线性代数-行列式课件

第1章行列式

行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组1第1章行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式的一个简单应用数学实验2第1章行列式n阶行列式的定义2第1.1节n阶行列式的定义

本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式返回3第1.1节n阶行列式的定义本节从二、三阶行列式即

称其为二阶行列式.记号：它表示数：左上角到右下角表示主对角线，4即称其为二阶行列式.记号：它表示数：左上角到右下角表示主例１

例２

设(1)当为何值时，(2)当为何值时解

或右上角到左下角表示次对角线，例１例２设(1)当为何值时，(2)当为何值时5例3

求二阶行列式

例3求二阶行列式6(2)三阶行列式记号

即

称为三阶行列式.

它表示数7(2)三阶行列式记号即称为三阶行列式.它表示数7

可以用对角线法则来记忆如下.8可以用对角线法则来记忆如下.8主对角线法9主对角线法9例4

计算三阶行列式解:由主对角线法，有10例4计算三阶行列式解:由主对角线法，有10例5例511例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零．例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零．12例7的充分必要条件是什么？解或或例7的充分必要条件是什么？解或或13练习：计算下列行列式解练习：计算下列行列式解141.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.§1.2n阶行列式151.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n,组成的(2)排列的逆序数定义：在一个n

级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2…in).=3=2例1

N(2413)N(312)16(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中(2)排列的逆序数定义：在一个n

级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.=3=2例1

N(2413)N(312)17(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中逆序数的计算方法

即例2

N(n(n-1)…321)

N(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)逆序数的计算方法即例2N(n(n-1)…32118证明：对换：

对换在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例3定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。19证明：对换：对换在一个排对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)

此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)

若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)

易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：

k经s+1次相邻对换成为…kji1…is

…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.||20对换在相邻两数间发生，即20定理1.2．

定理1.2．21思考练习（排列的逆序数详解）方法1

在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t),则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列x1x2…xn中取两数的方法共有

依题意，有故排列x1x2…xn与xnxn-1…x1中逆序之和为此即22思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x方法2n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即23方法2n个数中比i大的数有n-i个(i（二）n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)项数为3！=624（二）n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同推广之，有如下n阶行列式定义推广之，有如下n阶行列式定义25定义：

是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号的项的和.(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n！个排列求和.26定义：是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号例1

证明下三角行列式证：由定义和式中,只有当所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.27例1证明下三角行列式证：由定义和式中,只有当所以下三角线性代数-行列式课件28例2计算解由行列式定义,和式中仅当29例2计算解由行列式定义,和式中仅当29注：注：30例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：31例4

应为何值，符号是什么？此时该项的解此时或(1)若则取负号．(2)若则取正号．若是五阶行列式的一项，则例4应为何值，符号是什么？此时该项的解此时或(1)若则取负32例5用行列式定义计算解：例5用行列式定义计算解：33

由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明定理1.3:n阶行列式D=Det(aij)的项可以写为其中i1i2…in和j1j2…jn都是n级排列.或另一定义形式另一定义形式推论:n阶行列式D=Det(aij)的值为34由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n4.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若354.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得35

用定义计算思考练习（n阶行列式定义）答案36用定义计算思考练习（n阶行列式定义）答案36§1.3

行列式的性质

对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易,但对一般的、高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的.因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.返回37§1.3行列式的性质对多“0”的或是阶数性质1

行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上,若记DT=Det(bij),则解例1

计算行列式38性质1行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上性质2

互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.推论若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0.性质3推论(1)D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符号的外面，

(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.39性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数

的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即证40性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数

的和性质5

行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即41性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k加到另8/9/20238/2/202342例2

计算行列式解43例2计算行列式解43解44解44解45解458/9/20238/2/2023468/9/20238/2/202347即8/9/2023即8/2/2023488/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院498/9/20238/2/2023508/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院51例6

计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)52例6计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)52解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回53解(1)注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回54解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返54解

(3)返回箭形行列式55解(3)返箭形行列式558/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院568/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院578/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院582023/8/9阜阳师范学院数学与计算科学学院2023/8/2阜阳师范学院数学与计算科学学院598/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院60例9

证明证

61例9证明证61证62证622.证明1.计算行列式思考练习（行列式的性质）632.证明1.计算行列式思考练习（行列式的性质）63思考练习（行列式性质答案）

64思考练习（行列式性质答案）64=右边思考练习（行列式性质答案）

65=右边思考练习（行列式性质答案）65第1.3

节

行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.返回返回66第1.3节行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列例1

求出行列式解67例1求出行列式解67引例：8/9/2023引例：8/2/2023688/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院69定理1.4行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即70定理1.4行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意证(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;71证(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即而(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即

将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行

D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)72(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即将D中第i行依由(ii)73由(ii)73定理1.5n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即74定理1.5n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行证考虑辅助行列式0=t列j列75证考虑辅助行列式0=t列j列75例2

计算行列式解法1法2选取“0”多的行或列76例2计算行列式解法1法2选取“0”多768/9/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院77注：8/9/2023注：8/2/202378例4

讨论当为何值时，解所以当论，79例4讨论当为何值时，解所以当论例5求证证明：首先从第1行起，每行减去下一行，然后按第1列展开，之后又从第1行起每行减去下一行，化为下三角行列式即得结果，即80例5求证证明：首先从第1行起，每行减去下一行，然后按第181818282例6

已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算.83例6已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简8484例7

证明范得蒙行列式（Vandermonde)证

用数学归纳法85例7证明范得蒙行列式（Vandermonde)证用数学

假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形.86假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑8787例8

计算行列式解1计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.88例8计算行列式解1计算时，性质与按行（列）展开定理结合使解2利用范德蒙行列式的结论89解2利用范德蒙行列式的结论89例9

计算n阶行列式解90例9计算n阶行列式解90解91解91思考练习（按行展开定理）计算行列式92思考练习（按行展开定理）计算行列式92思考练习（按行展开定理详解1）93思考练习（按行展开定理详解1）93思考练习（按行展开定理详解2）94思考练习（按行展开定理详解2）942*.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式

在n阶行列式中，任意选定k行、k列（1≤k≤n）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式.k阶子式N的余子式及代数余子式在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而为其代数余子式.这里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分别为k阶子式N的行标和列标.952*.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式在n阶行列式在n阶行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1kn),由这k行元素组成的k阶子式N1,N2,…,Vt与它们的代数余子式

的乘积之和等于D，即96在n阶行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1例7

计算行列式解97例7计算行列式解97一般地98一般地98第1.5节

克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个方程,n个未知量的n元线性方程组的问题.先以二元线性方程组为例8/9/2023第1.5节克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个99当系数行列式D≠0时，方程组有唯一解：二元线性方程组称为方程组的系数行列式。8/9/2023当系数行列式D≠0时，方程组有唯一解：二元线性方程组称为方程100定理1.7（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有唯一解的系数行列式返回返回101定理1.7（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有唯一其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式,即定理的结论有两层含义：①方程组（1）有解；②解惟一且可由式(2)给出.102其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素证首先证明方程组(1)有解.事实上,将

代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开得