质点弹道基本方程及其解法课件

第１章质点弹道基本方程及其解法１.１大气特性及空气阻力１.２质点弹道的基本方程１.３非标准条件下质点弹道的基本方程返回第１章质点弹道基本方程及其解法１.１大气特性及空气阻力返１.１大气特性及空气阻力弹丸在空气中飞行，作用于弹丸上的力主要有重力、空气阻力和科氏惯性力。在火炮目前的射高（１０ｋｍ以下）和射程（５０ｋｍ以下）范围内，可认为重力加速度矢量ｇ的量值变化不大，可以把它当成常数而不影响计算精度，国际计量检定中标准重力加速度ｇ的值为９.８０６６５ｍ／ｓ２。在外弹道计算中，假设地表面为平面，ｇ的方向垂直于地平面。在射程较小的情况下，也可以不考虑科氏惯性力的影响。对弹丸在空气中飞行的主要影响是来自空气的阻力。因此，本节着重介绍与空气阻力有关的大气方面的知识。下一页返回１.１大气特性及空气阻力弹丸在空气中飞行，作用于弹丸上的力１.１大气特性及空气阻力１.１.１大气特性１.空气的状态方程与虚温空气可近似看成理想气体，因此，其状态方程可用理想气体状态方程来表示ｐ＝ρＲＴ（１－１）式中，ｐ为空气的压力，Ｐａ；ρ为空气的密度，ｋｇ／ｍ３；Ｔ为空气的热力学温度，Ｋ；Ｒ为空气的气体常数，对于干空气实验值，Ｒ＝２８７Ｊ／（ｋｇ·Ｋ）。２.标准气象条件气象条件不仅随地点而变化，而且在同一地点还随时间和高度而变化。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力１.１.１大气特性上一页下一页返１.１大气特性及空气阻力火炮的弹道不可能也没有必要根据具体地点、时间的气象条件来计算，只能根据标准的气象条件进行弹道计算和编制射表。在火炮正式射击时，则可根据当地的具体气象条件进行修正。１.１.２空气阻力、空气阻力一般表达式由于空气有黏性及有一定的密度，弹丸在空气中飞行时，它必然给弹丸以力的作用，这就是空气阻力。１.空气阻力的组成部分此处简要说明对弹丸作用的空气阻力形成的基本原理，以便了解空气阻力的实质以及找到在设计中减小空气阻力的办法。空气阻力主要由摩擦阻力、涡流阻力及超声速时所特有的波动阻力所组成。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力火炮的弹道不可能也没有必要根据具体１.１大气特性及空气阻力２.空气阻力的一般表达式和对流体力学中绕流物体的阻力分析方法一样，弹丸的空气阻力表达式可以用量纲分析的方法得到，可以写为

式中，Ｒｘ为空气阻力，也称为迎面阻力或切向阻力，其方向与弹丸质心速度矢量共线反向，Ｎ；ρ为空气密度，ｋｇ／ｍ３；Ｓ为弹丸迎风面积，也称为弹丸特征面积，ｍ２，Ｓ＝π/４*ｄ２，ｄ为弹丸直径。式（１－３０）说明弹丸的空气阻力与弹丸的横截面积、弹丸的动能及空气密度成正比。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力２.空气阻力的一般表达式上一页下一１.１大气特性及空气阻力其比例系数就是空气阻力系数Ｃｘ０。空气阻力系数Ｃｘ０的下标ｘ表示作用力的方向（与Ｒｘ的下标意义相同），０表示攻角δ＝０°。Ｃｘ０（ｖ／ｃ）的量纲为１，它是马赫数Ｍａ＝ｖ／ｃ的函数，式中ｖ是弹丸相对于空气的速度，ｃ是声速。当攻角δ≠０°时，空气阻力系数Ｃｘｖ／ｃ，δ()将既是Ｍａ又是δ的函数。