第11讲：全称命题与特称命题讲义 高三艺考数学一轮复习

第11讲：全称命题与特称命题【课型】复习课【教学目标】1.了解全称量词和存在量词的概念2.掌握全称命题与特称命题的形成、否定及真假判断【预习清单】【基础知识梳理】1.全称量词和存在量词量词名称常见量词全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等2.全称命题与特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立对任意的x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x，使p(x)成立存在x∈M，p(x)3.全称命题与特称命题的否定命题命题的否定对任意的x∈M，p(x)存在x∈M，﹁p(x)存在x∈M，p(x)对任意的x∈M，﹁p(x)否定两步走：一改量词，二否定结论。4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语等于(＝)大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的一定否定词语至少有两个一个也没有某个某些不一定【引导清单】考向一：全称命题、特称命题的否定例1：(1)已知命题p：存在的x∈R，2x－x2≥1，则﹁p为(2)命题p：对任意的x∈(0，＋∞)，，则﹁p为【解析】(1)特称命题的否定是全称命题，所以﹁p：对于任意x∈R，2x－x2＜1.(2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p为存在x∈(0，＋∞)，，考向二：全称命题、特称命题的真假判断例2：(1)下列命题中的假命题是()A．对任意的x∈R，x2≥0B．对任意的x∈R，2x－1＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，sinx＋cosx＝2(2)下列命题中的假命题是()A．对任意的x∈R，ex＞0 B．对任意的x∈N，x2＞0C．存在x∈R，lnx＜1 D．存在x∈N＋，sineq\f(π,2)x＝1【解析】(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以－eq\r(2)≤sinx＋cosx≤eq\r(2)，所以D错误．(2)对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．考向三：由命题的真假确定参数的取值范围例3：若命题“存在t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．【解析】因为命题“存在t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“对任意的t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.【训练清单】【变式训练1】（1）下列命题正确的是()A．存在x∈R，x2＋2x＋3＝0B．x>1是x2>1的充分不必要条件C．对任意的x∈N，x3>x2D．若a>b，则a2>b2（2）已知f(x)＝sinx－x，命题p：存在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，则命题p是命题（填真假）；﹁p为【解析】(1对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即存在x∈R，x2＋2x0＋3＝0错误，即A错误；x2>1⇔x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要条件，故B正确；当x≤1时，x3≤x2，故对任意的x∈N，x3>x2错误，即C错误；若a＝1，b＝－1，则a>b，但a2＝b2，故D错误．故选B.（2）易知f′(x)＝cosx－1<0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：存在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0是真命题，﹁p：对任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0.【变式训练2】若p：对任意的x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命题，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，4]【巩固清单】1.下列命题中，真命题是(D)A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，－1<sinx<1C．∃x0∈R，2x0<0D．∃x0∈R，tanx0＝2【解析】∀x∈R，x2≥0，故A错．∀x∈R，－1≤sinx≤1，故B错．由y＝2x的图象可知∀x∈R，2x>0，故C错．D正确．2．下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥0C．对于每一个无理数x，x2是有理数D．∀x∈Z，eq\f(1,x)∉Z【解析】对于A，2是素数，但2不是奇数，A假；对于B，∀x∈R，总有x2≥0，则x2＋1≥0恒成立，B真；对于C，eq\r(π)是无理数，(eq\r(π))2＝π还是无理数，C假；对于D，1∈Z，但eq\f(1,1)＝1∈Z，D假，故选B.3.命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为()A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)【解析】由偶函数的定义及命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”，可知“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．4．命题“对任意的x＞0，eq\f(x,x－1)＞0”的否定是()A．存在x＜0，eq\f(x,x－1)≤0B．存在x＞0，0≤x≤1C．对任意的x＞0，eq\f(x,x－1)≤0D．对任意的x＜0，0≤x≤1【解析】因为eq\f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq\f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1，故选B.5．已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为【解析】﹁p为“对任意的m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．6．命题p的否定是“对所有正数x，eq\r(x)>x＋1”，则命题p可写为____________________．【解析】存在x∈(0，＋∞)，eq\r(x)≤x＋17.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则p为【解析】p为“∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1”8．命题p：∀x∈N，x2>x3的否定是【解析】因为命题∀x∈M，p(x)的否定是∃x0∈M，¬p(x0).9.已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则p是（填真假），¬p为【解析】因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.10.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq