北师大版七年数学(下)第四章-三角形教案

最新北师大版七年数学（下）第

四章-三角形教案

第四章三角形

4.1认识三角形(1)

教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发

展空间观念、推理能力和有条理地表达能

力；

2、能证明出“三角形内角和等于180°”，

能发现“直角三角形的两个锐角互余”；

3、按角将三角形分成三类。

教学重难点：三角形内角和定理推理和应用。

教学方法：演示、实验法，尝试练习法。

教学过程：

一、复习：

1、填空：

(1)当0°<«<90°时，a是角；

(2)当々=°时，a是直角；

(3)当90。<«<180°时，a是___共角；

(4)当，=______°时，,是平角。/

B-----c---D

2、如右图，

VAB/7CE,(已知)

NA=,()

/.ZB=,()

(第2题)

二、探索练习：

1

根据知道三角形的三个内角和等于180°,那么是

否对其他的三角形也有这样的一个结论呢？(提出问

题，激发学生的兴趣)

结论：三角形三个内角和等于180。(几何表示)

练习1：

1、判断：

(1)一个三角形的三个内角可以都小于60°；

()

(2)一个三角形最多只能有一个内角是钝角或直角；

()

2、在△ABC中，

(1)NC=70°,ZA=50°,贝!|NB=度；

(2)ZB=100°,NA=NC,贝！|NC=度；

(3)2NA=NB+NC,则NA=度。

3、如右图，在aABC中，ZA=3X°Z=2X°Z=X°求

三个内角的度数。

解：VZA+ZB+ZC=180°,()

••3x+2x+x=

•一

.■6x—_________

••尢二

从而，ZA=,ZB=,ZC=

三、猜一猜

(第3题)

2

练习1:一个三角形中三个内角可以是什么角？（提

醒：一个三角形中能否有两个直角？钝角呢？）

小组讨论。

★按三角形内角的大小把三角形分为三类

练习2：

1、观察三角形，并把它们的标号填入相应的括号内:

3

锐角三角形()

直角三角形)

钝角三角形()

2、一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是

什么三角形?

(1)30°和60°()

(2)40°和70°()

(3)50°和30°()

(4)45°和45°(卜y边)

四、猜想结论：直角速

简单介绍直角三角形，和表小刀我,KTZA

思考：直角三角形中的两个锐角有什么关系?

结论：直角三角形的两个锐角互余

4

练习3：

1、观察下列的直角三角形，分别写出它们符号表示、

直角边和斜边。

（图1）

（图2）

（1）图1中的直角三角形用符号写成，直

角边是和,斜边是;

（2）图2中的直角三角形用符号写成,直

角边是_____和，斜边是;

2、如下图，在RtACDE,NC和NE的关系是

其中NC=55°,则NE=度

3、如上图，在RtAABC中，ZA=2ZB,则NA二

度，ZB=度；

小结：

1、三角形的三个内角的和等于180。；

2、三角形按角分为三类：（1）锐角三角形(2)

直角三角形（3）钝角三角形

3、直角三角形的两个锐角互余

作业：

P84-习题4.1

检测练习：

1、选择:三角形三个内角中，锐角最多可以是（)

A、0个B、1个C、2个

2、如下图，ZkABC中，ZA=60°,ZC=80°,ZB=

度；

A

（第2题）(第3

题）

3、如上图,Z1=60°,ZD=20°，则NA=•度;

6

4、如右图，AD±BC,Z1=40°,Z2=30°,贝!|NB二—

度，ZC=度

5、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”：如果三

角形的三个内角都相等，

那么这个三角形是三角形；

（第4题）

如果三角形的两个内角都小于40°,那么这个三角形

是三角形。

提高练习：

1、已知aABC中，ZA：ZB：ZC=1：3：5,求NA、

NB和NC的度数，

它是什么三角形？人/口

2、如右图，已知4ABC中，.4由浓B-2=85°，

E

Z3=38°求N4的度数

3、一个零件的形状如图所示,按规定NA应该等于90°,

NB、ND应分别是20°和30°,靠叔量得N

BCD=142,就断定这个零件不合格，你般出其中的

理由吗？

7

4.1认识三角形（2）

教学目标：1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活

动，发掌空间观念、推理能力和有条理地表

达能力；

2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念

及其基本要素,掌握三角形三边关系:“三

角形任意两边之和大于第三边;三角形任

意两边之差小于第三边”。

教学重点：三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于

第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

教学难点：灵活运用三角形三边关系解决一些实际问

题。

教学方法：探索、归纳总结。卷

准备活动：

1、能从右图中找出4个东瀛羯黝驳c

2、这些三角形有什么共同的特点？

教学过程：

一、新课：

1、在右下图中你能用符号表示上面的三角形吗?