但一般保证飞行稳定的弹丸的攻角通常都很小，可以近似看成δ＝０°。严格地说，空气阻力系数还应是雷诺数Ｒｅ的函数，但实验证明，在Ｍａ＞０.６后，Ｒｅ的影响很小，主要由Ｍａ来确定。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力其比例系数就是空气阻力系数Ｃｘ０。１.１大气特性及空气阻力从上面的讨论可以看出，可将空气阻力系数分开，成为摩擦阻力系数Ｃｘｆ、涡阻系数Ｃｘｂ、波阻系数Ｃｘｗ的和，即Ｃｘ０ｖ／ｃ()＝Ｃｘｆ＋Ｃｘｂ＋Ｃｘｗ（１－３１）对这些系数的理论计算方法，是弹丸空气动力学的内容。由于空气动力学的发展，对于不同形状的弹丸，这些系数在结合一定实验的条件下，已经能够进行相当准确的计算，并给出空气阻力系数的具体数值。但是它不一定适合工程应用，下面只给出传统的解决空气阻力系数的方法。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力从上面的讨论可以看出，可将空气阻力１.１大气特性及空气阻力１.１.３空气阻力定律和弹形系数对于一定形状的弹丸，只要通过风洞试验就可以测出其空气阻力系数随马赫数变化的曲线。从外弹道计算的角度，没有必要都经过风洞试验，而是采取某种相似的方法来设法求得其空气阻力系数的变化规律由两个形状相近的弹丸所测出的两条Ｃｘ０－Ｍａ曲线发现，它们有一定的相似性，即在同一马赫数Ｍａ１处，两个不同弹丸的Ｃｘ０的比值与另一马赫数Ｍａ２处该两弹丸的Ｃｘ０比值近似相等，即

根据这一特点，就可以找到估算空气阻力系数的较简便的方法。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力１.１.３空气阻力定律和弹形系数１.１大气特性及空气阻力只要预先选定一个或一组特定形状的弹丸作为标准弹丸，通过风洞或射击试验的方法把它们的阻力系数曲线准确地测定出来（对于一组，则求其平均阻力系数曲线），把它作为计算其他弹丸阻力系数的标准。对于其他与标准弹形状相近的弹丸，只要设法测出任一Ｍａ时的阻力系数，即可利用式（１－３２）的特点，把该弹丸的阻力系数曲线求出。标准弹的阻力系数Ｃｘ０与Ｍａ的函数关系称为空气阻力定律。在我国弹道计算中所用的是西亚切阻力定律和４３年阻力定律。１９世纪（１８９０年）意大利弹道学者西亚切所确定的西亚切阻力定律，是以某弹头部长ｘ＝（１.２～１.５）ｄ的多种弹丸作出的平均的Ｃｘ０－Ｍａ函数曲线，并给出了有关的数据表。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力只要预先选定一个或一组特定形状的弹１.１大气特性及空气阻力后来苏联于１９４３年将其标准弹头的头部长取为ｘ＝（３～３.５）ｄ，作出了４３年阻力定律。这两种阻力定律的曲线如图１－８所示，其中曲线Ⅰ为西亚切阻力定律，曲线Ⅱ为４３年阻力定律。从曲线上可看出，由于西亚切的弹形粗短，其阻力系数比１９４３年的标准弹形要大，而且在超声速以后其变化规律也有相当大的差别，因此我国现在的弹道计算主要应用４３年阻力定律。Ｃｘ０－Ｍａ曲线的特点是：在亚声速段（Ｍａ＜０.８），Ｃｘ０几乎是常数；在跨声速段（Ｍａ＝０.８～１.