2023中考数学圆中定值

专题27圆中定值

1.已知MN是0的切线，A3是O的直径.求证：点4、B与MN的距离的和为定值.

【解答】证明：①根据题意可画出图形，过点A作ACJ_MN于点C，过点8作于

点D,连接OE

MN是O的切线

:.OELMN

ACHOEHBD

又。为AB中点，

，OE'为梯形ACDB的中位线，

AC+BD=2OE

即AC+BD等于定长，为圆的直径.

②如图：当M为。的直径时，

点A到MN的距离为AB的长，点5到MN的距离为0,

，点A、3与的距离的和A3=2x半径，

以上可得：点A、8与的距离的和为定值.

2.如图，已知，在以他为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A,6两点），以M为圆心

作圆用和/W相切，分别过A,8作M的切线，两条切线相交于点C.

求证：NAC8为定值.

【解答】证明：连接AM,BM,

由题意得：M是内心，

.♦.AM平分NC4B,平分NABC,

:.^CAM=ABAM,ZCBM=ZABM,

/.ZAMB=180°-ZBAM-ZABM,

ZBAM+ZABM=180°-ZAMB,

AABC中，

ZC=180°-(ZC4B+NACB)=180°-2ZBAM-2ZABM=180°-2(180°-ZAMB)=2ZAMB-180°

AB所在圆是个定圆，弦钻和半径都是定值，

.•.ZAMB为定值，

.•.NACB为定值2NAM6—180。.

3.如图，半径给定的两圆同心，对小圆作三条切线，两条分别交于A、3、C三点，记以

A、B、C为顶点的像扇形的区域面积分别为S-邑、j，AA8C的面积为S，求证：

Si+5+S3—S为定值.

【解答】证明：由于半径给定，故切小圆的三条大圆的弦的长度为定值，每条弦把大圆分成

两个弓形，不妨设大弓形的面积为用，小弓形的面积为K2,分别计圆中阴影部分的面积分

则S,+7；+S2=S2+7；+53=53+7；+5I=K，

Tj+A+S+Ss=(+7^+S,+S=(+7^+S+S]=&,

故6K,—3Kl=3(5+S2+S3-S),即£+S,+S：-S=2K,-K1为:i己值.

，求证：四型为定值.

4.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧仞上任意一点

PB

【解答】解：延长R4到E,使AE=PC,连接BE,

/口

AX7K~~^XD

ZBAE+ZBAP=}80°,ZBAP+ZPCB=180°,

:.ABAE=^PCB,

四边形ABC。是正方形，

:.AB=BC,ZABC=90°,

在AABE和ACBP中，

AB=BC

/BAE=/PCB,

AE=CP

:.^ABE^\CBP{SAS),

:.ZABE=ZCBP,BE=BP,

..ZA3E+ZABP=ZABP+NCBP=9(T,

「.AfiEP是等腰直角三角形，

:.PA+PC=PE=yl^PB.

即：空工夜，

PB

，也生为定值.

PB

5.已知两同心圆的圆心为O,过小圆上一点〃作小圆的弦M4和大圆的弦8MC,且

MAA.BC,求证：Al+BCZ+oe为定值

【解答】证明：过O点作BC垂线，设垂足为D；作M4垂线，设垂足为E,

设M8=a,MC=b,MA=c,大圆的半径为A，小圆的半径为r,

MALBC,

AB2+AC2+BC2=(a2+c2)+(a2+b2)+(a+b)2=2(/+b2+c2)+2ab,

ODA.BC,OEA,MA,

CD=—[a+b),ME=—,

22

.•.在RtAODC中，[L(a+%)『+

，

2

在RtAOME中，—〃)『+(：

「iTO①

式a+。)+

.•.求得方程组：卜」，

j--)2

ge-a)+("②

解方程组的得：口+/+；2=2R2+2产

，

\2ah=2R2-2,2

AB2+AC2+BC2=2(/+b2+c2)+lab=2(2R?+2产)+2R2-2/=6/?2+2r：

"4+叱+次为定值.

6.已知直径AB、CD互相垂直，点M是AC上一动点，连AM、MC.MD.

(1)如图1,求证：MD-MC=^MA；

:嗤镇为定值・

(2)如图2,求证

【解答】证明：(1)如图1,连接AC、AD

直径他、CD互相垂直，

:.AC=AD,ZC4£>=90°,

：.AC=AD=^CD.

2

由托勒密定理得到=,即A/C•也8+加4-。=也

CDMD,

22

:.MC+—MA=MD

2

:.MD-MC=yf2MA.