8

2、它的三个顶点分别是A__________________________________,三条

边分别是'「7,三个内角分别

3、分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边

之和以及任意两边之差。你发现了什么？

结论：三角形任意两边之和大于第三边

三角形任意两边之差小于第三边

例：有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm

的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm

的木棒呢？长度为7cm的木棒呢？

二、巩固练习：

1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成

三角形吗？为什么？（单位：cm）

(1)1,3,3

(2)3,4,7

(3)5,9,13

(4)11,12,22

(5)14,15,30

2、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm,则第三

边长X的取值范围是o若X

是奇数，则X的值是o这样的三角

形有个；若X是偶数，则X的值

是,

9

这样的三角形又有个

3、一个等腰三角形的一边是2cm,另一边是9cm,则这

个三角形的周长是cm

4、一个等腰三角形的一边是5cm,另一边是7cm,则这

个三角形的周长是cm

小结：掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和

大于第三边；三角形任意两边之差小于第三

边”。

作业：P86-4.2

4.1认识三角形（3）

教学目标：L知识与技能：理解三角形角平分线和中线

的概念，能正确画出任意三角形的角平分

线和中线。

2.数学思考：经历探索新知识的过程，提高动手能

力和归纳总结能力。

3.解决问题：能利用与三角形的角平分线和中线有

关的相等关系进行简单的推理和计算。

4.情感态度：在解决问题的过程中，体会用折纸的

方法给问题的解决带来的方便，增强学习

数学的兴趣。

教学重点：1、角平分线的概念

10

2、三角形的中线。

教学难点：会角平分线的概念。即判别哪两个角相等。

教学方法：实验法，尝试练习法。

准备活动：任意一个三角形和锐角三角形、钝角三角形

和直角三角形各一个。

教学过程：

一、探索练习：

1、任意画一个三角形，设法画出它的一个内角的平

分线。

1、你能通过折纸的方法得到它吗？（可以用量角器

来量出这个角的大小的方法画出这个角的平分线。

也可以用折纸的方法得到角平分线）o

结论：三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，

这个角的顶点和对边交点之间的线段叫做三角形中这个

角的角平分线。简称三角形的角平分线。

如图：TAD是三角形ABC的角）

r.Zl=Z2=ZBAC

或：NBAC=2Z1=2Z2

请画出aABC（锐角三角形）的所有角平分线，并且观

察这些角平分线有什么规律？对于钝角三角

11

形呢?直角三角形呢?它们的角平分线也有

这样的规律吗？

一个三角形共有三条角平分线，它们都在三角形内部,

而且相交于一点。

例题一△ABC中，NB=80°ZC=40°,B0>CO平分NB、

ZC,则NBOC=.

练习：1、任意画一个三角形，设法画出它的三条中线,

它们有怎样的位置关系？

2、你能通过折纸的方法得到它吗？

画中线时，学生可以用刻度尺通过测量的方法来得一边

的中点。也可以用折纸的方法得到一边的中点。

连结三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形

这个边上的中线。简称三角形的中线。

注：规范书面表达，按下面的示范书写：

如图：TAD是三角形ABC的中线。

A

12

・・・BD=DC=，BC

2

或：BC=2BD=2DC

请画出aABC（锐角三角形）的所有中线，并且观察这

些中线有什么规律？对于钝角三角形呢?直

角三角形呢?它们的中线也有这样的规律

吗？

结论：

一个三角形共有三条中线，它们都在三角形内部，而且

相交于一点。这点叫做三角形的重心。A

如图，已知,AD是BC边上的中线,AB=5cm：ABD

的周长是「/

BDC

12cm,求BC的长.

巩固练习：

1、AD是△ABC的角平分线（D在BC所在直线上），那么

ZBAD==|.A

△ABC的中线（E在BC所在直线么

B

BE==BC.Dc

2、如右图，在AABC中，NBAC=60°,ZB=45°,AD是4

ABC的一条角平分线，

求NADB的度数.

