二次函数地最大面积问题

实用标准

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题

1.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,0为坐标原点，0A=1,tanNBA0=3,将

此三角形绕原点0逆时针旋转90°,得到△D0C.抛物线y=ax?+bx+c经过点A、B、0.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t.

①设抛物线对称轴I与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当4CEF与aCOD相

似时点P的坐标.

②是否存在一点P,使4PCD的面积最大？若存在，求出4PCD面积的最大值；若不存

在，请说明理由.

31

2.如图，已知抛物线y=ax2—jx+c与x轴相交于A,B两点，并与直线y二务工—2

交于B,C两点，其中点C是直线y=4x—2与y轴的交点，连接AC.

（3）AABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?（顶点D、E、F、G在AABC各边上）

若能，求出最大面积；若不能，请说明理由.

3.某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长

54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何

设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问

题：

文档大全

实用标准

(1)设人8=乂米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;

(2)请你判断谁的说法正确，为什么？

4.如图，已知抛物线卜=公2+bx+c过点A(6,0),B(-2,0),C(0,-3).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点H是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形0CHA的最大面积；

(3)若点Q在y轴上，点G为该抛物线的顶点，且NQGA=45。，求点Q的坐标.

5.如图，抛物线y=-x?-2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y

(2)设点H是第二象限内抛物线上的一点，且AHAB的面积是6,求点H的坐标；

(3)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线

AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ〃AB交抛物线于点Q,过点Q作

于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求aAEM的面积.

6.如图，AABC中，NC=90°,BC=7cm,AC=5,点P从B点出发，沿BC方向以2m/s

的速度移动，点Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动.

文档大全

实用标准

(1)若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，APCQ的面积等于4?

(2)若P、Q同时分别从B、C出发，那么几秒后，PQ的长度等于5?

(3)z^PCQ的面积何时最大，最大面积是多少？

7.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可

借用一段墙体(墙体的最大可用长度a=10米)：如果AB的长为x,面积为尸

(1)求面积.V与x的函数关系(写出x的取值范围)；

(2)x取何值时，面积最大？面积最大是多少？

8.若用40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长am,垂直于墙的边长为xm,

围成的矩形场地的面积为ym2.

(1)求y与x的函数关系式.

(2)矩形场地的面积能否达到210m2?请说明理由.

(3)当a=15m或30m时，请分别求出这个矩形场地面积的最大值.

9.如图，用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图，围出的苗圃

是五边形ABCDE,AE±AB,BC±AB,NC=ND=NE.设CD=DE=xm,五边形ABCDE的面积

为Sm：问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值.

10.已知，如图，抛物线y=ax?+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,

点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),0C=30B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.

11.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x，bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A

点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点，点P是直线BC

文档大全

实用标准

下方的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)当点P运动到什么位置时，^BPC的面积最大？求出此时P点的坐标和aBPC的最

大面积；

(3)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP,C,那么是否存在点P,使

四边形POP,C为菱形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

12.课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使

正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC±.问加工成的正方形零件的边长

是多少mm?

小颖解得此题的答案为48M,小颖善于反思，她又提出了如下的问题.

(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组

成，如图1,此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算.

(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边

长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.

13.某家禽养殖场，用总长为110m的围栏靠墙(墙长为22m)围成如图所示的三块矩

形区域，矩形AEHG与矩形CDEF面积都等于矩形BFHG面积的一半，设AD长为xm,矩

形区域ABCD的面积为ym2.

文档大全

(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

14.有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.现要把它加工成矩形零件,

使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC±.

(1)如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1,此时，这个矩形零件的两

条邻边长分别为多少mm?请你计算.

(2)如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条邻边长就

不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长.

15.如图，已知二次函数yuax'+Nx+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、

2

(1)请直接写出二次函数y=ax2+&+c的表达式；

2

(2)判断AABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接

写出此时点N的坐标；

(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM〃AC,交AB于点M,

当AAMN面积最大时，求此时点N的坐标.

16.如图，已知抛物线yu-1x'+bx+c与坐标轴分别交于点点A(0,8)、B(8,0)和

2

点E,动点C从原点0开始沿0A方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿

B0方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点0时，点C、

D停止运动.