(2)如图2,连接3C、BD.

直径43、CQ互相垂直，

:.AC=AD,ZC4£>=90°,

75

/.BC=BD=—CD.

2

由托勒密定理得到例D.3C+MC・瓦＞=板-8,即+=,

/.MD2-MC2=(MD+MC)(MD-MC)

=4IAM,6MB

=2AM-MB,

(MD2-MC2)c即“为定值・

------------=2,

MAMB

7.如图，设P为圆O内一定点，过/，任作一弦AC,分别过A,C引圆的切线，再过尸分

别作两切线的垂线，垂足为Q，/?.求证：一L+」-为定值.

PQPR

【解答】证明：过点A作直径交O于点石,连接召。,过P作直径交二。于M,N,

:.ZECA=90°.

AE1AR,PR工AR,

.•.4石//”?且/尸兄4=90。.

/.ZEAC=ZAPR,ZACE=ZPRA,

/./^AEC^APAR.

ACAE

——=——①

PRPA

同理可得：生=丝②

PQPC

，曰ACACAEAE

①+②,得：——+——=—+—

PRPQPAPC

11AEPA4-PCAE

TQ~PR~~ACPAPC~PAPC

PA・PC=PMPN.

._L1_AE

"~PQ~PR~PMPN'

AE1是直径，点尸是定点,

.•.PM・PN是定值,

8.如图，过点。和点M(2,2)的动圆01分别与1轴，y轴相交于点A,B.

(1)求。4+。5的值；

(2)设M。4的内切圆/的直径为d,求证：d+AB为定值.

【解答】(1)解：作轴于。，ME_Ly轴于E,连接M4、MB,如图，

M点坐标为(2,2),

:.MD=ME=2,

，四边形石为正方形，

.\OD=OE=MD=2,Z£MD=90°,

AB为直径，

:.ZAMB=90°,即NAME+ZBME=90。,

而Z4A/E+NAMD=90。,

:.ZAMD=ZBME,

在AAMD和ABME1中

ZAMD=NBME

<MD=ME,

ZADM=NBEM

:.^AMD=^BME(ASA),

/.AD=BE,

:.OA+OB=OD-AD+OE+BE=OD+OE=2OD=^；

(2)证明：ABQ4的内切圆/的半径=空31^

2

」.ABQ4的内切圆/的直径=。4+。8-他,

：.d+AB=OA+OB-AB+AB=4,

即d+他为定值.

9.如图1,E点为x轴正半轴上一点，E交x轴于A、B两点，交y轴于C、。两点，

点为劣弧BC上一个动点，且以一2,0),£(2,0).

(1)BC的度数为120°;

(2)如图2,连结PC,取PC中点G,连结OG,则OG的最大值为；

(3)如图3,连接月4,PC.若CQ平分NPCD交E4于。点，求线段A。的长；

(4)如图4,连接必、PD,当P点运动时(不与8、C两点重合)，求证：”土竺为

PA

定值，并求出这个定值.

4(-2,0),£(2,0),

:.OA=OE=2,

ABLCD,

.•.8垂直平分AE,

CA—CE,

CE=AE,

CA=CE=AE,

:.ZCEA=60°,

.­.ZCEB=180o-ZCE4=120°,

故答案为120；

(2)由题可得，4?为E直径，且AB_LCD,

由垂径定理可得，CO=OD,

连接P£),如图2,又G为PC的中点，

:.OGHPD,S.OG=-PD,

2

当D,E,P三点共线时，此时止取得最大值,

且£)P=A3=2AE=8,

;.OG的最大值为4,

故答案为4；

(3)如图3,连接AC,BC,

直径A8_LC£>,

AC=AD,

.\ZACD=ZCPA,

C。平分NDCP,

ZDCQ=ZPCQ,

:.ZACD+ZDCQ=ZCPA+ZPCQ,

ZACQ=ZAQC,

:.AQ=AC

由(1)可得，AC=AE=4,

.1.A0=4；

证明:(4)由题可得，直径ABJ_CD,

.•.M垂直平分CD,

如图4,连接AC,AD,则AC=A£>,

由(1)可得，AACE为等边三角形，

.1.ZC4E=60°,

.-.ZDAC=2ZCAE=120°,

将AACP绕A点顺时针旋转120。至A4UM,

:./\ACP=/\ADM,

ZACP=ZADM,PC=DM,

四边形ACP。为圆内接四边形，

:.ZACP+ZADP=\S00,

/.ZADM+ZADP=180°,

P三点共线

:.PD+PC=PD+DM=PM,

过A作AGJLPM于G,贝i」PM=2PG,

ZAPM=ZACD=30°

在RtAAPG中,ZAPM==30°,

设AG=x,贝ljAP=2x

PG=\lAP2-AG2=J3x,

;.PM=2PG=2拒x,

PM=&P,

PC+PD=®P,

..PC/增为定值

Mi

h

1t

:「

：：图4

M

Lx

图3

10.问题：如图1,O中，他是直径，AC=BC，点。是劣弧8C上任一点.（不与点8、

。重合）

求证：4/）一—/）为定值

CD

思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明AACEMABCZ）.按思路完成下列证明过

程.