13

小结：(1)三角形的角平分线的定义；

(2)三角形的中线定义.

(3)三角形的角平分线、中线是线段.

作业：P88-习题4.3

4.1认识三角形(4)

教学目标：1、通过观察、想象、推理，发展空间观念、

推理能力和有条理地表达能力；

2、了解三角形的高，并能在具体的三角形中

作出它们。

教学重点：在具体的三角形中作出三角形的高。

教学难点：画出钝角三角形的三条高。

教学方法：实验法，尝试练习法。

教学过程：过三角形的一个顶点A,能画出它的对边BC

的垂线吗？从而引出新课：

1、★三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在

A

直线作垂线,顶点和垂，,叫做三角

形的高线，简称三角无B—J、C

如图，线段AM是BC边上的高。

VAM是BC边上的高

Z.AM1BC

2、做一做：准备一个锐角三角形纸片

14

(1)能画出这个三角形的高吗？能用折纸的方法得到

它吗？

(2)这三条高之间有怎样的位置关系呢？

结论：锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一

点。

3、议一议：画出一个直角三角形和一个钝角三角形

(1)画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的

位置关系？

(2)能折出钝角三角形的三条高吗？能画出它们吗？

(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直

线交于一点吗？

结论：(1)、直角三角形的三条高交于直角顶点处。

(2)、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点

在三角形的外部。

4、小结：(1)锐角三角形的三条高在三角形的内部且

交于一点。

(2)直角三角形的三条高交于直角顶点处。

(3)钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在

三角形的外部。

5、作业：

P91-习题4.4

4、2图形的全等

15

教学目标：1.借助具体情境和图案，经历观察、发现

和实践操作重叠图形等过程，了解图形全

等的意义，了解全等图形的特征。

2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相

等的性质，并能进行简单的推理计算。

教学重点：1.图形的全等与全等图形的特征的了解是本

节课的重点，识别全等图形及通过实践活动

得出全等力形既是重点也是难点。

2、会看图，会找到三角形的对应边、对应角。

3、掌握全等三角形的对应边相等、对应角相

等的性质。

教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。

教学方法：实践操作法和观察法

教学过程：

一、看一看

1.观察课本两组图形。

2.多举一些比较熟悉的能全等或不全等图形的实例，进

行想象全等力形与不全等图形的区别。例如：

（1）同一张底片冲印出两张相同尺寸的相片与两张

不同尺寸的相片。

（2）同一人的两只手掌与一大人左手掌和一小孩的

左手掌。

（3）一个三角形和一个四边形

3.把下列两组图形投影出来：

⑴、I---------------1~、一

16

通过观察，说出两组图形中上、下两个图形的异同之处,

与同学交流你的看法。

-\做~^做

1.用复写纸印出任一封闭图形。

2.把两张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形。

二、议一议

1.从“做一做”中得到的两个图形有什么特征？

这两个图形能够重合，它们的形状和大小都相同。

2.在看一看中，你的看法如何？

形状相同且大小也相同的两个图形能够重合，反之亦

然。

运状不同或大小不同的两个图形不能重合，不能重合

的两个图形大小一定不相同。

3.能够重合的两个图形称为全等图形。

全等图形的形状和大小都相同

一、实验活动：找出图画中全等的图形，从而引出全

等三角形的定义及性质

1.全等三角形的定义及有关概念和性质.

(1)定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形

或形状相同、大小相等的两个三角形.

(2)反例：举出不全等的三角形的例子，利用教师和

学生手中的含30°角的三角板说明只满足形

状相同的两个图形不是全等形，强调定义的条

件.

(3)对应元素及性质：说明对应元素(顶点、边、角)

的含义，并引导学生观察全等三角形中

对应元素的关系，发现对应边相等，对

应角相等.教师启发学生根据“重合”

来说明道理.

2.学习全等三角形的符号表示及读法和写法：解释

，，义，，的含义和读法，并强调对应顶点写在对应位

置上.

举例说明：如图，VAABC^DFE,(已知)

AAB=DF,AC=DE,BC=FE,(全等三角形的对

应边相等)

18

NA=ND,ZB=ZF,NONE.(全等三角形

的对应角相等)

AD

小结：在书写全等三角形时，如果将对应顶点写在对

应位置上，那么，将两个三角形的顶点同时按1

-2-3-1的顺序轮换，可写出所有对应边和对

应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形

的时间.