文档大全

实用标准

(1)求该抛物线的解析式及点E的坐标；

(2)若D点运动的时间为t,ZkCED的面积为S,求S关于t的函数关系式，并求出△

CED的面积的最大值.

17.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=gx+2与x轴交于点A,与y轴交于点

3

C.抛物线y=ax?+bx+c的对称轴是x=-一，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点

2

B.

(1)①直接写出点B的坐标；

②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求aPAC的面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

18.(2015•鄂州)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=L+2与x轴交于点A,与y

2

轴交于点C.抛物线y=ax?+bx+c的对称轴是x=-3且经过A、C两点，与x轴的另一交

2

点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求aPAC的面积的最大值，

并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点

的三角形与aABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(2014秋•昆明校级期末)如图，四边形DEFG是aABC的内接矩形，如果aABC的高

文档大全

实用标准

线AH长8cm,底边BC长10cm,设DG=xcm,DE=ycm,

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，四边形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

20.(2015秋•保定期末)如图，在RtZ\ABC中，Z0=90°,AC=6cm,BC=8cm.点P从A

出发，沿AB方向，以2cm/s的速度向点B运动，点Q从C出发，沿CA方向，以1cm/s

的速度向点A运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设

运动时间为t(s),△APQ的面积为S(cm2)

(1)t=2时，则点P到AC的距离是cm,S=cm2；

(2)t为何值时,PQ±AB；

(3)t为何值时，AAP。是以AQ为底边的等腰三角形；

(4)求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值.

21.(2012•眉山)已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在

x轴上，aOAB是等腰直角三角形.

(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)若直线CD〃AB交抛物线于D点，求D点的坐标；

(3)若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么4PAB是否有最大面积？若有，

求出此时P点的坐标和4PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

22.(2015秋•随州期末)如图，已知抛物线y=ax4bx+c经过A(1,0)、B(0,3)及

C(3,0)点，动点D从原点0开始沿0B方向以每秒1个单位长度移动，动点E从点C

开始沿C0方向以每秒1个长度单位移动，动点D、E同时出发，当动点E到达原点0时,

点D、E停止运动.

文档大全

实用标准

(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；

(2)若F(-1,0),求4DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式；当t为何值

时，4DEF的面积最大？最大面积是多少？

(3)当4DEF的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点N,使aEBN是直角三角

形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由.

23.(2014秋•香洲区期末)已知二次函数中x和y的部分对应值如下表：

x-10123

y0-3-4-30,0,

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形

ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；

(3)在抛物线上，是否存在一点Q,使△QBC中QC=QB?若存在请直接写出Q点的坐标.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-lx+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛

2

物线y=ax?+bx+c的对称轴是x=-2且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

2

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求aPAC的面积的最大值,

并求出此时点P的坐标.

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点

的三角形与aABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

25.(2015秋•恭江区期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分别交x轴、y轴

于A,C两点，抛物线y=ax?+bx+c(a/0),经过A,C两点，与x轴交于点B(1,0).

文档大全

实用标准

(2)点D为直线AC上一点，点E为抛物线上一点，且D,E两点的横坐标都为2,点F

为x轴上的点，若四边形ADEF是平行四边形，请直接写出点F的坐标；

(3)若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q,连接AQ,

CQ,求AACQ的面积的最大值.

26.如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去三个彼此全等

的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大

值是()

C.—也cm2D.红/媪

22

27.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P,Q分别从A,B同时出发，

P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm

的速度匀速运动.设运动时间为x(秒)，Z\PBQ的面积为y(cm2).

(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;

(2)求△PBQ的面积的最大值.

28.如图，抛物线丁=/一2x+左与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3).

(1)求k的值及点A、B的坐标;

文档大全

实用标准

(2)设抛物线歹=/—2x+左的顶点为M,求四边形ABMC的面积；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在，请

求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)在抛物线y=/-2x+左上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.

29.如图，已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合)，过M作MN〃y轴交抛物线于N,若点M

的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下，连接NB、NC,是否存在m,使aBNC的面积最大？若存在，求

m的值；若不存在，说明理由.

1°

y=—x+2

30.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线2与x轴交于点A,与y轴交于

3

X=—

点C.抛物线y=ax，bx+c的对称轴是2且经过A、C两点，与x轴的另一交点为

点B.

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA,PC.求aPAC的面积的最大值,

并求出此时点P的坐标；

(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点

的三角形与aABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

31.如图，在平面直角坐标系中，以点B(0,8)为端点的射线86〃》轴，点A是射线

BG上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AG上取AD=0B,作线段AD的垂直平分

线，垂足为E,且与X轴交于点F,过点A作AC-L0A,交射线EF于点C.连接0C、CD,

设点A的横坐标为"

文档大全

实用标准

(1)用含/的式子表示点E的坐标为;

(2)当点C与点F不重合时，设AOCF的面积为S,求S与，之间的函数关系式.

(3)当f为何值时,Z0CD=180°?

48

32.如图，抛物线y=—x?—-x-12与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点.

93

(1)求AAOB的外接圆的面积；

(2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出

发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动。

问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与aOAB相似？

(3)若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N.

①是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBAN

面积的最大值.

33.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,0为坐标原点，0A=1,tanZBAO=3,

将此三角形绕原点0逆时针旋转90°,得到△DOC。抛物线y=ax?+bx+c经过点A、B、C,

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t。

①设抛物线对称轴I与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F。求出当4CEF与△%口相

似时点P的坐标；

②是否存在一点P,使4PCD的面积最大？若存在，求出4PCD面积的最大值；若不存

在，请说明理由。

文档大全

实用标准

34.如图，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=3cm,BC=4cm.点P从点A出发，以1cm

/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动.当点Q

到达点C时，P、Q两点同时停止运动.

(1)试写出△PBQ的面积S(cm2)与动点运动时间t(s)之间的函数表达式;

(2)运动时间t为何值时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？.

35.己知：二次函数y=公2+bx+6与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点

A、点B的横坐标分别为一元二次方程/—4x-12=0的两个根.

(1)求出该二次函数表达式及顶点坐标；

(2)如图1,在抛物线对称轴上是否存在点P,使4APC的周长最小，若存在，请求出

点P的坐标：若不存在，请说明理由；

(3)如图2,连接AC、BC,点Q是线段OB上一个动点(点Q不与点0、B重合).过点

Q作QD〃AC交BC于点D,设Q点坐标(m,0),当ACDCJ面积S最大时，求m的值.

36.如图1,已知：抛物线y=Lx4bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,经过

2

B,C两点的直线是y=1x-2,连结AC.

2

文档大全

实用标准

(2)若AABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点D、E、F、G在aABC各边上)？

若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由.

(3)点P(t,0)是x轴上一动点，P、Q两点关于直线BC成轴对称，PQ交BC于点M,

作QHJLx轴于点H.连结0Q,是否存在t的值，使△0QH与4APM相似？若存在，求出

t的值；若不存在，说明理由.

37.基本模型

如图1,点A,F,B在同一直线上，若NA=NB=NEFC=90°,易得△AFEs^BCF.

(1)模型拓展：

如图2,点A,F,B在同一直线上，若NA=NB=NEFC,求证：△AFEs^BCF；

(2)拓展应用：如图3,AB是半圆。。的直径，弦长AC=BC=48,E,F分别是AC,

AB上的一点，若NCFE=45°.若设AE=y,BF=x,求出y与x的函数关系式及y的最大

值；

(3)拓展提升：如图4,在平面直角坐标系柳中，抛物线y=-1(x+4)(x-6)与x

3

轴交于点A,C,与y轴交于点B,抛物线的对称轴交线段BC于点E,探求线段AB上是

否存在点F,使得NEF0=NBA0?若存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由.

2

38.(12分)(2015•黄冈校级模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-5x+m

(m为常数)的图象与x轴交于A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=-1为对称轴

的抛物线y=ax+bx+c(a,b,c为常数，且a>0)经过A,C两点，与x轴正半轴交于

点B.

文档大全

实用标准

(1)求一次函数及抛物线的函数表达式.