证明：在用）上截取点E.使他=BE>.连接CE.

运用：如图2,在平面直角坐标系中，。与x轴相切于点A（3,O）,与轴相交于5、C两点，

且BC=8,连接45,O、B.

(1)08的长为1

(2)如图3,过A、3两点作。2与y轴的负半轴交于点M,与。出的延长线交于点N,

连接AM、MN,当Q的大小变化时，问的值是否变化，为什么？如果不变，

请求出身0-8N的值.

【解答】证明：如图1,在4)上截,

图1

CD=CD,

:.NCAD=4CBD,

在AACE和MC£>中，

AC=BC

<ZCAE=ZCBD,

AE=BD

:.AACE=^BCD(SAS),

:.ZACE=/BCD,CE=CD,

4?为直径，

/.ZACB=90°,

.•.NECD=90。,

.•.AECD是等腰直角三角形，

:.CD=—ED,

2

ED=AD-BD,

AD—BDrrAD—BD4，l,有

--------=V2,即An-----------为定值；

(1)如图2,连接,过01作q”_L8C于点”,

图2

;.CH=BH=4,O、H=3,QA_Lx轴,

=+HB1=5,

..C\A=C\B=5,

:.HO=5,

:.OB=HO-HB=5-4=\,

故答案为：1;

(2)8M-8N的值不变，

如图2,

由(1)得，J.04,

OH±AO,

:.OtA//OB,

;.NOiBA=NOBA,

C\A=O[B,

4O】BA=/O\AB,

.・.ZAB。1=ZABO,

如图3,在MB上取一点G,使MG=BN,连接AN,AG,

ZABO.=Z.ABO,NABOi=NAMN,

/.ZABO=ZAMN,

ZABO=ZANM,

:.ZAMN=ZANM,

:.AM=AN,

AB=AB,

,\ZAMG=ZANB,

在AAMG和A/W5中，

rAM=AN

<4AMG=ZANB,

MG=BN

r.MMG^AANB(SAS),

/.AG=AB,

AOA.BG,

:.BG=2BO=2,

:.BM-BN=BM-MG=BG=2,即8M-8N的值不变.

11.问题：如图1,。中，是直径，AC=BC，点。是劣弧3。上任一点(不与点8、

。重合),求证：9一即为定值.

CD

思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明AACEMABCD.按思路完成下列证明过

程.

证明：在AD上截取点E,使AE=8Z),连接CE.

运用：如图2,在平面直角坐标系中，与x轴相切于点A(3,0),与y轴相交于8、C两

点，且8C=8,连接45、0、B.

(1)03的长为1.

(2)如图3,过4、3两点作。2与V轴的负半轴交于点加，与的延长线交于点N,

连接40、MN,当。2的大小变化时，问80-3N的值是否变化，为什么？如果不变，

请求出BM-BN的值.

【解答】解：证明：在4)上截AE=&),

CD=CD,

.-.ZCAD=ZCBD,

在AACE和凶8中，

AC=BC

"2CAE=ZCBD,

AE=BD

:.^ACE=ABCD(SAS),

:.ZACE=ZBCD,CE=CD,

/IB为直径，

/.ZACfi=90°,

.•.48=90。，

.•.AEC£)是等腰直角三角形，

:.CD=—ED,

2

ED=AD-BD,

图1

(1)如图2,连接O|A,过01作q，_L8C于点H,

.\CH=BH=4,OtH=3,。人工轴，

O\B=《O斤+HB。=5,

O}A=O]B=5,

:.HO=5,

：.OB=HO-HB=5-4=\,

故答案为：1;

图2

(2)BM-BN的值不变,

如图2,

由(1)得，«A_LOA,

OBLAO,

:.O}A//OB,

4O】BA=4OBA,

O\A=O、B,

:./O]BA=/O\AB,

/./ABO】=ZABO,

如图3,在MB上取一点G,使MG=BN,连接AV,AG,

】

ZABO=ZABO,ZABO{=ZAMN,

/.ZABO=ZAMN,

ZABO=ZANM,

.\ZAMN=ZANM,

：.AM=AN,

AB=AB,

,\ZAMG=ZANB,

在AAMG和AA7V8中，

AM=AN

<ZAMG=4ANB,

MG=BN

:./^AMG=AANB(SAS),

AG=AB,

AOJLBG,

.\BG=2BO=2,

:.BM—BN=BM—MG=BG=2,即—BN的值不变.