二、总结寻找全等三角形对应元素的方法，渗透全等

变换的思想

(1)全等用符号表示.读作.

(2)三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为

(3)已知aABC和4A，B‘C，中，NA=NA',NB=N

B‘ZC=ZCf;

AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C''贝!I△

ABCAAZB'C'.

(4)如右图AABCgZ\BCD,NA的对应角是ND,NB的对

应角NE,则

ZC与是对应角;AB与是对应边，BC与

是对应边，

19

AC与是对应边.人

（5）判断题：

①全等三角形的对应边相等,对应角相等.（）

②全等三角形的周长相等.（）

③面积相等的三角形是全等三角形.（）

④全等三角形的面积相等.（）

三、性质应用举例

1,性质的基本应用.

例1已知：△ABCgZkDFE,ZA=96°,ZB=25°,

DF=10cm.求NE的度数及AB的长.

例2如图，已知CD_LAB于D,BE_LAC于E,AABE^A

ACD,ZC=20°,AB=10,AD=4,G为AB延长线上一

点.求NEBG的度数和CE的长.

分析：（1）图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt

△ACD和RtZ\ABE；AABE^AACD,Z\ABE的外角NEBG

或NABE的邻补角NEBG.

c

DBG

（2）利用全等三角形的对应角相等性质及外角或

邻补角的知识，求得NEBG等于160°.

（3）利用全等三角形对应边相等的性质及等量减

等量差相等的关系可得：CE=CA-AE=BA-AD=6.

小结：

20

1.学生回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了

全等三角形的哪些知识？

(1)全等三角形的定义、判断方法、性质.

(2)找全等三角形对应元素的方法.注意挖掘图形中隐

含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不

一定是对应顶点.

2.在运用全等三角形的定义和性质时应注意什么问

题？教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式.

3.了解全等变换的思想，更好地识别全等三角形及对

应元素.

作业：

P95-习题4.5

4.3探索三角形全等的条件(1)

教学目标：1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利

用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握三角形的“边边边”条件，了解三角

形的稳定性。

3、在探索三角形全等条件及其运用的过程

中，能够进行有条理的思考并进行简单的

推理。

教学重点：三角形“边边边”的全等条件

教学难点：用三角形“边边边”的条件进行有条理的思

考并进行简单的推理。

教学方法：探索、归纳总结。

21

1、全等三角形的相等，相等。

2、如图1,已知△AOCg/kBOD,贝（1NA=NB,ZC=,

=Z2,对应边有AC=,=0B,

=0Do

3、如图2,已知△AOCgZkDOB,则NA=ND,ZC=,

=Z2,对应边有AC=,0C=,

A0=o

4、如图3,已知NB=ND,Z1=Z2,Z3=Z4,AB=CD,

5、判定两个三角形全等，依定义必须满足（）

（A）三边对应相等（B）三角对应相等（C）

三边对应相等和三角对应相等（D）不能确定

教学过程：

一、实验操作

1.画出一个三角形，使它的三个内角分别为40。，60。，

22

80°,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一

定全等吗？

结论：_______________________________________

2、画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm4cm

7cm,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一

定全等吗？

结论：_______________________________________

二、巩固练习：

1、下列三角形全等的是_______________________

2、三边对应相等的两个三角形例全等，简写为

或__________

3、如图，AB=AC,BD=DC4、如图，AM=AN,

BM=BN

求证：△ABDgZ\ACD求证：AAMB

23

^△ANB

证明：在AABD和4ACD中证明：在4

AMB和aANB中

A8=AC（已知）AM=()

=（已知）=BN(已知)

AO=AD（公共边）=(公共边)

:.AABDAACD()

g()

5、如图，AD=CB,AB=CD6、如图，PA=PB,

PC是APAB的

中线，Z

A=55°

求证：ZB=ZD求：NB的

度数

24

证明：在中解：・・・PC是

AB边上的中线，

••

AC=（中线的定义）

____________________中

().・.g

()

・・・NB=ND(全等三角形对应角相等)

PZA=ZB

()

・・・ZA=55°(已知)

・•・ZB=ZA=55°(等量

代换）

25

提图练习：A、F

1、如图，AB=DC,BF=CE,AE=DF,你能

找到一对全等的三角形吗？

说明你的理由。,

2、如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,

BC=EF

你能找到哪两个三角形全等？说明

的理由。

3、如图，已知AC=AD,BC=BD,CE=DE,

等三角形共有对,

D

26

并说明全等的理由。

课时小结

本节课我们重点探索了三角形全等的条件，还了解了三

角形的稳定性.

