高中数学直接证明与间接证明公开课课件

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法推理合情推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）演绎推理三段论（一般到特殊）复习

合情推理的结论不一定正确,有待证明;

演绎推理得到的结论一定正确.推理合情推理归纳类比演绎推理三段论复习合情推理的结论不一回顾基本不等式：(a>0,b>0)的证明过程：证明:因为;所以所以所以成立证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立回顾基本不等式：证明:证明:要证;利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…特点:“执因索果”综合法又叫由因导果法或顺推证法.利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．

特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.得到一个明显成立的结论…分析法又叫执果索因法或叫逆推证法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，例1：已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:例1：已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C，---------------------------------------①

因为A,B,C是三角形的内角，所以A+B+C=180o，----------------------②

所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③

由a,b,c成等比数列，有b2=ac,-----------------------------------------------④

则b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0

因此a=c。从而有A=C----------------------------------------------------------⑤

则由②③⑤得A=B=C=60o。所以三角形ABC是等边三角形。例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件例3:求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即只需证明21<25，因为21<25成立，所以不等式成立。2。分析法例3:求证证明：因为用分析法证明用分析法证明高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件高中数学直接证明与间接证明公开课课件2.2.2反证法2.2.2反证法思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.思考？将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，````````得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：肯定条件否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立反证法的思维方法：正难则反反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，反设——例5:已知直线a,b和平面,如果且a∥b,求证:a∥abP看课本第90页，例题4。例5:已知直线a,b和平面,如果

把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），

经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，

这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。理论把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称归纳总结：三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），

经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，

这样的证明方法叫做反证法。归纳总结：三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：一般地，练习已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=b/a，注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,

是唯一性问题,常用反证法```如果方程不只一个根，不妨设x1,x2

（x1≠x2)是方程的两个根.练习已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。证：（1）直接证明有困难正难则反!归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：“反证法是数