高考数学公式

高考数学公式高中数学公式一、函数、导数1、函数的单调性设x1、x2∈[a,b],x1<x2，那么f(x1)−f(x2)<0则f(x)在[a,b]上是增函数；f(x1)−f(x2)>0则f(x)在[a,b]上是减函数。2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x，都有f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数；对于定义域内任意的x，都有f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。3、函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数是曲线y=f(x)在P(x,f(x))处的切线的斜率f′(x)，相应的切线方程是y−y=f′(x)(x−x)。4、几种常见函数的导数①C′=0；②(xn)′=nxn−1；③(sinx)′=cosx；④(cosx)′=−sinx；⑤(ax)′=axlna；⑥(ex)′=ex；⑦(logax)′=1/(xlna)；⑧(lnx)′=1/x。5、导数的运算法则(uv)′=u′v+uv′(v≠0)。6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)=0。当f′(x)=0时：(1)如果在x附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x)是极大值；(2)如果在x附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x)是极小值。25.分数指数幂(1)a=a(a>0,m,n∈N，且n>1)；(2)a^(m/n)=(n√a)^m(a>0,m,n∈N，且n>1)。26．根式的性质(1)(n√a)^n=a；(2)当n为奇数时，n√(a^n)=a；当n为偶数时，n√(a^n)=|a|。27．有理指数幂的运算性质(1)a^r×a^s=a^(r+s)(a>0,r,s∈R)；(2)(a^r)^s=a^(rs)(a>0,r,s∈R)；(3)(ab)^r=a^r×b^r(a>0,b>0,r∈R)。28.指数式与对数式的互化式logaN=b⇔a^b=N(a>0,a≠1,N>0)。29.对数的换底公式为：$$\log_aN=\frac{\log_mN}{\log_ma}\quad(a>1,a\neq1,m>1,m\neq1,N>0)$$推论为：$$\log_{am}b^n=n\log_ab\quad(a>1,a\neq1,m>1,m\neq1,n>0)$$30.对数的四则运算法则如下：$$(1)\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\quad(a>1,a\neq1,M>0,N>0)$$$$(2)\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\quad(a>1,a\neq1,M>0,N>0)$$$$(3)\log_aM^n=n\log_aM\quad(a>1,a\neq1,M>0,n\in\mathbb{R})$$31.对数有以下性质：⑴$\log_ab$的符号有口诀“同正异负”记忆；⑵$\log_aa=1$；⑶$\log_a1=0$；⑷对数恒等式为$a^{\log_aN}=N\quad(a>0,a\neq1,N>0)$；⑸$\log_ab^m=m\log_ab$。8.同角三角函数的基本关系式为：$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad(\theta\in\mathbb{R})$$9.正弦、余弦的诱导公式为：$$\sin(\pik\pm\alpha)=\pm\sin\alpha,\cos(\pik\pm\alpha)=\mp\cos\alpha\quad(k\in\mathbb{Z},\alpha\in[0,\pi])$$10.和角与差角公式为：$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$$$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\quad(\alpha,\beta\in\mathbb{R},\beta\neq\frac{\pi}{2}+k\pi)$$11.二倍角公式为：$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\quad(\alpha\in\mathbb{R},\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi)$$公式变形为：$$2\sin^2\alpha=1-\cos2\alpha,2\cos^2\alpha=1+\cos2\alpha$$$$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta,\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$$1)降幂公式：$$\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha/2}{\sin\alpha/2}=\frac{2\cos\alpha/2}{1-\cos\alpha}$$(2)三角函数的基本关系：$$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,\qquad\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$(3)三角函数的周期：$$\sin(x+2\pi)=\sinx,\qquad\cos(x+2\pi)=\cosx,\qquad\tan(x+\pi)=\tanx$$(4)三角形面积定理：$$\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c$$(5)三角形面积公式：$$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ca\sinB$$(6)三角形外接圆半径公式：$$R=\frac{abc}{4S}$$(7)三角形内切圆半径公式：$$r=\frac{2S}{a+b+c}$$(8)直角三角形中内切圆的半径：$$r=\frac{a+b-c}{2}$$(9)周期公式：$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$(10)函数$y=\sin(\omegax+\phi)$的周期、最值、单调区间、图象变换：周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，最大值$A=1$，最小值$A=-1$，单调递增区间为$[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}]$，单调递减区间为$[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}]$，图象向左平移$\frac{\phi}{\omega}$个单位。(11)辅助角公式：$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\qquad\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$$(12)正弦定理：$$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$$(13)余弦定理：$$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA,\qquadb^2=c^2+a^2-2ca\cosB,\qquadc^2=a^2+b^2-2ab\cosC$$(14)三角形面积公式：$$S=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ca\sinB$$(15)三角形内角和定理：$$A+B+C=\pi$$(16)向量的数量积公式：$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cos\theta$$(17)向量的坐标运算：设$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$，$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，则有$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\qquadk\mathbf{a}=(kx_1,ky_1)$$2、向量的基本概念和运算向量是有大小和方向的量，常用箭头表示。向量的加减法和数乘法定义与几何意义相符。设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则它们之间的加减法和数乘法分别为：a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2)，k*a=(kx1,ky1)。