把点A（4，2）代入，反比例函数y＝（x＞0）得，，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝；过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，设OB＝x，则BC＝x，BN＝8﹣x，在Rt△CNB中，x2﹣（8﹣x）2＝42，解得：x＝5，∴点B的坐标为B（5，0），设直线BC的函数表达式为y＝ax+b，直线BC过点B（5，0），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，联立方程组得，解得：或，∴点F的坐标为F（6，），作FH⊥x轴于H，连接OF，∴S△OBF＝OB•FH＝×5×＝，故选：A．【变式训练3】如图，矩形的顶点、分别在反比例函数与的图象上，点、在轴上，，分别交轴于点、F，则阴影部分的面积为（

）A．3 B．5 C．6 D．9【答案】B【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0．则OD＝a，OE＝．∴点B的纵坐标为．∴点B的横坐标为﹣．∴OC＝．∴BE＝．∵AB∥CD，∴，∴＝．∴EF＝OE＝，OF＝OE＝．∴＝1．＝4．∴S阴影＝S△BEF+S△ODF＝1+4＝5．故选：B．【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图像上，顶点B在反比例函数的图像上，顶点C在x轴的正半轴上，则的面积是______________．【答案】【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，，，，在平行四边形中，，，故答案为：6．【变式训练5】如图，点M在函数（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．【答案】2.1【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，∵MB∥x轴，MC∥y轴，∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，∴∠MEO=∠MDO=90°，∵∠EOD=90°，∴四边形EODM是矩形，设，则，，∴=2.1．故答案为：2.1．【变式训练6】如图，分别位于反比例函数，在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且．过点A作x轴的平行线交的图象于点C，连接BC，则的面积为________．【答案】8【详解】作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F，∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF，∴＝＝＝.由点A在函数y＝的图象上，设A的坐标是，∴＝＝，＝＝，∴OF＝3m，BF＝，即B的坐标是.又点B在y＝的图象上，∴＝，解得k＝9，则反比例函数y＝的表达式是y＝.∵A，B，又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，∴C的纵坐标是.把y＝代入y＝得x＝9m，∴C的坐标是，∴AC＝9m－m＝8m.∴S△ABC＝×8m×＝8，故答案为：8【变式训练7】如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，则_______，_______（用含的代数式表示，为正整数）．【答案】

7.5

【详解】解：∵在反比例函数的图象上，有点P1，它的横坐标为2，∴当x=2时，y=5，∴点P1的坐标为（2，5）．由题意，可知点P2、P3、P4坐标分别为：（4，），（6，），（8，），∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴阴影部分的面积和S1+S2+S3=2×5-2×=7.5．∴S1+S2+S3+…+Sn=故答案为7.5，．类型三、求点的坐标例1．如图，平行四边形的项点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是6，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数上，∴k=2×1=2，∴反比例函数解析式为：，设直线OB的函数解析式为y=mx，∵点D（2，1）在对角线OB上，∴2m=1，即，∴OB的解析式为：,∵点C在反比例函数图象上，∴设点C坐标为（a，），∵四边形OABC为平行四边形，∴BCOA，∴点B的纵坐标为，将y=代入，解得：x=，∴点B坐标为（，），∴BC=，∵平行四边形OABC的面积是6，∴（）×=6，解得：a=1或a=-1（舍去），∴，，∴点B坐标为：，故选：B．例2．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为(

)A．1 B． C．2 D．4【答案】B【详解】作BG丄x轴于G点，设A(m，)，B(n，)，由y=-x+b知，直线AB与x轴夹角为45º，∴∠BCG=45º，∴∠CBG=45º，∴GB=CB=∵AE丄x轴，∴OE=m，∵A、B两点都在上，由k的几何意义可知S△AOE=S△BOG=，∵S△OAF+S四边形EFBC=4，即S△OAE-S△OEF+S△OBG-S△OEF+S△BCG=4，2-2S△OEF+2+S△BCG=4，∴S△BCG=2S△OEF，由轴，BG丄x轴，得AE∥BG，∴△OEF∽△OGB，∴，∴，∴，∴，∴，得，，∵m＞0，∴，故选B．例3．如图，点A，D分别在函数和的图象上，点B，C在x轴上，若四边形为正方形，点D在第一象限，则D的坐标是__________．【答案】(，4)【详解】如图，设AD与y轴交于点P，根据反比例函数k的几何意义可知:，∴．∵，∴，∴．将代入，得，解得：，∴D(，4)．【变式训练1】如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与AB，BC分别交于点E，点F，若矩形对角线的交点D在反比例函数图象上，且EDOB，则点E的坐标是_______．【答案】(2，4)【详解】解：连接OE，∵反比例函数的图象与AB、BC分别交于点E、F，∴，设D(m，n)∵矩形对角线的交点D在反比例函数的图象上，∴mn=，n=，∵矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴上，∴B(2m，2n)，∴A=2n，AB=2m，∴，∴AE=，∴BE，E(，)，∴OA=，∵OD=BD，EDOB，∴OE=BE=，在RtAOE中，，∴整理得∵m0，∴m=4，∴E(2，4)，故答案为：(2，4)．【变式训练2】如图，点A在函数的图像上，点B，C在函数的图像上，若AC∥y轴，AB∥x轴，且AB＝AC，则BC＝________．【答案】【详解】解：延长CA、BA交坐标轴于F、E，作CD⊥y轴于D，BG⊥x轴于G，设A（m，n），∵点A在函数的图像上，点B、C在函数的图像上，AC∥y轴，AB∥x轴，∴S四边形CDOF=S四边形BEOG=18，mn=12，∴S四边形AEDC=S四边形ABGF，∴AC•m=AB•n，∵AB=AC，∴m=n，∴n•n=12，∴，∴，∴C点的横坐标为，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为_____，点C'的坐标为_____．【答案】

##

【详解】解：如图所示，连接OB交MN于Q，由折叠的性质可得MO=MB，OQ=OB，∵四边形OABC是矩形，∴，∴∠