走进简易逻辑

精品文档-下载后可编辑走进简易逻辑近几年高考中,简易逻辑试题是以考查基本概念、性质与其它知识相结合为主的客观题出现,难度低,重基础.学习中只要夯实基础,把握逻辑联结词的含义、充要条件的意义、四种命题及相互关系,针对不同试题的考查形式,应用不同的求解策略,就能适应高考的考查要求.

一、四种命题及其真假

【例1】(课本题改编)将下列命题“对顶角相等”改写成“若p则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.

分析首先分清条件p和结论q,然后写成“若p则q”的形式.

解原命题：若两个角是对顶角,则它们相等；

逆命题：若两个角相等,则它们是对顶角；

否命题：若两个角不是对顶角,则它们不相等；

逆否命题：若两个角不相等,则它们不是对顶角.

点评把一个命题写成“若p则q”的形式,有时可以加入字母或文字,以便叙述更清楚.

【例2】(市高三调研试题)判断命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.

分析可以直接进行逻辑推理判断,可以从逆否命题直接判断,也可以先判断原命题的真假,然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解.

解法1m>0,4m>0,4m+1>0.

方程x2+x-m=0的判别式

Δ=4m+1>0,x2+x-m=0有实数根.

原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.

又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.

解法2原命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.

x2+x-m=0无实数根,Δ=4m+1

“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.

解法3p：m>0,q：x2+x-m=0有实根,

p：m≤0,

q：x2+x-m=0无实数根,

p：A=mm≤0,

q：B=mm

BA,“若

q则

p”为真,即“若x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.

点评解法1是直接进行逻辑推理判断的；解法2是从逆否命题入手直接判断；解法3是利用原命题与逆否命题等价关系判断的.

二、判断充分条件与必要条件

(一)利用集合关系

【例3】(07年辽宁高考题)p,q是两个命题：p:log12(|x|-3)>0,q:x2-56x+16>0,则p是q的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”).

分析用“集合”观点处理“条件”判断问题,具有可操作性,更能看清问题的本质.

解设A=｛x｜0

点评设满足条件p和结论q的对象构成的集合分别为P,Q,

1.若PQ,则p是q的充分条件;

2.若PQ,则p是q的必要条件;

3.若P=Q,则p是q的充要条件;

4.若PQ且QP,则p是q的既不充分也不必要条件.

(二)使用定义

【例4】(2022年全国高考题)下面四个条件中,使a＞b成立的充分而不必要的条件是(填序号).

(1)a＞b+1(2)a＞b-1

(3)a2＞b2(4)a3＞b3

分析紧扣定义,注意寻找的是通过选项能推出a>b,而由a>b推不出选项的选项．

解由条件,寻找命题P使Pa>b,a>b推不出P,逐项验证可填(1).

点评定义法是判断充要条件的最重要的方法.判断一个命题成立时,必需作严密的证明；判断一个命题不成立时,只需举出一个反例.

(三)巧用逆否命题

【例5】(2022年山东高考模拟题)设p:b2-4ac>0a≠0,q:关于x的方程ax2+bx+c=0a≠0有实根,则“非q”是“非p”的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)

分析若直接判断,还需求出“非q”是“非p”命题,太繁；可巧用逆否命题,合理转化.

解判别式大于0,关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根；但关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,判别可以等于0,

p是q的充分但不必要条件,

一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性,

“非q”是“非p”的充分不必要条件.

点评原命题和它的逆否命题、逆命题和否命题是两对等价命题,应用它们,可实现命题间的相互转化.

（四）妙用传递性

【例6】(07湖北高考题)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题：

①r是q的充要条件；

②p是q的充分条件而不是必要条件；

③r是q的必要条件而不是充分条件；

④p是┑s的必要条件而不是充分条件；

⑤r是s的充分条件而不是必要条件．

则正确命题的序号是．

分析本题比较复杂且具有一定的连锁关系,一般同学会陷入困境.此时若联想到“充分与必要条件也具有传递性”(如若p1p2p3…pn,则p1pn),则问题解决.

