余弦定理教学课件

余弦定理余弦定理余弦定理1、向量的数量积：2、勾股定理：AaBCbc证明：复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结余弦定理1、向量的数量积：2、勾股定理：AaBCbc余弦定理AcbAbc当时当时当时AB边的大小与BC、AC边的大小和角C的大小有什么关系呢？怎样用它们表示AB呢？复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结AaBCbc余弦定理AcbAbc当余弦定理思考题：若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc解：复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结余弦定理思考题：若ABC为任意三角余弦定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结余弦定理定理：三角形任何一边的平方等于其余弦定理ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作ADCB交CB于D在Rt中在中复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结余弦定理ABCabcD当角C为锐角时证明余弦定理当角C为钝角时证明：过A作ADCB交BC的延长线于D在Rt中在中bAacCBD复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结余弦定理当角C为钝角时证明：过A作AD余弦定理bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结余弦定理bAacCB证明：以CB所在的直2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com9

利用余弦定理，可以解决：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com10例1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com11例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，

C＝82°28′，解这个三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com12ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、

(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com13ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com14ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com15解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°

＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b与a的夹角.a－ba＋bBbACa120°O复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com16∴a＋b

＝√21.∴∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b与a的夹角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°

＝21,2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com17例5已知四边形ABCD的四边长为AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,

求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,怎样用θ表示四边形ABCD的面积？2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com18练习ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；√1314.6°（2）a=2,

b=3,

c=4,

则C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt2023/8/9新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt@126.com19研究题

总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？复习引入向量法几何法坐标法例题定理小结2023/7/25新疆奎屯市高级中学王新敞wxckt余弦定理课堂小结：1、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的