２），阻力系数激烈变化，几乎是直线上升至最大值，这是波阻出现并迅速增大所致；过了Ｃｘ０的最大值后，在超声速段（Ｍａ＞１.２），Ｃｘ０则随Ｍａ的增大逐渐减小。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力后来苏联于１９４３年将其标准弹头的１.１大气特性及空气阻力１.１.４空气阻力加速度、弹道系数及阻力函数为了便于在后面简单地写出弹丸运动的微分方程，本节对空气阻力加速度进行专门的阐述。１.空气阻力加速度空气迎面阻力Ｒｘ与弹丸质量ｍ的比值称为空气阻力加速度。空气阻力加速度决定了空气阻力对弹丸运动的影响。阻力加速度矢量ａｘ的指向始终与弹丸质心速度矢量ｖ共线反向，实际上它是使弹丸速度减小的量，但习惯上称ａｘ为阻力加速度，利用式（１－３０），有上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力１.１.４空气阻力加速度、弹道系１.１大气特性及空气阻力式中，Ｃｘ０Ｎ为所选用的阻力定律。２.弹道系数弹道系数Ｃ是外弹道学中的一个重要特征参量，它由表示弹丸形状的量ｉ、表示尺寸大小的量ｄ及表示惯性的量ｍ等组成，因而弹道系数反映了弹丸的组合特点。Ｃ在空气阻力加速度公式中与空气阻力加速度成正比，因而为使火炮射程更远，应使Ｃ尽可能地小。或者说，在相同初速和射角条件下，Ｃ越小，射程越远。由于Ｃ＝ｉｄ２/ｍ×１０３故改善弹丸的形状，可以减小弹形系数ｉ，因而可以减小弹道系数Ｃ。至于弹丸的直径ｄ，它是与弹丸的质量相关的量，实际上因为弹丸的质量ｍ通常与直径的立方ｄ３成正比，因此，在具有相同外形的条件下，直径越大的弹丸，其弹道系数反而越小。上一页下一页返回１.１大气特性及空气阻力式中，Ｃｘ０Ｎ为所选用的阻力定律。１.１大气特性及空气阻力这可以从表１－１中对照弹形系数ｉ和弹道系数Ｃ看出来。也就是说，同样形状、同样初速的弹丸由于直径的增大而使弹的质量增大得更快，反而会使射程增大。３.阻力函数Ｆ（ｖ）和Ｇ（ｖ）Ｆ（ｖ）和Ｇ（ｖ）均含有阻力定律，且都是弹丸速度ｖ与声速ｃ的函数，因而称为阻力函数。上一页返回１.１大气特性及空气阻力这可以从表１－１中对照弹形系数ｉ和１.２质点弹道的基本方程１.２.１基本假设，描述弹丸质心运动规律的参量１.建立质点弹道方程组的基本假设为了使问题简化，以便使基本方程能反映弹丸质心运动的主要规律，引入下列基本假设：①弹丸在全部飞行时间内攻角δ＝０°；②弹丸是轴对称的；③气象条件是标准的，无风、雨、雪；④地表面是平面，重力加速度大小不变（ｇ＝９.８０７ｍ／ｓ２），其方向始终铅垂向下；下一页返回１.２质点弹道的基本方程１.２.１基本假设，描述弹丸质心１.２质点弹道的基本方程⑤忽略由于地球自转而产生的作用于飞行弹丸上的科氏惯性力。对于飞行稳定性良好的弹丸，在飞行中弹丸轴线和弹丸速度矢量之间只有一个很小的夹角δ。在飞行体中，δ被称为攻角；在绕轴旋转体中，δ相当于章动角。章动角的存在使气流对弹丸的作用轴不对称，空气阻力作用中心也不通过弹丸质心，将使弹丸在飞行中出现复杂的六自由度运动。但是由于此章动角δ很小，可以把它忽略不计，再加上弹丸轴对称的假设，就可以得到迎面阻力Ｒｘ通过质心的结论。如果把弹丸的质量集中到弹丸质心，则弹丸的运动就可以简化为弹丸质心的运动。对于射程较小的弹道，假设④和⑤已为实践证明不会产生不能允许的误差。