解由已知有pr,qr,rs,sq由此得rq且qr,①正确,③不正确；pq,②正确；④等价于ps,正确；rs且sr,⑤不正确.所以正确命题的序号是②③⑤.

点评对于较为复杂的且含有多个条件的命题,可妙用传递性,复杂问题简单化,令人拍案叫绝.

三、充要条件的证明

【例7】(自编题)求证:方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3,这个条件是其充分条件吗？为什么？

证明方程x2+ax+1=0(a∈R)有两实根,则Δ=a2-4≥0,

a≤-2或a≥2．

设方程x2+ax+1=0的两实根分别为x1、x2,

则x1+x2=-a,

x1x2=1.

x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=a2-2＞3．

|a|＞5＞3．

方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|＞3;但a=2时,x21+x22=2≤3,因此这个条件不是其充分条件．

点评充要条件的证明首先要明确条件和结论分别是什么,证明时要明确充分性是条件推结论,必要性是结论推条件.

四、正确应用逻辑联结词

【例8】(课本题改编)分别写出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题,p：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q：方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等；

解“p或q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等,

“p且q”：方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等,

“非p”：方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.

点评正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”是解题的关键,应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,进行命题结构的判断.

一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。―维尔斯特拉斯

【例9】分别指出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假,p：函数y=x2+3x+4的图象与x轴有公共点,q：方程x2+3x-4=0没有实根.

分析首先确定组成复合命题的每个简单命题的真假,然后再根据复合命题的形式,对照真值表进行判断.

解p假q假,“p或q”为假,“p且q”假,“非p”为真.

点评判断复合命题真假的依据：p∨q有真则真；p∧q有假则假；

p与p相反.

五、命题的否定与否命题

两个概念的区别：(1)概念：命题的否定形式是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后组成的命题.(2)构成：对于“若p,则q”形式的命题,其命题否定为“若p,则

q”,也就是不改变条件,而否定结论；而其否命题则为“若

p,则

q”.(3)真值：命题的否定的真值与原来的命题相反；而否命题的真值与原命题无关.

两个概念的联系：它们在否定过程中,对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定形式为“至少有两个”等)

【例10】(自编题)写出命题“若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b全为零.”的否定形式及否命题

解析命题的否定：若m2+n2+a2+b2=0,则实数m,n,a,b不全为零.

否命题：若m2+n2+a2+b2≠0,则实数m,n,a,b不全为零.

点评分清题设和条件,命题的否定只否定结论,而否命题既否定题设,又否定结论.

【例11】(07年山东高考题)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是．

解析对全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等,对“≤”的否定为“＞”,所以命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“存在x∈R,x3-x2+1＞0”．

点评对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词.

纯数学这门科学再其现展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。―怀德海

牛刀小试

1.判断命题“已知a、x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.

2.已知命题p：函数f(x)=log05(3-x)定义域为(-∞,3)；命题q：若k＜0,则函数h(x)=kx在(0,+∞)上是减函数,对以上两个命题,下列结论中正确序号为．

(1)命题“p且q”为真

(2)命题“p或

q”为假

(3)命题“p或q”为假

(4)命题“

p且

q”为假

3.“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的条件(填“充分而不必要”或“必要而不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)

4.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为．

【参考答案】

1.解法1：逆否命题：已知a、x为实数,如果a

Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.a

4a-7

关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.

解法2：a、x为实数,且关于x的不等式

x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,

Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7≥0,

a≥74.a≥74>1,原命题为真,

又原命题与其逆否命题等价,逆否命题为真.

解法3：利用集合的包含关系求解.

命题p：关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有非空解集,命题q：a≥1.

p：A={a关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0有实数集}

={a(2a+1)2-4(a2+2)≥0}=aa≥74,

q：a≥1.AB,“若p,则q”为真,其逆否命题“若

q,则

p”为真,原命题的逆否命题为真.

2.由3-x＞0,得x＜3,所以命题p为真,所以命题

p为假.又由k＜0,可知函数h(x)=kx在(0,+