12.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线丫=丘+；交y轴于点A,点A关于x轴的

对称点为点8,过点3作直线/平行于x轴，动点C(x,y)到直线/的距离等于线段C4的长

度.

(1)求动点C(x,y)满足的)，关于x的函数解析式，并画出这个函数图象；

(2)若(1)中的动点C的图象与直线)，="+；交于E、尸两点(点E在点尸的左侧),

分别过E、F作直线/的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是AAMN外接圆的切线；

②2++为定值-

x轴，

二直线/的解析式为y=

2

C(x,y),A(0,-),

.­.AC2=x2+(y-1)2,点C到直线/的距离为："+；)，

动点C(x,y)满足到直线I的距离等于线段C4的长度，

■■-X2+(y-^)2=(y+^)2,

，动点C轨迹的函数表达式)，=1/，

2

图象如图1所示：

(2)证明：①如图：

设点E(八°)点/(九为)，

动点C的轨迹与直线y=fcc+g交于石、“两点，

1，

y=—x~

・・•.2，

,1

)，=米+耳

/.x2-2kx-1=0,

：.tn-\-n=2k,=-1,

过£、F作直线/的垂线，垂足分别是M、N,

,N(n,一二),

22

A(0i),

AM2+AN2=nr+\+n2+\=m2+n2+2=(/??+n)2-2mn+2=4k2+4,

MN2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=4k2+4,

.\AM2+AN2=MN2,

.•.AAMV是直角三角形，MN为斜边，

取MN的中点Q，

.•.点Q是A/WN的外接圆的圆心，

・•.Q(A,-Q),

40,5),

二直线AQ的解析式为y=-/x+；,

直线斯的解析式为丫=辰+；,

AQ±EF,

二印是AAMN外接圆的切线；

②点E(m,a)点F(n,/?)在直线y=fcv+g上，

.1..1

:a=mk+—,b=nk+—,

22

ME、NF、)是AAMN的外接圆的切线，

AE=ME=a+—=mk+1,AF=NF=b+—=nk+l,

22

1111(机+〃洪+22/+22(公+1)

AEAFmk+1nk+\mnk2+(in+n)k+1—k2+2Z:­A:4-1k2+1

即：」—+_!_为定值，定值为2.

13.AA8c内接于O,过点。作O〃_L8c于点〃，延长O"交。于点。连接AD.

(1)如图1,求证：ZBAD=ZCAD；

(2)如图2,若=£>“，求NB4C的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点8作8KJ>4£>于点K,连接HK,若HK=3,试说

明线段A8与AC的差为定值.

图1图2图3

【解答】解：(1)OHLBC于点、H,

BD=CD,

；.ZBAD二NCAD；

(2)如图2,连接08、OC,

OH=DH,OB=OD,

：.OH=-OB,而OH上BH,

2

/.ZOBH=30°,ZBOH=60°

.\ZBAC=-ZBOC=60°；

2

(3)如图3,分别延长3K、AC,交于点M；

AD平分NR4c,

,\ZBAK=ZMAK；

在ABA/C与AM4K中，

AB=AM

</BAK=Z.MAK,

AK=AK

:.ABAK合AMAK(SAS),

:.BK=MK,AM=AB

ODLBC,

BH=HC,

.•."K为ABCM的中位线，

:.CM=2HK=2x-=3,

2

:.AB-AC=AM-AC=CM=3.

图2

14.如图，43是O的直径，AB=66,M是弧AB的中点，OCYOD,△COD绕点O

旋转与AAWB的两边分别交于E、F(羔E、F与点A、B、M均不重合)，与。分别

交于P、。两点.

(1)求证:OE=OF；

(2)连接PM、QM,试探究：在NCOD绕点O旋转的过程中，NPMQ是否为定值？若

是，求出乙PMQ的大小；若不是，请说明理由；

(3)连接斯，试探究：在ACOD绕点O旋转的过程中，的周长是否存在最小值？

若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：4?是一O的直径，