上一页下一页返回１.２质点弹道的基本方程⑤忽略由于地球自转而产生的作用于飞１.２质点弹道的基本方程从上面的假设，弹丸的刚体一般运动就简化成了在其发射面内的质点平面运动。２.描述弹丸质心运动规律的参量在外弹道计算中，常用直角坐标系，即取水平面向炮口的方向为ｘ方向，铅垂向上的方向为ｙ方向，炮口为坐标原点Ｏ，如图１－１０所示。要知道弹丸质心在空中运动的规律，只要知道在弹丸出炮口任意时刻ｔ时弹丸质心的坐标（ｘ，ｙ）以及该时刻弹丸质心运动的速度矢量ｖ即可。因此，用来描述弹丸质心运动规律的参量共有ｔ、ｘ、ｙ、ｖ、θ五个变量，其中θ为速度矢量与水平方向的夹角。有时速度矢量不用ｖ、θ表示，而用其水平和铅垂分速度ｖｘ、ｖｙ来表示。上一页下一页返回１.２质点弹道的基本方程从上面的假设，弹丸的刚体一般运动就１.２质点弹道的基本方程１.２.２以时间ｔ为自变量的弹丸质心运动微分方程组在前述基本假设条件下，作用于弹丸质心的只有重力和空气阻力，因而可写出弹丸质心运动的矢量方程ｄｖ/ｄｔ＝ａｘ＋ｇ（１－５６）这是以时间ｔ为自变量的运动方程。１.直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组将矢量方程（１－５６）在直角坐标上投影（图１－１１），即可写出直角坐标系的弹丸质心运动微分方程组。２.自然坐标系的弹丸质心运动微分方程组自然坐标是根据跟随弹丸质心运动的方向而取的坐标。上一页下一页返回１.２质点弹道的基本方程１.２.２以时间ｔ为自变量的弹丸１.２质点弹道的基本方程取弹丸质心速度矢量的方向为切线方向，而与其垂直的方向为法线方向η，则由图１－１２可见，重力加速度矢量在和η方向上的分量分别为ｇ＝－ｇｓｉｎθ，ｇη＝－ｇｃｏｓθ３.其他自变量的弹丸质心运动微分方程组前面是以时间ｔ为自变量所写出的用于分析弹丸运动规律的微分方程组。显然，也可以用其他变量作为自变量来列写描述弹丸质心运动规律的微分方程组，例如，以ｘ为自变量、以ｙ为自变量、以弹道弧长ｓ为自变量等，由于它们的实际用途不大，在此从略。上一页下一页返回１.２质点弹道的基本方程取弹丸质心速度矢量的方向为切线方向１.２质点弹道的基本方程１.２.３空气质点弹道的一般特性在未介绍弹丸质心运动微分方程的解法之前，单从对运动微分方程组的分析出发，对空气质点弹道的特性做一些了解，对于定性地了解弹道规律是十分有益的。上一页返回１.２质点弹道的基本方程１.２.３空气质点弹道的一般特性１.３非标准条件下质点弹道的基本方程非标准条件是相对于标准条件来说的。非标准条件包括考虑地球曲率及重力加速度变化、气压、气温和纵、横风的变化。１.３.１考虑地球曲率及重力加速度变化时的弹丸运动方程为了考虑地球表面曲率，建立以弹丸质心Ｏ′为原点的动坐标系，以地心Ｏ１至Ｏ′的连线为ｙ′轴，向上为正（图１－１６），Ｏ′ｘ′轴与Ｏ′ｙ′轴垂直，沿发射方向为正。当ｔ＝０时，ｘ′Ｏ′ｙ′与地面坐标系ｘＯｙ重合。当弹丸飞行ｔ时，动坐标旋转角度为φ，角速度为φ·，此时速度矢量ｖ在动坐标内沿Ｏ′ｘ′轴和Ｏ′ｙ′轴方向的投影分别为ｖｘ和ｖｙ，速度矢量ｖ与Ｏ′ｘ′轴的夹角为θ，则下一页返回１.３非标准条件下质点弹道的基本方程非标准条件是相对于标准１.