(2)在对称轴上是否存在一点P,使得4PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标.

(3)点D是线段0C上的一个动点(不与点。、点C重合)，过点D作DE||PC交x轴于

点E,连接PD、PE.设CD的长为m,ZXPDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.并

说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

39.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴

上，且AB=5,sinB=W.

5

(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式；

(2)记直线AB的解析式为y,=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y产ax?+bx+c,求当y,V

y2时，自变量x的取值范围；

(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A、E两点之间的

一个动点，当P点在何处时，4PAE的面积最大？并求出面积的最大值.

40.如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax?+bx-4与x轴交于点A(-2,0)

和点B,与y轴交于点C,直线x=1是该抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若两动点M、H分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而

文档大全

实用标准

行，当点M到达原点时，点H立刻掉头，并以每秒至个单位长度的速度向点B方向移动,

2

当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线I_Lx轴，交AC或BC

于点P,设点M的运动时间为t秒(t>0).求点M的运动时间t与4APH的面积S的函

数关系式，并求出S的最大值.

41.如图抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C(0,-3),顶点D坐

标为(-1,-4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如题图(1),求点A、B的坐标，并直接写出不等式ax,bx+c〉。的解集；

(3)如题图(2),连接BD、AD,点P为线段AB上一动点，过点P作直线PQ〃BD交线

段AD于点Q,求△PQD面积的最大值.

42.已知抛物线y=1/+bx+c与直线BC相交于B、C两点，且B(6,0)、C(0,3).

(2)长度为V5的线段DE在线段CB上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段EF

与DG始终平行于v轴.

①连结FG,求四边形DGFE的面积的最大值，并求出此时点D的坐标；

②在线段DE移动的过程中，是否存在DE=GF?若存在，请直接写出此时点D的坐标；

若不存在，试说明理由.

13

43.如图，抛物线丁=+QX+C与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C,且A

点坐标(-3,0),连接BC、AC.

文档大全

实用标准

(2)求AB和0C的长；

(3)点E从点B出发，沿x轴向点A运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线I

平行AC,交BC于点D,设BE的长为m,4BDE的面积为s,求s关于m的函数关系式,

并写出自变量m的取值范围；

(4)在(3)的条件下，连接CE,求4CDE面积的最大值.

44.如图，抛物线y=1x2-x-4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点(端

2

点除外)，过P作PD〃AC,交BC于点D,连接CP.

(3)求4PCD面积的最大值，并判断当4PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的

平行四边形是否为菱形.

45.如图，抛物线y=-x?+bx+c的顶点为D,与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),与y轴

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM〃y轴，且PM交抛物线于点M,

交x轴于点N,当四边形0BMC的面积最大时，求4BPN的周长；

(3)在(2)的条件下，当四边形0BMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在

文档大全

实用标准

点Q,使得ACNQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标.

46.(12分)如图所示，抛物线+bx+4与x轴交于A,B两点，与y轴交于C

点，且A(-2,0)、B(4,0),其顶点为D,连接BD,点P是线段BD上的一个动点(不

与B、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E,连接BE.

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)设P点的坐标为(x,y),4PBE的面积为S,求S与x之间的函数关系式，写出

自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

(3)在(2)的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,

△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P',请直接写出P'点的坐标，并判断点P'

是否在该抛物线上.

47.(10分)如图①，一次函数^=Ax+b的图象与二次函数y=/的图象相交于A,B

(1)当m=-1,n=4时，k=,b=；

当m=-2,n=3时，k=,b=；

(2)根据(1)中的结果，用含m,n的代数式分别表示k与b,并证明你的结论；

(3)利用(2)中的结论，解答下列问题：如图②，直线AB与x轴，y轴分别交于点C,

D,点A关于y轴的对称点为点E,连接AO,0E,ED.

①当m=-3,n>3时，求一^^」的值(用含n的代数式表示)；

5四边形AOED

②当四边形A0ED为菱形时，m与n满足的关系式为；

当四边形A0ED为正方形时，m=,n=.

48.已知：二次函数y=ax?+bx+6(a手0)的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的

左侧)，图象与y轴交于点C,点A.点B的横坐标是方程/-4X-12R的两个根.