三角形全等的条件：

三边对应相等的两个三角形全等.

课后作业

（一）课本P99-习题4.6

（二）1.预习内容

4.3探索三角形全等的条件（2）

教学目标：1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利

用操作、归纳获得数学结论的过程；通过画

图、探索、归纳、交流，使学生获得一些研

究问题的经验和方法，发展实践能力和创新

精神.

2、掌握三角形的“角边角”“角角边”条件,

了解三角形的稳定性。

3、在探索三角形全等条件及其运用的过程

中，能够进行有条理的思考并进行简单的

27

推理。

教学重点：三角形“角边角”“角角边”的全等条件

教学难点：用三角形“角边角”“角角边”的条件进行有

条理的思考并进行简单的推理。

教学方法：探索、归纳总结。

准备活动：1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为

或__________

2、如图L在AABC中，AB=AC,AD是将边上的中线,

AD能平A

分NBAC吗？你能说明理由吗？/\

BL------'-----p

解：AD平分NBAC。D

TAD是BC边上的中线（已知）

・•・=（中线的定义）

在中

:.义()

/.ZBAD=ZCAD()

・・・AD平分NBAC()

3、如图2

(图2)

28

(1)・・・AC〃BD(已知)

・・・Z=Z()

(2)VAD/7BC(已知)E

・・・Z=Z(\cr.)

4、如图3,B\

VEA±AD,FD±AD(已知)

・•・Z=Z=90°

()

图3)

教学过程：

一、探索练习：

1、如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比

如三角形的两个内角分别是60°和80°,它们所夹的

边为2cm,你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同

伴画的一定全等吗？

结论：__________________________________________

2、如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,

比如三角形两个内角分别是60°和45°,一条边长为

3cm。你画的三角形与同伴画的一定全等吗？

结论：__________________________________________

二、巩固练习：

29

1、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写

成或

2、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,

简写成或

3、如图，AB=AC,ZB=ZC,你能证明△ABDg/kACE

吗？

证明：Z\ABD和4ACE中

Z=Z（已知）

<=（已知）

Z=z（公共角）

:.g

4、如图，已知AC与BD交于点0,AD/7BC,且AD=BC,

你能说明BODO吗?

证明：・・・AD〃BC（已知）

，g()

AB0=D0()

30

5、如图，ZB=ZC,AD平分NBAC由你能证明AABD

^△ACD?

若BD=3cm,则CD有多长？

BDL

证明：TAD平分NBAC（）

AZ=N（角平分线的定义）

在aABD和4ACD中

Z=N（已知）

<Z=Z（已证）

=（公共边）

/.AABDAACD（）

ABD=CD（）

VBD=3cm（已知）

・・・CD==（等量代换）

6、如图，在aABC中，BE±AD于E,CF±AD于F,且

BE=CF,那么BD与DC相等吗？你能说明理由吗？

解：BD=DCo

0

31

BC

(第6题)

，BD=DC()

7、如图，已知AB=CD,ZB=ZC,你能说明△ABOg4

DCO吗？

三、提高练习：C

A

1、如图，AB/7CD,ZA=ZD,BF=CE,,

求NDCF的度数。X

B

2、如图，在Rt^ACB中，ZC=90°,B崂和分线,

ED_LAB于D,小丫、

且BD=AD,试确定NA的度数。

小结:本节课我们又探索出两个三角形全等的条件,

32

到现在为止，我们有以下几种方法可得到两个三角形全

等.

（1）定义.

sss

（2）三角形全等的条件：ASA

AAS

注意：要判定两个三角形全等时，边和角”对应相

等”,而不是“分别相等”即：两个三角形中相等的边

和角必须有相同的顺序.

课后作业

（一）课本pl02-习题4.7

（二）L预习内容

4.3探索三角形全等的条件（3）

教学目标：

（一）教学知识点

三角形全等的条件：边角边.

（二）能力训练要求

1.经历探索三角形全等条件的过程,体会

利用操作、归纳获得数学结论的过程.

2.掌握三角形全等的“边角边”条件.

3.在探索三角形全等条件及其运用的过

程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.