两个向量之间的数量积定义为它们对应坐标的积之和，即a·b=x1x2+y1y2。向量的模长定义为其对应坐标的平方和的平方根，即|a|=√(x1^2+y1^2)。向量的差可以表示为一个点到另一个点的向量，即AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)。设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2。设a=(x,y)，则a=√(x^2+y^2)。21、两向量的夹角公式设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且b≠0，则它们之间的夹角θ满足cosθ=a·b/|a||b|，即cosθ=(x1x2+y1y2)/(|a||b|)。另外，如果a·b=0，则a与b垂直；如果a//b，则有x1y2-x2y1=0。59.三角形的重心坐标公式设△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心的坐标是G((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)。60.三角形四“心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则以下条件等价：（1）O为△ABC的外心，即OA=OB=OC；（2）O为△ABC的重心，即OA+OB+OC=3OG；（3）O为△ABC的垂心，即OA·OD=OB·OE=OC·OF，其中D,E,F分别为△ABC三边所在直线的垂足；（4）O为△ABC的内心，即aOA+bOB+cOC=(a+b+c)OI，其中I为△ABC的内心。33、数列23、数列的通项公式与前n项的和的关系设数列{an}的前n项和为sn，则有通项公式an=sn-sn-1(n≥2)，其中s0=0。另外，如果数列{an}为等差数列，则有an=a1+(n-1)d，其中d为公差。24、等差数列的通项公式设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d。25、等差数列其前n项和公式设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其前n项和公式为sn=n(a1+an)/2=n(a1+a1+(n-1)d)/2=n/2(2a1+(n-1)d)。26、等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1q^(n-1)。27、等比数列前n项的和公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为sn=a1(1-q^n)/(1-q)，q≠1；sn=na1，q=1。61.自然数和公式自然数1到n的和为1+2+…+n=n(n+1)/2。2+2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6；常见的拆项公式：①1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)②1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[(n-1/n)-(n/n+1)]③1/(n(n+1)(n+2))=1/2[(1/n(n+1))-(1/(n+1)(n+2))]④(a-b)(a+b)=a^2-b^2⑤an=Sn-Sn-1(n>=2)数列的通项公式与前n项的和的关系：①an=s1,n=1；an=s(n-1)-sn,n>=2②Sn=Sn-1+an,n>=2③Sn=a1+a2+...+an等差数列：an=am+(n-m)d；d=(an-am)/(n-m)等比数列：an=am*q^(n-m)；q=an/am不等式：28、已知x,y都是正数，则有x+y/2>=xy，当x=y时等号成立。（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p；（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值s^2.解析几何：29、直线的五种方程：（1）点斜式：y-y1=k(x-x1)(直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)（2）斜截式：y=kx+b(b为直线l在y轴上的截距)（3）两点式：(y-y1)/(x-x1)=(y1≠y2)；(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1≠x2))（4）截距式：x/a+y/b=1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b≠0)（5）一般式：Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)30、两条直线的平行和垂直：若l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2①l1||l2⇔k1=k2,b1≠b2;②l1⊥l2⇔k1k2=-1.31、平面两点间的距离公式：d(A,B)=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2](A(x1,y1)，B(x2,y2))。32、点到直线的距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，其中点P(x,y)在直线l：Ax+By+C=0上。33、圆的三种方程分别为：(1)标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2；(2)一般方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中(D^2+E^2-4F>0)；(3)参数方程为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ。34、直线Ax+By+C=0与圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的位置关系有三种：d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。其中d为点P(x,y)到直线的距离，公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。弦长为2√(r^2-d^2)。35、椭圆的标准方程为(x-a)^2/a^2+(y-b)^2/b^2=1，其中a>b>0，a-c=b，离心率e<1。参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ。双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，其中a>0，b>0，c^2-a^2=b^2，离心率e>1。渐近线方程为y=±(b/a)*x。抛物线的标准方程为y^2=2px，焦点为F(p,0)，准线为x=-p。36、双曲线的方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，其中a>0，b>0。若渐近线方程为y=±x，则双曲线可设为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1。若双曲线方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=λ，则渐近线方程为y=±(b/a)*x。若双曲线与(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1有公共渐近线，则可设为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=λ，其中λ>1时焦点在x轴上，λ<1时焦点在y轴上。37、抛物线y^2=2px(p>0)的焦半径为|PF|=x+p/(2x)。38、过抛物线焦点的弦长为AB=x1+x2+p/(x1+x2)。39、证明直线与直线平行的方法有两种：(1)三角形中位线定理；(2)平行四边形定理（一组对边平行且相等）。40、证明直线与平面平行的方法有两种：(1)直线与平面平行的判定定理（证明平面外一条直线与平面内的一条直线平行）；(2)先证明两个平面面面平行。41、证明平面与平面平行的方法是平面与平面平行的判定定理（证明一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）。42、证明直线与直线垂直的方法可以转化为证明直线与平面垂直的方法。43、有两种证明直线与平面垂直的方法。第一种是直线与平面垂直的判定定理，即直线与平面内两条相交直线垂直。第二种是平面与平面垂直的性质定理，即两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面。44、证明平面与平面垂直的方法