(1)求出该二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)如图，连接AC.BC,点P是线段0B上一个动点(点P不与点0、B重合)，过点P

作PQ〃AC交BC于点Q,当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标.

文档大全

实用标准

49.(10分)如图，抛物线y=a/+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交

于点C(0,3),其对称轴I为x=—1.

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上.

①当PA_LNA,且PA=NA时，求此时点P的坐标；

②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.

50.(12分)(2015•郴州)如图，在四边形ABCD中，DC〃AB,DA±AB,AD=4cm,DC=5cm,

AB=8cm.如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方

向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时，两点同时停止运动，

连接PQ,设运动时间为ts,解答下列问题：

(1)当t为何值时，P,Q两点同时停止运动？

(2)设aPOB的面积为S,当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值;

(3)当△PQB为等腰三角形时，求t的值.

文档大全

实用标准

参考答案

121

1.(1)抛物线的解析式为y=-x「2x+3；(2)①(-1,4)或(-2,3)；②匕［

24

【解析】

试题分析：(1)先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析

式；

(2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当NCEF=90°时，当NCFE=90°

时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；

②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示

出点N的坐标，再根据△呐就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以

求出结论.

试题解析:(1)在RtZ\AOB中，0A=1,tanZBAO=—=3,

OA

.-.0B=30A=3.

,.,△DOC是由aAOB绕点0逆时针旋转90°而得到的，

「.△DOC丝△AOB,

.,.0C=0B=3,0D=0A=1,

:.A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(-3,0).

a+b+c=0fa=-1

代入解析式为(9a—36+c=0,解得：＜b=—2.

c-3c-3

抛物线的解析式为y=-x?-2x+3；

(2)①•.•抛物线的解析式为y=-xL2x+3,

二对称轴1=--=-1,

2a

，E点的坐标为(-1,0).

如图，当NCEF=90°时，ACEF^ACOD.此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P

(-1,4)；

当NCFE=90°时，ACFE^ACOD,过点P作PMJLx轴于点M,则△EFCs/\EMP.

,EM_EFDO

"~MP~~FC~~OC~3'

.-.MP=3EM.

••,P的横坐标为t,

AP(t,-t-2t+3).

文档大全

实用标准

••・p在第二象限，

.•.PM=-t-2t+3,EM=-1-t,

.,.-t2-2t+3=-(t-1)(t+3),

解得：t,=-2,t2=-3(因为P与C重合，所以舍去)，

，t=-2时，y=-(-2)-2X(-2)+3=3.

.­.P(-2,3).

.,.当ACEF与△COD相似时，P点的坐标为：(-1,4)或(-2,3)；

②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意，得

-3k+b=0

'b=l'

左」

解得：3,

b=l

..•直线CD的解析式为：y=,x+1.

3

设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,-t+1),

3

.,.NM=-t+1.

3

17

.,.PN=PM-NM=-t-2t+3-(-t+1)=-t--t+2.

33

,SAPCO-SAPCN+SAPOH,

■,■SAPC0=-PN-CM+-PN-OM

22

=-PN(CM+OM)

2

=-PN.OC

2

17

=-X3(-t2--t+2)

23

3.7.121

=--(t+-)2+——2，

2624

...当t=-,7时，S.。的最大值为1上21工

624

考点：二次函数综合题.

135

2.(1)y=-x2--x-2.(2)证明见解析；(3)

222

【解析】

试题分析：(1)由直线厂,x-2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求.进而代入抛

2

3

物线y=ax'-^x+c,即得a、c的值，从而有抛物线解析式.

2

文档大全

实用标准

(2)求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理.本题中未提及

特殊角度，而已知A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC,则显然可用勾股定理证明.

(3)在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C,AB、AC、BC

边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点.讨论时可设矩形一边长x,利用

三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数.利用二次函数最值性质可求得最大面积.

试题解析：(1)..•直线y=lx-2交x轴、y轴于B、C两点，

2

,•.B(4,0),C(0,-2),

3

■「y=ax?—-x+c过BC两点，

2

0=16〃-6+。

-2=c

.1

a=­

解得\2,

123c

.'.y=—x--x-2.

22

13

,-'y=—x2--x-2与x负半轴交于A点,

22

・・・A(-1,0),

在RtAJWJC中,

VA0=1,0C=2,

.*.AC=V5,

在RtZ\B0C中,

•/B0=4,0C=2,

・・.BC=2后，

TAB=A0+B0=1+4=5,

/.AB2=AC2+BC2,

文档大全

实用标准

「.△ABC为直角三角形.

(3)AABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为理由如下：

2

①一点为C,AB、AC、BC边上各有一点，如图2,此时△AGFsaACBs^FEB.

图2

设GC=x,AG=V5-x,

..AGGF

'~AC~'CB'

y[5-xGF

，GF=2J?-2x,

S=GC-GF=x,(2-\/5-2x)=-2x2+2yf5x=-2[(x-]=-2(x-——•)2+—,

2422

即当x=Y5时，S最大，为2.

22

如图3,此时△CDEs/\CABs/\GAD,

设GD=x,

文档大全

实用标准

..AD_GD

'~AB~~CB

AD_x

/.CD=CA-AD=y[5-

2

..CD_DE

,~CA~~AB"

如一与X_DE

"75=V,

.5

..DE=5-—x,

2

S-GD-DE=x•(5_—x)=--X2+5X-_—[(x_1)2_1]=--(x-1)2+—.

22222

即x=1时，S最大，为一.

2

综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG,面积为*.

2

考点：二次函数综合题.

3.(1)56-2x；(2)小娟的说法正确；理由见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据BC的长二三边的总长54米-AB-CD+门的宽度，列式可得；

(2)根据矩形面积=长乂宽列出函数关系式，配方可得面积最大情况.

试题解析：(1)设AB=x米，可得BC=54-2x+2=56-2x；

(2)小娟的说法正确；

矩形面积S=x(56-2x)=-2(x-14),+392,

,.'56-2x>0,

/.x<28,

.'.0<x<28,

・•・当x=14时，S取最大值，

此时x=#56-2x,

・.・面积最大的不是正方形.

考点：二次函数的应用.

4.(1)、y=-x2-x-3；(2)、—；(3)、(0,2百)或(0,-2百)

44

【解析】

试题分析：(1)、将A、B、C三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式;

(2)、首先设H(x,y),求出S与x的函数关系式，然后利用求最值的方法求出最值；(3)、

文档大全

实用标准

根据函数解析式求出顶点G的坐标，求出AM的长度，得到MG=MA,以点M为圆心，MG为半

径的圆过点A、B,与y轴交于点a、Q；,连结QG、Q,AXQ,M,根据同弧所对的圆周角等于

圆心角的一半得出NA01G=45。，然后分情况求出点Q的坐标.

试题解析：⑴、二次函数过三点A(6,0)B(-2,0)C(0,-3)

设丁=+”"-3，则有0=4a-26-3且0=36。+66-3,a=^,h=-\,

122

y--X-x-3

,4

(2)、设H(x,y),,S=；OCx+|丁|=；X3x+；X6(-y)

3(\、3339

=—x—3—x2—x—3-—x—x2+3x+9--x2H—x+9

2(4J2442

当X=—2=3,s有最大值，S=4aC~b2=—

2a4a4.

(3)、•.•歹=」——'—3顶点G坐标为(2,-4)对称轴与x轴交于点M

一4

AM=-AB——(6+2)=4.>MG=MA

以点M为圆心，MG为半径的圆过点A、B,与y轴交于点Q,、Q2,连结Q,G、Q,A、Q,M

•••同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

ZAQ,G=-ZAMG=-x90。=45°

122

RtZXQQM中,.-0M=2Q,M=4Q.O=V42-22=273/.Q,(0,273)

由对称性可知：Q2(0,-273)若点Q在线段Q@之间时，如图，延长AQ交。M于点P,

ZAPG=ZAQ1G=45"，且NAQG>NAPGZAQG>45°

.•・点Q不在线段0102之间

若点Q在线段QG之外时，同理可得，NAQG<45°,

，点Q不在线段Q,02之外

综上所述，点Q的坐