33

(三)情感与价值观要求

通过画图、思考、探索来激发学生学习的

积极主动性，并使学生获得一些研究问题的经验和方

法，发展实践能力与创新精神.

教学重点：1.指导学生分析问题，寻找判定三角形

全等的条件.

2.三角形全等证明的书写格式

教学难点：1.指导学生分析问题，寻找判定三角形

全等的条件.

2.三角形全等证明的书写格式

教学方法：实践操作法

教学过程：

一、复习提问

1.怎样的两个三角形是全等.

2.全等三角形的性质？

3.指出图中各对全等三角形

并说明通过怎样的变换能使它们完全重合:

图(1)中：△ABDgZkACE,AB与AC是对应边;

图(2)中：△ABC04AED,AD与AC是对应边.

二、新课

1.三角形全等的判定I

(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性

质.那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是

34

说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已

知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图

形变换的方法研究下面的问题：

如图2,AC、BD相交于0,AO、BO、CO、DO的长度如图

所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO=CO,ZA0B=ZCOD,BO=DO.

如果把AOAB绕着0点顺时针方向旋转，因为0A=

0C,所以可以使0A与0C重合；又因为NAOB=ZC0D,

OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与aCDO就完

全重合.(附注：此外，还可以图1(1)中的4ACE绕着

点A逆时针方向旋转NCAB的度数，也将与aABD重

合.图1(2)中的aABC绕着点A旋转，使AB与AE重合,

再把4ADE沿着AE(AB)翻折180。.两个三角形也可重

合)

由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不

需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且，从上

面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边

和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等.

2.上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如

下的实验：

(1)读句画图：①画NDAE=45°,②在AD、AE上分别

取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结

BC,得△ABC.④按上述画法再画一个AA'B'C'.

(2)把AA，BzCf剪下来放到△ABC上，观察AA，B7

L与aABC是否能够完全重合？

3.边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个

三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)

三、三角形全等判定I的应用

1.填空：

(1)如图3,已知AD〃BC,AD=CB,要用边角边公理证

明△ABC0Z\CDA,需要三个条件，这三个条件中，

已具有两个条件，一是AD=CB(已知)，二是()

=();还需要一个条件()=()(这个

条件可以证得吗？).

图3图4

(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,要用边

角边公理证明△ABDgACE,需要满足的三个条件

中，已具有两个条件：()=(),()

=()(这个条件可以证得吗？).

2.例题

例1已知：AD/7BC,AD=CB（图3）.

36

bD

E1

国5

求证：^ADCgaCBA.

问题：如果把图3中的AADC沿着CA方向平移到AADF

的位置（如图5）,那么要证明AADFgACEB,除了AD

〃BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件（AF=CE

或AE=CF）?怎样证明呢？

例2已知：AB=AC、AD=AE、N1=N2（图4）.求证：

△ABD^AACE.

小结：

这节课我们重点探索了三角形全等的条件：“边角边”.

至此我们已有五种判定三角形全等的条件.

（1）全等三角形的定义

（2）边边边

（3）角边角

（4）角角边

（5）边角边.

推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找

它们对应相等的条件，这样有利于探索并获得解题途径.

作业：

课本P104-习题4.8

1.已知：如图，AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求

证：Z\ABE@AACF.

2.已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF=CE,

37

BE/7DF,BE=DF.求证：^ABEgZ\CDF.

（第1题）（第2题）

4.4用尺规作三角形

教学目标：1、在分别给出的两角夹边、两边夹角和三边

的条件下，能够利用尺规作三角形。

2、能结合三角形全等的条件与同伴交流作

图过程和结果的合理性。

教学重点：1、根据题目的条件作三角形

教学难点：探索作图过程。

准备活动：计算已知线段a,求作线段AB,使得AB二a。

1.已知：乙a/

求作：ZAOB,使/ZAOB，a

2.已知：M为NAOB边上的一点，如图所示，过M作

直线CD,使得CD〃OA。

教学过程:

38

内容一：(根据简单图形书写作法)

(1)如图,使用直尺作图，看图填空.

ABABoAABC

①②③

④

①过点和作直线AB;

②连结线段；

③以点为端点，过点作射线

④延长线段到,使得BC=2AB.

(2)如图,使用圆规作一J一一空:

1aT

ABM

①在射线AM上线段

②以点为圆心，以线段为半径作弧交

于点.