３非标准条件下质点弹道的基本方程ｖｘ＝ｖｃｏｓθ（１－７３）ｖｙ＝ｖｓｉｎθ（１－７４）１.３.２考虑气温、气压非标准时的弹丸运动方程气压是通过改变空气密度来影响弹道的，气压升高使空气密度增大，因而使射程减小。气温除了影响空气密度外，还对马赫数有影响。在跨声速区阻力系数急剧上升段内，马赫数微小的增加可以引起阻力系数明显增大，而且气温通过阻力系数和空气密度对空气阻力的影响在这一段内是互相叠加的，所以在这一速度范围内气温对弹道的影响比较显著，气温的升高能使射程明显增大。上一页下一页返回１.３非标准条件下质点弹道的基本方程ｖｘ＝ｖｃｏｓθ（１－１.３非标准条件下质点弹道的基本方程在超声速区阻力系数急剧下降段内，气温通过阻力系数和通过空气密度对阻力的影响二者是互相抵消的，所以在这一速度范围内气温对弹道的影响不太显著，甚至气温升高可以使射程减小。１.３.３考虑风速变化时的弹丸运动方程１.概述本节研究有风情况下的质心运动方程组。风速的一般变化是平行于地面的，忽略其铅直分量的影响。风速可以分解为纵风和横风，平行于射击平面的风速分量称为纵风，顺风为正，用Ｗｘ表示；垂直于射击平面的风速分量称为横风，从左向右（面向射击方向观察）为正，用Ｗｚ表示。上一页下一页返回１.３非标准条件下质点弹道的基本方程在超声速区阻力系数急剧１.３非标准条件下质点弹道的基本方程本章在建立运动方程时，假定弹轴时刻与相对（空气的）速度矢量重合，在此假设下空气阻力矢量仍与弹轴重合，因而弹丸仍可当作质点研究。这一假设是非标准条件下质点弹道学的基本假设。在考虑横风的情况下，弹道不再是平面曲线，而是一条空间曲线，此时所建立的运动方程称为三自由度方程。２.弹丸运动方程的建立由于风的存在，空气阻力和空气阻力加速度的大小和方向发生了变化。上一页下一页返回１.３非标准条件下质点弹道的基本方程本章在建立运动方程时，１.３非标准条件下质点弹道的基本方程根据速度叠加原理，弹丸的绝对速度ｖ可以看成是相对于空气的速度ｖｒ与风速Ｗ（牵连速度）的矢量和，即ｖ＝ｖｒ＋Ｗ（１－８６）由此可得相对速度ｖｒ＝ｖ－Ｗ（１－８７）３.风速对弹道影响的物理本质横风是通过改变空气阻力的方向来影响弹道的。有风时弹轴在相对速度矢量附近做角运动，相对速度矢量可看作弹轴的平均位置，故而本章假设弹轴时刻保持与相对速度矢量重合。在此假设下弹丸的受力情况如图１－１８所示。上一页下一页返回１.３非标准条件下质点弹道的基本方程根据速度叠加原理，弹丸１.３非标准条件下质点弹道的基本方程设横风方向从左向右，则相对速度矢量偏向绝对速度的左侧。在弹轴与相对速度矢量重合的假设下，空气阻力矢量也与相对速度矢量重合，只是方向相反。这时空气阻力Ｒｘ可以分解出一个与绝对速度ｖ垂直的分力Ｒｙ，在此分力作用下ｖ的方向逐渐向右偏转（当Ｗｚ向右时），因而使弹道偏向右方，也就是偏向顺风方向。纵风既能影响阻力的大小，又能影响阻力的方向，故而可以改变射程。上一页下一页返回１.３非标准条件下质点弹道的基本方程设横风方向从左向右，则１.３非标准条件下质点弹道的基本方程４.风速恒定条件下的风偏公式在风速恒定的情况下，也就是在弹丸飞行过程中风速不随时间和高度变化的情况下，用相对运动法研究风偏非常方便，可以得出简明的风偏公式。用此公式计算风偏比用方程组（１－９５）方便得多。１.３.４考虑科氏惯性力时的弹丸运动方程由理论力