数学建模排队论课件

现实生活中的实例：进餐馆就餐到图书馆借书去售票处购票在车站等车等等1排队论课件现实生活中的实例：进餐馆就餐到图书馆借书去售票处购票在车站等一、排队系统的特征及排队论：

顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。2排队论课件一、排队系统的特征及排队论：顾客为了得到某排队的形式：顾客到达队列服务台服务完成后离去服务台1服务台2服务台s顾客到达队列服务完成后离去顾客到达队列1队列2队列s服务台1服务台2服务台s服务完成后离去服务完成后离去服务完成后离去3排队论课件排队的形式：顾客到达队列服务台服务完成后离去服务随机服务系统：输入来源队列服务机构排队系统顾客服务完离开4排队论课件随机服务系统：输入来源队列服务机构排队系统顾客服务完离开4二、排对系统的描述系统由三个部分组成：输入过程排队和排队规则服务机制5排队论课件二、排对系统的描述系统由三个部分组成：输入过程排队和排队规则1、输入过程（1）顾客总数量：有限或者无限（2）到达方式：单个到达或成批到达（3）到达方式：顾客相继到达时间间隔的分布，这是刻画输入过程的最主要内容。令表示第n个顾客到达的时刻，则有：记假设：是独立同分布的，并记其分布函数为关于的分布，排队论中经常用到以下几种：6排队论课件1、输入过程（1）顾客总数量：有限或者无限（2）到达方式：单①定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定的常数，如产品通过传输带进入包装箱②最简流（或称poisson分布）（M）：顾客相继到达时间间隔为独立，同负指数分布，其密度函数为：7排队论课件①定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定的常数，如产品2、排队及排队规则（1）排队分为有限和无限排队①损失制排队系统：排队空间为零的系统②混合制排队系统：等待制和损失制的结合，是指允许排队，但是不允许队列无限长下去，具体的又分三种情况：（ⅰ）队长有限，即等待空间有限（ⅱ）等待时间有限，即顾客在系统中等待时间不超过某一给定的长度T（ⅲ）逗留时间（等待时间和服务时间之和）（系统只能容纳K个顾客）8排队论课件2、排队及排队规则（1）排队分为有限和无限排队①损失制排队系不难注意到损失制和等待制可以看成是混合制的特殊情况如记为系统中服务台的个数，当时，混合制即为损失制当时，即成为等待制。(2)排队规则：先来先服务（FCFS）9排队论课件不难注意到损失制和等待制可以看成是混合制的特殊情况如记为系统3、服务机制主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）；顾客是单个还是成批接受服务的；服务时间的分布。记某服务台的服务时间为V，其分布函数为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布有：①定长分布（D）：每位顾客接受的服务的时间是常数；②负指数分布（M）：每位顾客接受服务时间相互独立，具有相同的负指数分布：10排队论课件3、服务机制主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）其中为一常数。③k阶爱尔朗分布密度函数为11排队论课件其中为一常数。③k阶爱尔朗分布密度函数为11排队论课件三、排队系统的符号表示为了方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种目前在排队论中被广泛的使用的“Kendall记号”，一般形式为：X/Y/Z/A/B/C其中X表示顾客相继到达时间间隔的分布，Y表示服务时间分布，Z表示服务台的个数；A表示系统的容纳，即可容纳最多顾客数B表示顾客源的数目；C表示服务规则；12排队论课件三、排队系统的符号表示为了方便对众多的模型的描述，D.G.K表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布，服务时间为负指数分布、单个服务台、系统容量为无限、顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。13排队论课件表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布，服务时间为四、排队系统的主要数量指标和记号1、队长和排队长2、等待时间和逗留时间3、忙期和闲期14排队论课件四、排队系统的主要数量指标和记号1、队长和排队长2、等待时间下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：时刻t系统中的顾客数，即队长时刻t系统中排队的顾客数，即排队长时刻t到达系统的顾客在系统中的逗留时间时刻t到达系统的顾客在系统中的等待时间上述数量指标与时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布非常困难。15排队论课件下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：时刻t系统中的顾讨论系统处于平衡状态下的性质：记为时刻t时系统处于状态n概率，即系统的瞬时分布根据前面的约定，我们将主要分析系统的平衡分布，即当系统到达统计平衡时时所处状态n概率，记为又记：系统处于平衡状态时队长，其均值为L，称为平均队长系统处于平衡状态时排队长，其均值为称为平均排队长；系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，均值为称为逗留时间；16排队论课件讨论系统处于平衡状态下的性质：记为时刻t时系统处于状态n概率系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值记为称为平均等待时间；当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率（单位时间内来到系统的平均顾客数）当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位时间内完成的顾客数）当为常数时，记为当每个服务台的平均服务率为常数时，记为当时，有：17排队论课件系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值记为称为平均等待时间1/ 期望到达间隔时间1/期望服务时间服务强度，或称使用因子,/(s)五、排队论原理18排队论课件1/ 期望到达间隔时间五、排队论原理18排队论课件为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程：

对状态对状态对状态记则平稳状态分布：19排队论课件为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程：对状态对状态对则概率分布的要求：有：于是：20排队论课件则概率分布的要求：有：于是：20排队论课件六、M/M/S等待制排队模型1、单服务台模型①队长的分布记为系统到达平衡状态后队长N的概率分布，注意到记并设则：21排队论课件六、M/M/S等待制排队模型1、单服务台模型①队长的分布记为因此：其中：22排队论课件因此：其中：22排队论课件②几个主要数量指标平均队长：平均排队长：23排队论课件②几个主要数量指标平均队长：平均排队长：23排队论课件的负指数分布，关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数因此，平均逗留时间W为：顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：24排队论课件的负指数分布，关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数因此其中V为服务时间，故由：可得平均等待时间为：平均队长与平均逗留时间具有的关系：平均排队长与平均等待时间的关系：称为little公式25排队论课件其中V为服务时间，故由：可得平均等待时间为：平均队长与平均逗2、多服务台模型记为系统到达平衡状态后队长N的概率分布，注意到对个数s个服务台系统，有：记并设则：26排队论课件2、多服务台模型记为系统到达平衡状态后队长N的概率分布，注意其中：27排队论课件其中：27排队论课件几个主要数量指标平均排队长：平均队长：Little公式：28排队论课件几个主要数量指标平均排队长：平均队长：Little公式：28其他模型M/M/c/K/K顾客来源是有限的服务系统.例如：一个饭店有X张桌子和Y个服务生服务来源有限的顾客.M/D/1服务时间不变的服务系统.D/M/1确定性到达模式,及指数分布服务时间.