数学模型与数学建模-简介课件

数学模型（MathematicalModel）数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具:比如数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻划得到的一个数学结构.它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。第一讲数学模型与数学建模简介数学模型（MathematicalModel）第一讲数学假设

1.物体为质点，忽略物体的大小和形状。

2.没有阻力、摩擦力及其他外力。例1：牛顿第二定律(Newton)令x(t)表示在t时刻物体的位置,则质点在外力作用下运动的数学模型牛顿第二定律(Newton)假设例1：牛顿第二定律(Newton)令x(t)表示在t时刻例2：哥尼斯堡七桥问题18世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地。例2：哥尼斯堡七桥问题18世纪德国哥德堡有一条河1736年KonigsbergPregelEuler图论简化模型ABCD一笔画问题1736年KonigsbergPregelEule应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。数学建模（MathematicalModeling）数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁3.综合性：数学知识的综合。模型的综合。数学建模的特征1.实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。2.应用性：注意实际问题要求。强调模型实用价值。应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。数学建模（M椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。数学建模示例椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;

对任意，f()•g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线

1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。

2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。

3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构——即建立数学模型。

4.模型求解。

5.模型的分析与检验。

在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

数学建模的一般步骤实体信息(数据)假设建模求解验证应用1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资为什么要进行数学模型与数学建模教学?数学建模是培养学生的观察能力,抽象能力,创造思维能力,逻辑推理能力,动手能力,数学语言表达能力,计算机使用,数学软件使以及科学计算能力.而我们的现状又是怎样呢?

1999年由教育部、团中央共同发起的调查，在全国31个省和特区的19000名大中学学生中，只有4.7%的学生认为自己有好奇心、有自信心、有毅力、富于想像力；只有14.9%的学生认为培养自己的探索能力、对新事物的想像力和收集信息的能力；只有33%的学生参加过动手的活动；具有初步的创造人格和创造力特征的学生分别只有4.7%和14.9%；当有学生在课堂上对教师的讲解提出异议时，48.1%的学生认为，大多数学生会保持沉默，更有16.5%的学生认为大多数学生会予以非议（班春虹，2001）。为什么要进行数学模型与数学建模教学?数学建模是培养学生的观察数学建模教学

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，数学建模教学过程的重点是创造一个环境去引起学生的学习欲望，培养他们的自学能力，增强他们的运用意识和创新能力，提高他们的数学素养，强调的是获取新知识的能力，是解决问题的过程，而不仅仅是知识与结果。因此，数学建模正在逐渐成为数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点，是启迪创新意识和创新思维、锻炼创新能培养高层次人才的一条重要途径。注重对大学生数学建模技能和创造力的培养已成为当今世界数学教育的发展趋势。数学建模教学数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，数学①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设时，又需要用到想象力和归纳简化能力。②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领。③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。

数学建模与能力的培养

开设数学建模课的主要目的为了提高学生的综合素质，增强应用数学知识解决实际问题的本领。最近几年里，我校学生都在只参加了半年左右的学习和实践后，在全国大学生数学建模竞赛取得了优异成绩，从2002年开始获得国家一等奖1项国家二等奖十五奖.①数学建模实践的每一步中都蕴含着能力上的锻炼，在调查研年份参赛队数国家一等奖国家二等奖赛区一等奖赛区二等奖赛区三等奖成功奖20025

113

200310

132312004121

461

200515

1104

200614

3461200715

43422200818

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200915

2742

20101824813总计1221154438177年份参赛队数国家一等奖国家二等奖赛区一等奖赛区二等奖赛区三等怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技例1

某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？

一些简单实例

似乎条件不够哦。。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？

显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，一些简单实例例2

某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。分析

本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。

假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。（请自己据此给出严格证明）

例2某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回例3

交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间例4

餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。盘子有大小吗?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的?………不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后一清洗。

不难看出，是水的温度在决定洗盘子的数量

。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为水不够热了。

那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡焉用牛刀？

不妨可以提出以下简化假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子吸热，盘子的大小、材料相同（2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2（4）每个盘子的洗涤时间△T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉不要）根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。

可见，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。例4餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗例5将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均为1，其重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n块砖受到的两个力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，从而上面n块砖向右推出的总距离为，故砖块向右可叠至任意远

，这一结果多少有点出人意料。

例5将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到例6某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由B去A的车，难道由B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因AB发出车次显然是一样多的，否则一处的车辆将会越积越多。由于距离不同，设A到C行驶31分钟，B到C要行驶30分钟，考察一个时间长度为10分钟的区间，例如，可以从A方向来的车驶离C站时开始，在其后的9分钟内到达的乘客见到先来的车均为B开往A的，仅有最后1分钟到达的乘客才见到由A来的车先到。由此可见，如果此人到C站等车的时间是随机的，则他先遇上B方向来的车的概率为90%

。例6某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，例4飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。例4飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即黑匣子所在方向很容易确定，关键在于确定距离。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为a，则有方法一点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的方法二在方法一中，两检测点与黑匣子位于一直线上，这一点比较容易做到，主要缺点是结果对照度测量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在A点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB

距离为a

，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出d=asinα/sin(α+β)

。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于