以点为圆心，以任意长为半径作弧,分别

39

交NAOB两边，交于点,

交于点・

这部分内容是为让学生熟悉作法的语言表达而设的.教

师应该让学生慢慢理解这种语言表达的意思.逐步学会

自己口述表达自己的作图过程.

内容二(作一个三角形与已知三角形全等)

1、已知三角形的两边及其夹，“K3个三角

已知：线段a,c,Zao

求作：AABC,使得BC=a,AB=c,ZABC=Zao

作法与过程：

(1)作一条线段BC=a,

(2)以B为顶点，BC为一边，作角NDBONa；

(3)在射线BD上截取线段BA二c；

(4)连接AC,AABC就是所求作的三角形。

2、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.

已知：线段Na,NB,线段c。

求作：AABC,使得NA=Na,NB=NB,AB=c。

40

作法：(1)作=Za；

(2)在射线上截取线段

_________=c;

(3)以为顶点，以为一边，

作N=Z8,交

于

点.AABC就是所求作的三角

形.

3、已知三角形的三边，求作这个三角形.

已知：线段a,b,Co

求作：AABC,使得AB=c,AC=b,BC=a。

abc

小结：能根据题目给出的条件作出三角形。能口述

作图过程。

作业：P107-习题4.9

4.5利用三角形全等测距离

教学目标：1、能利用三角形的全等解决实际问题，体会

数学于实际生活的联系；

2、能在解决问题的过程中进行有条理的思考

和表达。

41

教学重点：能利用三角形的全等解决实际问题。

教学难点：能在解决问题的过程中进行有条理的思考和

表达。

教学方法：探索、归纳总结。

准备活动：

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为

或__________

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写

成或

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,

简写成或

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写

成或

5、全等三角形的性质：两三角形全等，对应边,

7、如图；4ABD之^ACE,那么ABDA=Z,AD=

教学过程：

一、探索练习：

如图：A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳

42

子测量A,B间的距离，但绳子不够长。他叔叔帮他出

了一个这样的主意：

先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,

连接AC并延长到E,使CD=AC；连接BC并延长到E,使

CE二CB；连接DE并测量出它的长度；

(1)DE=AB吗？请说明理由

(2)如果DE的长度是8m,则AB的长整”\，

二、巩固练习:

1.如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距

离。

(1)在地上取一个可以直接到达A、B点的点0,连接

A0并延长到C,使A0X0,你能完成下面的图形?

(3)说明你是如何求AB的距:

2.如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB

的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线

DF,使A、C、E在一条直线上，这时测得DE的长就是

43

AB的长，试说明理由。

3.如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端,

图并求出A、B的距离

三、提高练习：

1.在一座楼相邻两面墙的外部有两点A、C,如图所示,

请设计方案测量A、C两点间的距离。

2.如图，一池塘的边缘有A、B两点，试二

测量A、B两点间的距离人

44

小结：能利用三角形的全等解决实际问题，能在解

决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

布置作业：

P109-习题4.10

回顾与思考（第1课时）

本“回顾与思考”可以安排2课时。第1课时，以学生

为主体回顾本章学习的主要内容，结合典型习题进一步

体会知识间的内在联系。第2课时安排易错题欣赏和综

合性的习题，提升学生推理能力。

一学生起点分析：

学生的知识技能基础：

通过本章的学习，学生已经掌握了三角形的基本要素及

基本性质，探索了三角形全等的条件并会用已学的判定

方法来证明三角形的全等问题，能够利用三角形全等来

解决一些实际问题。

学生活动经验基础：

在相关知识的学习过程中，学生已经经历了探索三角形

全等的条件过程，从事了观察、操作、推理、想象、交

流等活动，发展了空间观念和推理能力。同时在以前的

数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有

了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的

能力。

45

二教学任务分析：

三角形的性质和三角形全等对初中数学平面图形的

学习起到承上启下的过渡作用，也为今后学习三角形相

似奠定了一定基础。在本章中学生经历探索三角形全等

的过程；并掌握三角形全等的全部条件，能熟练选择判

定方法判定两个三角形全等，有条理的进行表达，解决

一些实际问题。为巩固学生已有的知识和学习能力，本

节课的教学目标是：

1、知识与技能：通过学生自主复习进一步巩固三角形的

基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条

件。

2、过程与方法：合理运用三角形全等的条件解决一些简

单问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学

生的小组合作意识和合作能力。

3、情感与态度：让学生理解数学的应用价值，培养学习

数学的兴趣。

三教学过程设计：

本节课设计了五个教学环节：第一环节：课前准备

——自我总结；第二环节：合作交流；第三环节：练习

提高；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。

第一环节课前准备

活动内容：提前一天布置，让学生选择自己喜欢的方式

梳理本章的知识,其中建议学生留出一个环节写出自己

46

对本章的知识还有什么疑惑，或者可以写出在本章中留

下印象最深刻的习题与大家分享和交流。

对于学习能力差的学生，教师可以给出不完整的知识框

架，由学生完成，这样可以让全体学生都参与到课堂中。

［三角形的基本要

素:_________________________________________

三角形的基本性质:(1)三边关系

三角形⑵三角关系

⑶重要线段

一性

质:_________________________

图形全等一三角形全等一判

定：_________________________

你有哪些疑惑?

47

活动目的：由学生自己梳理本章的知识既可以锻炼学生

自主学习的能力又可以调动学生学习的热情和兴趣，还

可以加强学生在小组内活动交流的意识。

实际教学效果：学生的潜力是无限的，可以画知识网络

图，可以列表，可以以问题形式，也可以用画画的形式

等来梳理知识。学生为给自己所在的小组加分会很努力

地完成和参与到小组中来。虽然学生总结的可能不全面

和完美，但会给学生留下深刻的印象，比以往由教师总

结的效果要好很多。等本节课结束后可以将学生总结的

作品展示到班级的板报中，可以让交流和总结继续下去。

第二环节：合作交流

活动内容:开课时由学生在小组内交流各自的知识总结,

互相查缺补漏，先组内解决疑惑问题，小组长充分发挥

组织能力，调动全组每一名学生参与。然后选出一份全

组最满意的一份总结做好全班交流展示的准备。其它小

组要主动与展示小组交流：可以纠正错误，补充不足，

提出问题，表扬鼓励等。

活动目的:这个环节可以调动每个学生参与到课堂中来,

真正做到让每个学生都成为课堂的主人。

实际教学效果：为给自己所在小组加分，展示小组中的

组员都要发言和展示，其它小组成员为赢得加分，要积

极参与到交流和提问中来。这样在交流和展示中本章的

知识点和注意事项就都在学生激烈的交流和补充中完成

48

了。教师要适时表扬和鼓励学生，在需要和恰当的时候

要起到教师引领的作用。

第三环节：练习提高

活动内容：结合典型习题回顾重要知识点。

(一)回顾"三角形三边关系”

1、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成

三角形吗？为什么？(单位：。加

(1)1,3,3

(2)3,4,7

(3)9,13,5

(4)11,12,20

(5)14,15,31

2、已知一个三角形的两边长分别是2谶和4加，则第三

边长x的取值范围是;若x是

奇数，则x的值是;

此三角形的周长p的取值范围是

3、一个等腰三角形的一边是2c卬，另一边是9cm,则这

个三角形的周长是cmo

4、一个等腰三角形的一边是5c勿，另一边是7cm,则这

个三角形的周长是cm。

(二)回顾"三角形内角和“

1在△胸中，

(1)ZC=70°,ZA=50°,贝！JNB=度；

49

（2）ZB=100°,ZA=ZC,则NC=_______度；

（3）2ZA=ZB+ZC,则NA=______度。

（4）ZA：ZB：ZC=1：3：5,则NA=______ZB=______ZC=______o

2如图，已知五角星ABCDE,

求NA+NB+NC+ND+NE的度数和为_____。

X

（三）回顾"三角形三条重要线段”

1,三角形ABC中，D为BC上的一点，且SaAaLSaADc，则AD为（）.

A.高B.角平分线C.中线D.不能确定

2如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB=5cm,AC=3cm,则三角形ABD

与三角形ACD的周长之差为__________,三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系

为迷

3在△ABC中，NB=24°,ZC=104°,则NA的平分线和BC边上的高的夹角等于______.

A

4如图，△胸中8c边上的高为—

E

（四）回顾“全等三角形性质及判定”的基础题r

1.如图1所示，在△岫7中，AB=AC,BE=CE,则由“55S'可以判定是（）

A.AABD^AACDB.ABDE^ACDE

C.AABE^AACEDAABE^ACDE

:A/

屋「SO

囱

囱1